1 / 37

Матрицы

Матрицы. Элементы теории матриц. Основные определения. а11 а12 а13 … а1 m а21 а22 а23 … а2 m A = ………………………. an 1 а n 2 а n 3 … а nm. Опр .: таблицу, сост. из n строк и m столбцов наз. матрицей.

curry
Download Presentation

Матрицы

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Матрицы Элементы теории матриц.

  2. Основные определения. а11 а12 а13 … а1m а21 а22 а23 … а2m A= ………………………. an1 аn2 аn3 … аnm

  3. Опр.: таблицу, сост. из n строк и m столбцов наз. матрицей. Опр.: n*m – называется размерностью матрицы. Опр.: Если m=n матрица наз. квадратной. Опр.: Число n – называется порядком матрицы. Опр.: Если m/=n матрицу называют прямоугольной.

  4. Опр.: Матрица, у которой все элементы нули, наз. нулевой матрицей и обозначается О. Опр.: Матрица с элементами aij = 1, если i=j; 0, если i≠j, при n=m, наз. единичной матрицей и обозн. Е.

  5. Опр.: Элементы с одинаковым индексом кв. матрицы образуют главную диагональ матрицы. Опр.: Две матрицы одинак. размерности наз. равными, если равны элементы на одинак. местах.

  6. Действия над матрицами. Опр.: Суммой двух матриц одинаковой размерности А и В называется матрица С той же размерности, элементы которой находятся по формуле: А+В=С; cij = aij + bij Опр.: Чтобы матрицу умножить на число, надо все элементы матрицы умножить на это число; α*А

  7. Опр.: Разностью двух матриц одинаковой размерности А и В называется матрица той же размерности с элементами: cij = aij - bij; С=А-В Опр.: Умножение матрицы: Аn*p*Вp*m=Сn*m. Ненулевые матрицы при умножении дают 0-матрицу.

  8. Свойства операций над матрицами. 1)А+В=В+А; 2) (А+В)= А+В, -число; 3) А*В В*А; 4) (А+В)*С= А*С+В*С; 5) А+О=А; 6) А*О=О; 7) А*Е=А, Е*А=А; 8) Ат – транспонированная; ; (At)t = A; (A*B)t = Bt * At 9)Аквадратн (n*n) – det A - детерминант А – определитель кв. матрицы ; Det (A*B)=det A*det B

  9. Нахождение обратной матрицы. Опр.: Матрица, обозначаемая А-1 , называется обратной к матрице А, если выполнены условия: А-1*А=А*А-1=Е, где Е – единичная матрица того же порядка, что и заданная. Опр.: Квадратная матрица, у которой определитель ≠0 называется невырожденной.

  10. Вывод 1: Обратная матрица сущ. для кв. матриц; Вывод 2: Имеет ту же размерность что и данная; Вывод 3: посвойству 9: det (A*A-1) = det E; det A*det A-1=1;

  11. Теорема: Если у матрицы А существует обратная, то она единственная. Теорема: Чтобы матрица имела обратную необход. и достат, чтобы она была кв-я и невырожденная.

  12. Опр.: Столбцы наз. линейно-независимыми, когда линейная комбинация равна 0 при всех α = 0. Опр.: столбцы наз. линейно-зависимыми , если линейная комбинация равна 0, не при всех α = 0.

  13. Теорема: Столбцы матрицы можно представить в виде линейной комбинации столбцов матрицы Е. Теорема: Система столбцов линейно-зависима, когда хотя бы один столбец является линейной комбинацией остальных.

  14. Теорема о ранге матрицы: Ранг матрицы равен максимальному числу линейно – независимых столбцов матрицы. Максимальное число линейно-независимых строк равно максимальному числу линейно-независимых столбцов. Опр.: Рангом матрицы наз. порядок базисного минора. Если матрица нулевая ее ранг равен 0.

  15. Теорема: Ранг матрицы равен числу ненулевых строк (столбцов), полученных в результате применения элементарных преобразований, которые позволяют выделить строчки и столбцы являющиеся линейными комбинациями других строк (столбцов), т. е. выделить базисный минор.

  16. Опр.: Минором порядка r называется определитель, составленный из элементов матрицы расположенных на r строках и любых r столбцах матрицы. Теорема: Если в матрице все миноры порядка r+1 равны 0, то и все миноры порядка r+2 равны 0.

  17. Теорема о базисном миноре: В произвольной матрице каждый столбец является линейной комбинацией столбцов, входящих в базисный минор.

