Матрицы

1. Матрицы Элементы теории матриц.

2. Основные определения. а11 а12 а13 … а1m а21 а22 а23 … а2m A= ………………………. an1 аn2 аn3 … аnm

3. Опр.: таблицу, сост. из n строк и m столбцов наз. матрицей. Опр.: n*m – называется размерностью матрицы. Опр.: Если m=n матрица наз. квадратной. Опр.: Число n – называется порядком матрицы. Опр.: Если m/=n матрицу называют прямоугольной.

4. Опр.: Матрица, у которой все элементы нули, наз. нулевой матрицей и обозначается О. Опр.: Матрица с элементами aij = 1, если i=j; 0, если i≠j, при n=m, наз. единичной матрицей и обозн. Е.

5. Опр.: Элементы с одинаковым индексом кв. матрицы образуют главную диагональ матрицы. Опр.: Две матрицы одинак. размерности наз. равными, если равны элементы на одинак. местах.

6. Действия над матрицами. Опр.: Суммой двух матриц одинаковой размерности А и В называется матрица С той же размерности, элементы которой находятся по формуле: А+В=С; cij = aij + bij Опр.: Чтобы матрицу умножить на число, надо все элементы матрицы умножить на это число; α*А

7. Опр.: Разностью двух матриц одинаковой размерности А и В называется матрица той же размерности с элементами: cij = aij - bij; С=А-В Опр.: Умножение матрицы: Аn*p*Вp*m=Сn*m. Ненулевые матрицы при умножении дают 0-матрицу.

8. Свойства операций над матрицами. 1)А+В=В+А; 2) (А+В)= А+В, -число; 3) А*В В*А; 4) (А+В)*С= А*С+В*С; 5) А+О=А; 6) А*О=О; 7) А*Е=А, Е*А=А; 8) Ат – транспонированная; ; (At)t = A; (A*B)t = Bt * At 9)Аквадратн (n*n) – det A - детерминант А – определитель кв. матрицы ; Det (A*B)=det A*det B

9. Нахождение обратной матрицы. Опр.: Матрица, обозначаемая А-1 , называется обратной к матрице А, если выполнены условия: А-1*А=А*А-1=Е, где Е – единичная матрица того же порядка, что и заданная. Опр.: Квадратная матрица, у которой определитель ≠0 называется невырожденной.

10. Вывод 1: Обратная матрица сущ. для кв. матриц; Вывод 2: Имеет ту же размерность что и данная; Вывод 3: посвойству 9: det (A*A-1) = det E; det A*det A-1=1;

11. Теорема: Если у матрицы А существует обратная, то она единственная. Теорема: Чтобы матрица имела обратную необход. и достат, чтобы она была кв-я и невырожденная.

12. Опр.: Столбцы наз. линейно-независимыми, когда линейная комбинация равна 0 при всех α = 0. Опр.: столбцы наз. линейно-зависимыми , если линейная комбинация равна 0, не при всех α = 0.

13. Теорема: Столбцы матрицы можно представить в виде линейной комбинации столбцов матрицы Е. Теорема: Система столбцов линейно-зависима, когда хотя бы один столбец является линейной комбинацией остальных.

14. Теорема о ранге матрицы: Ранг матрицы равен максимальному числу линейно – независимых столбцов матрицы. Максимальное число линейно-независимых строк равно максимальному числу линейно-независимых столбцов. Опр.: Рангом матрицы наз. порядок базисного минора. Если матрица нулевая ее ранг равен 0.

15. Теорема: Ранг матрицы равен числу ненулевых строк (столбцов), полученных в результате применения элементарных преобразований, которые позволяют выделить строчки и столбцы являющиеся линейными комбинациями других строк (столбцов), т. е. выделить базисный минор.

16. Опр.: Минором порядка r называется определитель, составленный из элементов матрицы расположенных на r строках и любых r столбцах матрицы. Теорема: Если в матрице все миноры порядка r+1 равны 0, то и все миноры порядка r+2 равны 0.

17. Теорема о базисном миноре: В произвольной матрице каждый столбец является линейной комбинацией столбцов, входящих в базисный минор.

18. Обратная теорема: Если матрица А квадратная и вырожденная, то хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных столбцов, а одна из строк - линейная комбинация остальных строк.

