Dane informacyjne:

2. Dane informacyjne: Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Marii Skłodowskiej-Curie ID Grupy: 98/6_mf_g2 Kompetencja: Matematyczno- fizyczna Temat projektowy: W świecie liczb Semestr, rok szkolny: Semestr I rok szkolny 2010/11

3. W naszej prezentacji: 1. Opowiemy o historii i prehistorii liczb. 2. Zilustrujemy zbiory liczbowe. 3. Pokażemy wyszukane przez nas ciekawe liczby. 4. Ujawnimy jak działa sito Eratostenesa 5. Zobaczycie kwadraty magiczne 6. Dzięki niebanalnym zadaniom udowodnimy, że matematyka może być interesująca dla każdego. 7. Wyjaśnimy skąd się wzięła liczba Pi. 8. Opowiemy o innych systemach liczbowych

5. Prehistoria Należy przypuszczać, że proste obliczenia towarzyszyły człowiekowi od zawsze. Wiadomo, że nawet zwierzęta potrafią oceniać liczebność zbiorów zawierających kilka elementów. Na początku umiano określić liczebność małych zbiorów: jeden, dwa, trzy, zaś większe postrzegano po prostu jako więcej, wiele. Typowym sposobem liczenia stosowanym przez społeczności pierwotne było wykorzystanie części ciała, takich jak palce, czy paliki palców. karby

6. Chiny Najwcześniejszy istniejący do dziś matematyczny zapis to pochodząca z Chin skorupa żółwia z wyrytą liczbą 123, gdzie użyty jest system dziesiętny, od góry do dołu wydrapane zostały: cyfra 1- symbol setki, cyfra 2- symbol dziesiątki, cyfra 3- symbol jedności.

7. Mezopotamia System sześćdziesiątkowy jest o tyle wygodny, że liczba 60 ma wiele dzielników (1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60). Ułatwia to dzielenie przez niewielkie liczby. Ponadto postępom matematyki sprzyjał fakt, że w odróżnieniu od zapisów Egipcjan, Greków i Rzymian, system Babilończyków był prawdziwym systemem pozycyjnym, w którym te same znaki (cyfry) z lewej strony reprezentowały większe wartości, niż z prawej. Nie miał on zatem ograniczeń, jeśli chodzi o maksymalną możliwą do zapisania liczbę.

8. Dzieje zera • Użycie zera jako liczby powinno zostać odróżnione od użycia jako cyfry. Wiele starożytnych indyjskich tekstów używało 0 w znaczeniu pustki. • Zapiski pokazują, że starożytni Grecy nie byli pewni co do statusu zera jako liczby: pytali "jak nic może być czymś?", co doprowadziło do interesujących filozoficznych rozważań • Na tablicach liczebników rzymskich ok. 525r. zero było jako słowo nulla oznaczające nic, a nie jako oddzielny symbol. Kiedy dzielenie dawało resztę zero, używano słowa nihil, także oznaczającego nic. • Do Europy hinduski system zapisu liczb dotarł w XI wieku za pośrednictwem hiszpańskich Maurów, stąd jego cyfry zostały nazwane cyframi arabskimi.

9. Liczby ujemne • Pierwszy pomysł liczb ujemnych powstał w pierwszej połowie I wieku p.n.e w Chinach. Czerwone znaki były używane do oznaczania dodatnich współczynników, a czarne – ujemnych. • Na początku VII wieku liczby ujemne były używane w Indiach w celu księgowania długów. • Większość europejskich matematyków odrzucała koncepcję liczb ujemnych aż do XVII wieku. W tym samym czasie, Chińczycy oznaczali liczby ujemne przez przekreślenie ostatniej niezerowej cyfry liczby. W Europie liczb ujemnych użyto w XV wieku, jako wykładników, nazywając je "liczbami absurdalnymi".

10. Liczby wymierne • Prawdopodobnie idea ułamków pojawiła się już w czasach prehistorycznych. Nawet starożytni Egipcjanie pisali teksty matematyczne z użyciem ułamków. • Pomysł użycia ułamków jest blisko związany z ich zapisem dziesiętnym. Obydwa pomysły powstawały równolegle. Na przykład w tekstach indyjskich stosowano zapis dziesiętny ułamków do przybliżonegopodawania wartości π, czy pierwiastka z dwóch. Podobnie babilońskie teksty matematyczne często używały ułamków o mianowniku będącym potęgą sześćdziesiątki. • W Europie jednak zapis dziesiętny ułamków długo nie był popularny, dopiero XVII wieku upowszechnił się wśród matematyków.

11. „Zbiory liczbowe”

12. Liczby naturalne N={0;1;2;3...} Dodawanie: Odejmowanie: 3+4=7 3-4=? Mnożenie: Dzielenie: 3·4=12 3:4=?

13. Liczby całkowite C={…-3,-1, 0, 1, 2…} Dodawanie: Odejmowanie: 3+4=7 3-4=(-1) Mnożenie: Dzielenie: 3·4=12 3:4=?

14. Liczby wymierne W={…-3;-1,5; 0; 4,5…} Dodawanie: Odejmowanie: 3+4=7 3-4=(-1) Mnożenie: Dzielenie: 3·4=12 3:4=0,75

15. Liczby niewymierne • NW={…-2 Π, -√2, √3, √5 , √7, π…} • Dodawanie: Mnożenie: • √2+3 √2= 4√2 √2* √3= √6 • Odejmowanie: Potęgowanie: • 7√2 - 2√2 =5√2 (√7)2 = 7 • Dzielenie: • √10: √2= √5 √3≈1,71

