Hola clase, bonito día

1. Hola clase, bonito día Clase 3 Profr. Moy

2. Operación resta Def. Sean a, b, c números naturales relacionados como sigue: a – b = c significa que b + c = a entonces c se llama diferencia de a menos b; a se llama minuendo y b se llama sustraendo Ejemplo: • 324 – 7 = 317 porque 7 + 317 = 324.

3. Operación división Def. Sean a, b, c números naturales relacionados como sigue: a b = c significa que b·c = a entonces c se llama cociente de a entre b, mientras que a se llama dividendo y b el divisor. • Ejemplos: • 48  6 = 8 porque 68 = 48, en este caso se dice que 6 divide a 48. • 6  48 = c (¿?) no hay un número natural c, tal que 48  c = 6 , ahora decimos que 48 no divide a 6.

4. Los números enteros Con los números naturales(N)no es posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un numero menor hay que restarle uno mayor. Otro problema es la necesidad de representar el dinero adeudado, temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc. Así que, hemos planteado dos problemas; la indefinición de la resta y el de contar en dos sentidos opuestos, por lo que tenemos necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales para resolver estos dos planteamientos.

5. Características de los nuevos números Con el fin de resolver estos dos problemas, ,definimos a los nuevos números: primero el contar en sentidos opuestos 0 1 2 3 4 5 … -0 -1 -2 -3 -4 -5 …

6. Características de los nuevos números Segundo, que resuelvan un tipo de restas: siendo cualquier natural 0 – 0 = – 0, significaría que 0 + (– 0) = 0 0 – 1 = – 1, significaría que 1 + – 1 = 0 0 – 2 = – 2, significaría que 2 + (– 2) = 0 ∙ ∙ ∙ 0 – n = – n, significaría que n + ( – n ) = 0 De esta forma: Donde observamos que:

7. En realidad estamos cumpliendo una propiedad: Postulado de los inversos aditivos (PI) Para cada número entero n, existe exactamente un entero, denotado por – n, tal que n + (–n) = 0 y también (–n) + n = 0. En consecuencia: Definición: Si la suma de dos enteros es cero se dice que éstos son inversos aditivos, cada uno de ellos es el inverso aditivo del otro.

8. Resolvamos el problema de ( Teorema 1: Es decir, –0 es otra forma de escribir 0 Demostración del teorema 1: Compara las expresiones: 0 + (–0) = 0 y 0 + 0 = 0. Son dos adiciones cuya suma es cero, así que la primera dice que 0 y –0 son inversos y la segunda dice que 0 y 0 son inversos, de modo que si –0 y 0 fueran diferentes, 0 tendría dos inversos, cosa prohibida por el postulado de los inversos, así que lo que realmente debe ocurrir es que –0 y 0 son dos representaciones diferentes del mismo número, es decir –0 = 0

9. La notación de los inversos aditivos En resumen, hay tres clases de números enteros: • Los enteros positivos, todos ellos números naturales. • El cero, natural también. • Y los enteros negativos. Conviene comentar la taquigrafía de los inversos aditivos: Tr. , El inverso aditivo de 4 es El inverso aditivo de es 7, pero de acuerdo a la notación sería así que,

10. Valor absoluto de un número entero Definición: La expresión n se lee “valor absoluto de n” y significa lo siguiente: n  = n, si n es natural (es decir, el valor absoluto de un natural es el mismo natural)  n  = – n, si n es entero negativo (el valor absoluto de un entero negativo es su inverso) Es decir:

11. Adición de números enteros Definición S1. Para obtener la suma de dos números enteros se aplica la regla (a) que se da en seguida y que proporciona el valor absoluto de la suma y la regla (b) para determinar su signo: (a) Se obtienen los valores absolutos de los sumandos, si los sumandos son del mismo signo se suman sus valores absolutos y si son de signos contrarios, al mayor valor absoluto se le resta el menor. (b) En cualquier caso del resultado de (a) se toma con el mismo signo del sumando de mayor valor absoluto. Esta regla funciona en los casos más comunes, pero tiene que completarse con otras: S2. Si los sumandos son iguales se aplica la regla (a) y el resultado se toma con el mismo signo de ellos S3. El cero se conserva como neutro aditivo: m + 0 = m y también 0 + m = m S4. m + (–m) = 0 y también (–m) + (m) = 0

12. Propiedades de la adición en Z • Propiedad de cerradura • Propiedad conmutativa • Propiedad asociativa • Existencia y unicidad: elemento neutro aditivo • Existencia y unicidad: elemento inverso aditivo