  18. Обратная теорема: Если матрица А квадратная и вырожденная, то хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных столбцов, а одна из строк - линейная комбинация остальных строк.

  19. Элементарные преобразования матрицы. Опр.: Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

  20. 1)Умножение строки на число не равное 0; 2)Перестановка строк местами. 3)Прибавление одной строки к другой, умноженной на число; 4)Те же действия со столбцами.

  21. Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Опр.: Матрицы, полученные с помощью элементарных преобразований наз. эквивалентными (~).

  22. Матрицы Основные определители.

  23. Опр.: Система ЛАУ называется система уравнений вида: а11*х1 + а12*х2 + … + а1m*хm= b1 а21*х1 + а22*х2 + … + а2m*хm = b2 аn1*х1 + аn2*х2 + … + аnm*хm = bn n - уравнений, m – неизвестных: х1, х2 … хm – неизвестные системы; b1, b2 … bn – свободные.

  24. Опр.: Числа х10, х20…хm0 наз. решением системы если они обращают каждое уравнение в равенство. Опр.: Если СЛАУ имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Опр.: Если СЛАУ не имеет ни одного решения, она называется несовместной.

  25. Опр.: Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. Опр.: СЛАУ у которой b1 = b2 …= bn = 0 называется однородной.

  26. Теорема: Однородная система всегда совместна. Опр.: Нулевое решение однородной системы называется тривиальным.

  27. Теорема о совместности СЛАУ. Теорема Кронекера – Капели. Матрица: a11 a12 … a1m a21 a22 … a2m an1 an2 … anm

  28. Матрица системы: a11 a12 … a1m * b1 A* = a21 a22 … a2m * b2 an1 an2 … anm * bn - расширенная матрица системы. Чтобы СЛАУ была совместна, надо чтобы ранг матрицы = рангу транспонированной матрицы.

  29. Необходимость: если решение сущ., т. е. числа х1, х2 … хm, такие, что столбец b - линейная комбинация столбцов матрицы. Это значит, что добавление столбца не увеличивает числа линейно-независимых столбцов матрицы А, по теор. о базисном миноре получаем rang A = rang A*

  30. Достаточность: если rang A = rang A*, то базисный минор матрицы А является базисным минором матрица А*. Это значит, что столбец b в матрице А* (по теореме о базисном миноре) - линейная комбинация столбцов, которые входят в базисный минор. Коэффициенты этой линейной комбинации, т. е. числа х1, х2 … хm - решение системы.

  31. Матричный способ решения СЛАУ. СЛАУ запишем в виде А*Х=В. Если det A≠0, то для матрицы А сущ. обратная А-1. Умножим обе части СЛАУ слева на А-1: А-1*А*Х = А-1*В; Е*Х = А-1*В; Х = А-1*В.

  32. Метод Крамера. СЛАУ имеет вид А*Х=В при det A≠0 ; Х=А-1*В. х1 A11 A12 … An1 b1 х2 = A21 A22 … An2 * b2 = хn A1n A2n … Ann n*n bn n*1 A1n*b1 + A2n*b2 + Ann*bn A11*b1 + A21*b2 ……… A12*b1 + A22*b2 ………

  33. 1. 2. Числители - величина определителя, разложенного по первому столбцу, тогда первый столбец это элементы b1, b2 … bn, а остальные столбцы – это столбцы матрицы А и т.д. Если det A≠0, то СЛАУ имеет ед. реш. и опред. формулами:

  34. Общий метод решения СЛАУ. (Метод Гаусса). Если система совместна, т. е. rang A = rang A* = (r),то r-уравнений СЛАУ линейно-независимы, а остальные (n - r) являются линейными комбинациями. Решить систему значит выразить базисные неизвестные через свободные, придавая различные значения свободным неизвестным.

  35. Общий метод решения однородной СЛАУ. Теорема: Если ранг матрицы однород.СЛАУ = r, то система имеет (m - r) линейно - независ. решен. Опр.: Совокупность реш., т. е. совокупность наз. фундам-й системой реш. однор. СЛАУ.

  36. Теорема: Если фундаментальная система решений однор. СЛАУ , то общее решение однородной СЛАУ , то есть линейная комбинация решений - . Опр.: =С1*1+С2*2+…Сm-r*m-r называется общим решением однородной СЛАУ.

  37. Теорема об общем решении неоднородной СЛАУ. Теорема: Если фундаментальная система решений соотв-щей однор. СЛАУ; - некоторое решение неоднор. СЛАУ, то сумма - решение неоднор. СЛАУ. Опр.: Полученное решение называется общим решением неоднородной СЛАУ.

More Related