16. „Ciekawe” liczby

19. Sito Eratostenesa służy do szybkiego znajdowania liczb pierwszych. A tak je szukaliśmy…

20. Liczba będąca ułamkiem łańcuchowym

21. Liczba złota ½*(√5-1)=0,61804… Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego podziału. Jest to liczba niewymierna. W starożytności złoty podział używano jako miary proporcji w architekturze. Do czasów współczesnych był on jedną z podstawowych reguł sztuk plastycznych. A tak ją szukaliśmy w Internecie…

22. Liczby olbrzymy i liliputy • Liczba olbrzym to hiperkolos • Odwrotność tej liczby • to superliliput

23. Liczby Fibonacciego Ciąg Fibonacciego- ciąg liczb naturalnych gdzie pierwsze dwa wyrazy ciągu są równe jeden, a każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

24. Liczby przestępne • Liczba przestępna - liczba która nie jest liczbą algebraiczną • Liczby przestępne nazywane • są też liczbami Liouville’a, • ponieważ to on przedstawił • pierwszy przykład liczby • przestępnej w 1844r. we Francji. 2√2

25. Liczby parzyste i nieparzyste • Liczby parzyste- podzielne przez 2 postaci 2n, gdzie n jest liczbą całkowitą, np. 2, 4,168,200 … • Liczby nieparzyste- niepodzielne przez 2 postaci 2n+1, gdzie n jest liczbą całkowitą, np. 3,5,259…

26. Liczby bliźniacze • Liczby bliźniacze • to dwie liczby • pierwsze • różniące się o 2. 3 i 5 , 5 i 7 , 11 i 13 , 17 i 19 ...

27. ...Inne ciekawe liczby: • Liczby doskonałe – liczby naturalne, które są równe sumie wszystkich swoich dzielników, np. 6, 28, 496 • Liczby zaprzyjaźnione, np. 220 i 284 • Liczby trójkątne (liczba monet jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny) ,np.3, 6 , 10

28. Kwadraty magiczne • Kwadrat magiczny, kwadratowa • tablica liczb naturalnych • Skonstruowana tak, by • suma liczb, w każdym • wierszu, kolumnie i • przekątnej była • jednakowa. Przykład:

29. Rozbudowana wersja kwadratu magicznego zwana też sudoku...

30. Puzzle: odpowiedzi:

31. Ciekawe zadania • Wiele osób uważa, że matematyka • jest nudna, ale przecież nie zna ona granic! • Przedstawimy Wam kilka interesujących zadań matematycznych.

32. Przestaw zapałkę tak, aby utworzyła prawidłowe działanie:

33. Przyjrzyj się rysunkowi i spróbuj odpowiedzieć, ile waży piłka, ile pudełko i ile puszka? Rozwiązanie: 11 + 14 + 15= 40 waga czterech zestawów 40: 4 = 10 waga jednego zestawu 11 - 10 = 1 waga jednego pudełka 14 - 10 = 4 waga jednej piłki 15 - 10 = 5 waga jednej puszkiOdpowiedź: Pudełko waży 1 kg, piłka waży 4 kg, puszka waży 5 kg.

34. Tatuś zapalił świecę, a za 3 minuty następną. Ile czasu będzie jasno w pokoju, jeśli każda świeca pali się 10 minut? • Rozwiązanie: Pierwsza świeca pali się samotnie 3 minuty. Potem zapali się druga świeca, która zgaśnie ostatnie, czyli po 10 minutach. Jasno będzie zatem 3+10 = 13 (minut).

35. Inne systemy liczbowe: • System dwójkowy, system binarny, pozycyjny, w którym występują dwie cyfry 0 i 1 powszechnie stosowany w komputerach, np. 29=1100101 • System hieroglificzny, addytywny używany w starożytnym Egipcie • System alfabetyczny stosowany przez starożytnych Greków, np. 1-α, 2-β, 8-η, 60-ξ • System rzymski, addytywny używany przez starożytnych Rzymian. I = 1, C = 100

36. System rzymski • Rzymski system zapisywania liczb jest systemem addytywnym, czyli polegającym na składaniu liczby poprzez dodawanie znaków o określonym nominale; znaków jest 7: • I = 1, V = 5, X = 10, • L = 50, C = 100, • D = 500, M = 1000

37. Cyfry wpisujemy od strony lewej do prawej poczynając od największej. Teraz można już zapisywać w zgrabny sposób różne liczby: • 12  -  XII • 29  -  XXIX • 1999  -  MCMXC IX

38. Liczba π(pi) • Liczba pi (ludolfina) : • długość okręgu • π= ____________ • średnica okręgu • π=3,14159...

40. Tak szukaliśmy liczby pi ...

41. Oto niektóre przybliżenia liczby pi, jakie • pojawiały się w pracach różnych uczonych: • Babilończycy (ok. 2000 r. p.n.e.):π≈3 • hinduski matematyk Brahmagupta (VII w. n.e.):π≈√10≈3,162... • Archimedes (III w. p.n.e.) π≈22/7≈3,14 • holenderski matematyk Piotr Metius (XVI w.): π≈355/113≈3,1415929 • Klaudiusz Ptolomeusz (II w. n.e.): • π≈3+8/60+3/360≈3,1416

42. Ciekawostki Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali wkosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat. W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych. „Tak i mnie i tobie poznawana tu liczba cudna dla ogółu przynosi wszystkim pożytek wspaniały π ≈ 3,14159265358979” ... A to ciekawe!

43. Bibliografia • „Encyklopedia Szkolna – Matematyka” • „Nie tylko wynik” podręcznik do matematyki do kl. I • „Nie tylko wynik” podręcznik do matematyki do kl. II • www.wikipedia.pl • www.math.edu.pl • www.serwis-matematyczny.pl • www.math.edu.pl/liczby-pierwsze • www.math.edu.pl/liczby-fibonacciego