13. Resta de números enteros Definición: Si m y n son dos enteros, entonces m – n es la resta de m menos n y la diferencia es un entero r que sumado con n da m, es decir: m – n = r significa que n + r = m Ejemplos: 9 12 = 3 porque 12 + (3) = 9 7  (2) = 5 porque 2 + (5) = 7

14. Teorema de la resta Teorema de la resta (TR) Si m y n son enteros, entonces: m – n = m + (–n) Es decir, restarle un entero a otro es lo mismo que sumarle el inverso aditivo del que se va a restar al otro. Dos interpretaciones: es el número que sumado con nos da La forma más fácil de encontrar la diferencia

15. Suma algebraica Se le llama suma algebraica a “cadenas” de restas o de sumas y restas que se van a efectuar con ciertas reglas Ejemplos: – 8 + 6 – 3 – (–5) – 7 1 – 6 – ( – 5 ) + ( – 8 ) – 2 • En las sumas algebraicas, las operaciones se efectúan de izquierda a derecha • O simplemente se aplica el Tr. de la resta

16. Símbolos de agrupación RP1.Dar primacía a las operaciones que están dentro de los paréntesis RP2. Si unos de ellos están metidos en otros, se atienden primero los más interiores Símbolos de agrupación paréntesis ( ) corchetes [ ] llaves { } Todos ellos tienen la misma función y con excepción de reglas de uso locales que se les pueden asignar en un aula, su uso es indistinto.

17. Cancelación de símbolos de agrupación Reglas para Cancelar Símbolos de Agrupación. Aquí k, m, n, p representan números enteros C1). + (m – n + p) = (m – n + p) = m – n + p C2). k + (m – n + p) = k + m – n + p C3). – (m – n + p) = – m + n – p C4). k – (m – n + p) = k – m + n – p C5). Si unos símbolos de agrupación están dentro de otros, conviene empezar la cancelación a partir de los más interiores

18. Ejercicios Efectúa las siguientes operaciones, tanto con base en la regla del paréntesis como mediante la cancelación de signos de agrupación.

19. El orden de los números enteros Def. Sean m y ndos enteros, que m sea mayor que n, significa que existe un p entero positivo tal que Ejemplos: porque existe tal que porque existe tal que Ahora podemos escribir: De igual manera: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

20. Multiplicación de números enteros Tratar de justificar la definición usando la multiplicación de naturales, es decir; m-veces • Definición : El producto de dos enteros se calcula como sigue: M1. En cualquier caso se multiplican los valores absolutos de los factores, como si fueran naturales M2. Si los factores son del mismo signo, el producto buscado es el obtenido en M1 (por lo tanto es positivo), y si son de signos contrarios es el inverso de ése (por lo tanto es negativo). M3. Si m es cualquier entero: m ∙ 0 = 0 y también 0 ∙ m = 0

21. Propiedades de la Multiplicación • Propiedad de cerradura • Propiedad conmutativa • Propiedad asociativa • Existencia y unicidad: neutro multiplicativo • Existencia y unicidad: inverso multiplicativo o recíproco • Propiedad Distributiva de la operación multiplicación ante la operación suma y ante la operación resta

22. Símbolos de agrupación La multiplicación es de mayor nivel que la suma y que la resta, estas últimas son del mismo nivel. La operación de mayor nivel se efectúa antes que las de menor nivel. Las del mismo nivel se efectúan en el orden en que estén escritas, de izquierda a derecha. Ejemplo: –[–(–7 + 1) + 4(2–6) – 2(–3 – 5)] = –[–(–6) + 4(–4) – 2(–8)] = –[6 + (–16) – (–16)] = –[6 – 16 + 16] = –[6] = –6

23. Cancelar lo símbolos de agrupación y al final realizar la suma algebraica Ejemplo: –[–(–7 + 9) + 4(2+6) – 2(–3 – 5)] = –[7 – 9 + 8 + 24 – (–6 – 10)] = –[7 –9 + 8 + 24 + 6 + 10] = –7 + 9 – 8 – 24 – 6 – 10 = –46 ACTIVIDAD:   Realiza las operaciones indicadas en esta última forma, es decir, elimina los símbolos de agrupación multiplicando (propiedad distributiva), después efectúa las sumas y las restas. a) –(7 – 5) + 3(–7– 8) b) ( 11–7 ) – (15 –22) c) –3(–1 – 6) – ( – 9 – 2) d) – {–[ 2 – (–3 –4) – 7] –8}– 12

24. División de los números enteros Sean dos enteros m y n, dividir m entre n se indica en la forma m ÷ n y su regla es la siguiente: m ÷ n = c significa que n∙c = m ¿Cuándo decimos que puede efectuarse la división m ÷ n ? Cuando existe aquél número entero c tal que n∙c = m, si hay tal entero c,es natural decir que n divide a m y otras frases parecidas, de aquí las siguientes: Definiciones. Si m y n son números enteros, y si existe otro entero c tal que n∙c = m, entonces decimos que n divide a m, o que m es divisible entre n. También se dice que n es divisor de m y que m es múltiplo de n.