19. Элементарные преобразования матрицы. Опр.: Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

20. 1)Умножение строки на число не равное 0; 2)Перестановка строк местами. 3)Прибавление одной строки к другой, умноженной на число; 4)Те же действия со столбцами.

21. Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Опр.: Матрицы, полученные с помощью элементарных преобразований наз. эквивалентными (~).

22. Матрицы Основные определители.

23. Опр.: Система ЛАУ называется система уравнений вида: а11*х1 + а12*х2 + … + а1m*хm= b1 а21*х1 + а22*х2 + … + а2m*хm = b2 аn1*х1 + аn2*х2 + … + аnm*хm = bn n - уравнений, m – неизвестных: х1, х2 … хm – неизвестные системы; b1, b2 … bn – свободные.

24. Опр.: Числа х10, х20…хm0 наз. решением системы если они обращают каждое уравнение в равенство. Опр.: Если СЛАУ имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Опр.: Если СЛАУ не имеет ни одного решения, она называется несовместной.

25. Опр.: Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. Опр.: СЛАУ у которой b1 = b2 …= bn = 0 называется однородной.

26. Теорема: Однородная система всегда совместна. Опр.: Нулевое решение однородной системы называется тривиальным.

27. Теорема о совместности СЛАУ. Теорема Кронекера – Капели. Матрица: a11 a12 … a1m a21 a22 … a2m an1 an2 … anm

28. Матрица системы: a11 a12 … a1m * b1 A* = a21 a22 … a2m * b2 an1 an2 … anm * bn - расширенная матрица системы. Чтобы СЛАУ была совместна, надо чтобы ранг матрицы = рангу транспонированной матрицы.

29. Необходимость: если решение сущ., т. е. числа х1, х2 … хm, такие, что столбец b - линейная комбинация столбцов матрицы. Это значит, что добавление столбца не увеличивает числа линейно-независимых столбцов матрицы А, по теор. о базисном миноре получаем rang A = rang A*

30. Достаточность: если rang A = rang A*, то базисный минор матрицы А является базисным минором матрица А*. Это значит, что столбец b в матрице А* (по теореме о базисном миноре) - линейная комбинация столбцов, которые входят в базисный минор. Коэффициенты этой линейной комбинации, т. е. числа х1, х2 … хm - решение системы.

31. Матричный способ решения СЛАУ. СЛАУ запишем в виде А*Х=В. Если det A≠0, то для матрицы А сущ. обратная А-1. Умножим обе части СЛАУ слева на А-1: А-1*А*Х = А-1*В; Е*Х = А-1*В; Х = А-1*В.

32. Метод Крамера. СЛАУ имеет вид А*Х=В при det A≠0 ; Х=А-1*В. х1 A11 A12 … An1 b1 х2 = A21 A22 … An2 * b2 = хn A1n A2n … Ann n*n bn n*1 A1n*b1 + A2n*b2 + Ann*bn A11*b1 + A21*b2 ……… A12*b1 + A22*b2 ………

33. 1. 2. Числители - величина определителя, разложенного по первому столбцу, тогда первый столбец это элементы b1, b2 … bn, а остальные столбцы – это столбцы матрицы А и т.д. Если det A≠0, то СЛАУ имеет ед. реш. и опред. формулами:

34. Общий метод решения СЛАУ. (Метод Гаусса). Если система совместна, т. е. rang A = rang A* = (r),то r-уравнений СЛАУ линейно-независимы, а остальные (n - r) являются линейными комбинациями. Решить систему значит выразить базисные неизвестные через свободные, придавая различные значения свободным неизвестным.

35. Общий метод решения однородной СЛАУ. Теорема: Если ранг матрицы однород.СЛАУ = r, то система имеет (m - r) линейно - независ. решен. Опр.: Совокупность реш., т. е. совокупность наз. фундам-й системой реш. однор. СЛАУ.

36. Теорема: Если фундаментальная система решений однор. СЛАУ , то общее решение однородной СЛАУ , то есть линейная комбинация решений - . Опр.: =С1*1+С2*2+…Сm-r*m-r называется общим решением однородной СЛАУ.

37. Теорема об общем решении неоднородной СЛАУ. Теорема: Если фундаментальная система решений соотв-щей однор. СЛАУ; - некоторое решение неоднор. СЛАУ, то сумма - решение неоднор. СЛАУ. Опр.: Полученное решение называется общим решением неоднородной СЛАУ.