25. Elementos de la división Los de arriba se usan cuando se multiplican cualquier clase de números, los de abajo se emplean sólo cuando se trata de una división de números enteros.

26. Número primo Definiciones: Si un entero (positivo) tiene exactamente dos divisores (positivos), 1 y el mismo número, se dice que es un número primo, si tiene más de dos (positivos) se le llama número compuesto. Como 1 no está en ninguno de los dos casos no pertenece a ninguna de las dos clases.

27. Teorema fundamental de la aritmética Teorema Fundamental de la Aritmética: Todo número compuesto tiene exactamente una factorización prima. Las factorizaciones que sólo difieren en el orden de los factores se consideran la misma factorización. Ejemplos: Diferentes formas de factorizar un número 24 = 2 ×12 24 = 3 ×8 24 = 4 ×6 24 = 2 ×3 ×4 24 = 2 ×2 ×6 24 = 2 ×2 × 2 ×3 ( Factorización prima ) 24 = 23 ×3

28. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Definición: Al mayor divisor común de varios números se le llama máximo común divisor de ellos,y es el mayor entero que los divide (exactamente) a todos (mcd). Definición: Al menor múltiplo común de varios números se le llama mínimocomún múltiplo de esos números, y es el menor entero divisible (exactamente) entre cada uno de ellos (mcm). Como hallarlos? • Se factorizan cada uno de los números dados en sus factores primos. • Se multiplican los factores comunes de menor exponente, el producto es el mcd buscado. • Se multiplican los diferentes factores de mayor exponente. El producto es el mcm buscado

29. Ejemplos 1. El máximo común divisor de 15, 81 y 9 15 = 3 ×5 81 = 3 ×27 = 3 × 3 × 9 = 3 × 3 × 3 × 3 = 34 9 = 3 × 3 = 32 mcd ( 15, 81, 9 ) = 3 2. El máximo común divisor de 56, 128, 34 y 76: 56 = 2 × 28 = 2 ×2 × 14 = 2 × 2 × 2 × 7 = 23 × 7 128 = 2 × 64 = 2 × 2 × 32 = 2 × 2 × 2 × 16 = 2 × 2 ×2 × 2 × 8 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 4 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 27 34 = 2 × 17 76 = 2 ×38 = 2 × 2 × 19 = 22 × 19 mcd ( 56, 128, 34, 76 ) = 2 3. El mínimo común múltiplo de 15, 81 y 9 15 = 3 ×5 81 = 3 × 27 = 3 ×3 ×9 = 3 ×3 × 3 × 3 = 34 9 = 3 ×3 = 32 mcm ( 15, 81, 9 ) = 34×5 = 405

30. Ejercicios 4. El mínimo común múltiplo de 56, 12, 34 y 76 56 = 2 ×28 = 2 ×2 ×14 = 2 ×2 × 2 ×7 = 23 ×7 12 = 2 ×6 = 2 ×2 ×3 = 22 ×3 34 = 2 ×17 76= 2 ×38 = 2 ×2 ×19 = 22 ×19 mcm ( 56, 128, 34, 76 ) = 23 ×3 ×7 ×17 ×19 = 54264 Ejercicios: 1. Determine el máximo común divisor de: a) 45, 30 y 60 b) 175, 245 y 315 c) 81, 54 y 189 2. Determine el mínimo común múltiplo de: a) 18, 36 y 40 b) 200, 120 y 360 c) 60, 100 y 260

31. El sistema de los números enteros Resumen: El sistema de los númerosenteros, indicado en la forma (Z, +, ∙ , <) está constituido con las siguientes partes: I) El conjunto Z II) Dos operaciones con números enteros llamadas adición (+) y multiplicación (.) III) Se cumplen las siguientes propiedades: Cerradura, conmutativa, asociativa, elemento neutro, elemento inverso y propiedad distributiva IV) El orden en Z m < n significa que existe un entero positivo p tal que m + p = n

32. Nuevamente por hoy es todo, que tengan un bonito fin de semana Atentamente Profr. Moy 15 de Octubre, 2011