ILMU KOM PUTER FAK MIPA UGM

GP DALIYO GP DALIYO GP DALIYO GP DALIYO GP DALIYO ILMU KOMPUTER FAKMIPAUGM GP DALIYO GP DALIYO

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] BNK/BNKP Bentuk normal yang lain adalah : Bentuk Normal Kunjungtif (BNK) dan Bentuk Normal Kunjungtif Penuh (BNKP) Dengan konsep yang similar dengan BND/BNDP maka di dapat konsep sebagai berikut : Untuk sebarang formula dalam n variabel proposisional p1,p2 , . . pn yg bukan tautologi ( yaitu setiap interpretasi nya merupakan suatu model) terdapatlah suatu formula yang ekuivalen logis daripada bentuk : U  W  V . . . . (suatu disjungsi dp sejumlah suku) dimana disjungan U, V, W, . . Yg masing-masing mempunyai bentuk : P1  P2  . . .  Pn , (suatu konjungsi daripada tepat n suku) dimana Pi adalah salah satu pi atau pi (negasi dp variabel ke i)

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Bentuk Normal Kusjungtif Penuh (BNKP). Perhatikan bahwa formula : U  V  W  . . . tidak di tentukan berapa banyak suku, tetapi dalam formula : P1  P2  . . .  Pn , banyaknya suku tepat n buah ; Formula berbentuk tsb disebut dengan : Bentuk Normal Kunjungtif Penuh (BNKP). Jika ada yang kurang dari n suku ataupun lebih maka dinamakan : Bentuk Normal Kusjungtif (BNK).

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Untuk menuliskan suatu formula dalam bentuk BKNP,ambil setiap entri F dalam tabel kebenarannya, ekspresikan entri tsb sbg suatu disjungsi dp semua variabel-2 (jika F) atau negasi mereka (jika T) , dn kemudian konjungsikan mereka Contoh : ((p  q)  ((p)  (r)))

((p  q)  ((p)  (r))) T F F T T T T T p T T T T F F F F q T T F F T T F F r T F T F T F T F Konjungan p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r BNKP – nya adalah : (p  q  r)  (p  q  r) Perhatikan bahwa cacah konjungan dalam suatu BNKP adl samadengan cacah F pada entri di tabel kebenaran Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional]

((p  q)  ((p)  (r))) T F F T T T T T p T T T T F F F F q T T F F T T F F r T F T F T F T F Konjungan - p  q  r p  q  r - - - - - Perhatikan bahwa satu suku untuk setiap entri F pada tabel kebenaran dan masing-2 disajikan dengan disjungsi daripada negasi daripada ni lai variabel (kalau nilainya T maka dinegasikan jika F tidak dinegasikan) untuk entri tersebut. Setiap suku seperti mis. p  q  r sekarang bernilai T disemua baris kecuali disatu baris tertentu yaitu baris dimana p = T, q = T, dan r = F , (cek : p = T, q = T, r = T (brs ke 1) maka ia bernilai T, yang lainnya silahkan dicoba!!!) Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional]

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Sekali lagi kita gunakan BNK (Bentuk Normal Konjungtif) sebagai lawan/pasangan daripada BNKP (Bentuk Normal Kongjungsi Penuh) untuk menggambarkan formula dimana tidak semua va riabel diperlukan untuk muncul dalam setiap kon jungan

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Negasi daripada formula proposisional Definisi : Diberikan suatu formula P , negasi daripada P ada lah P. Jika suatu formula dinegasikan diperlukan metode- metode seperti disebutkan/dibicarakan diatas Contoh : Tuliskan dalam logika proposisional dan kemudian negasikan kalimat “ Jika makluk hidup bertelinga panjang dan bergigi besar ia adalah kelinci”

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Negasi daripada formula proposisional Jawaban : Andaikan : p adalah “Makluk hidup bertelinga panjang” : q adalah “Makluk hidup bergigi besar” : r adalah “Makluk hidup adalah kelinci” maka : (pq)r = (pq)r = pqr , dinegasikan : (pqr) = pqr didapat : “Makluk hidup mempunyai telinga panjang, (dan) gigi besar dan adalah bukan kelinci”

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Negasi daripada formula proposisional • “Perlu memiliki password yg sjah agar Anda bisa log on ke server.” • Nyatakan pernyataan diatas dalam bentuk proposisi Jika…maka … • Tentukan negasinya, inversinya, dan kontraposisinya. • Jwb : • Misalkan : p = Anda bisa log on ke server • q = Anda memiliki password yg syah. • Jika Anda bisa log on ke server maka Anda memiliki password yg syah. • i). Negasi : Anda bisa log on ke server dan Anda tidak memiliki password yang syah. • ii). Inversi : Jika Anda tidak bisa log on ke server maka Anda tidak memiliki password yang syah.

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Negasi daripada formula proposisional iii) Kontraposisi : Jika Anda tidak memiliki password yang syah maka Anda tidak bisa log on ke server. iv) Konversi : Jika Anda memiliki password yang syah maka Anda bisa log on ke server. Pernyataan : Untuk mendapatkan satu kupon undian, Anda cukup membeli dua barang seharga Rp. 50.000,00 i). Jika Anda membeli dua barang seharga Rp. 50.000,00 maka Anda mendapatkan dua kupon undian ii). Negasi. ((pq)) = (p  q) = p  q jadi Anda membeli dua barang seharga Rp. 50.000,00 dan Anda tidak mendapatkan dua kupon undian. iii) Konverse : q p iv) Inversi : p  q v). Kontraposisi : q  p

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Generalisasi Hukum de Morgan Andaikan P suatu formula yang menggunakan ku rung penuh (berarti untuk setiap kemunculan dari pada suatu operator baik monadika maupun diadi ka, operator tersebut dan operannya dikurung dlm satu kurung) yang hanya memuat operator-opera tor , , dan  ; Kita telah tahu bahwa setiap for mula dapat disajikan dalam bentuk ini (ingat him punan operator lengkap).

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Generalisasi Hukum de Morgan Selanjutnya kita definisikan P* sebagai formula yg didapat dari formula P dengan menggunakan dua aturan dibawah ini : 1). Gantikan setiap kemunculan  dengan  dan kemunculan  dengan  2). Gantikan setiap variabel proposisional terne gasikan p dengan P dan sebaliknya setiap variabel proposisional tak ternegasikan p de ngan p

P P* ((p  q)) ((p  q)) (p  q) (p  q) (((p1  p2 ))  p3 (((p1  p2 ))  p3 ) Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Generalisasi Hukum de Morgan (Contoh)

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Generalisasi Hukum de Morgan (Teorema) Negasi selain pada level daripada suatu variabel proposisional tidak dipengaruhi/tetap. Formula harus dikurung penuh agar keterikatan operator (yaitu operan pada mana mereka mengoperasi kan) tidak merubah dibawah tranformasi (lihat contoh pada slide sebelum ini) Teorema : P* adalah negasi aripada P Bukti : menggunakan induksi lengkap !!!!

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Disjungsi dan Konjungsi diperluas Dengan menggunakan notasi  (sigma) dan  (produk) maka hukum de Morgan secara umum dapat dituliskan sebagai berikut : n n  (pi ) =T  (  pi ) i=1 i=1 n n  (pi ) =T  (  pi ) i=1 i=1

p q p  q T T T T F F F T F F F F p q (p  q)D F F F F T T T F T T T T p q (p  q)D T T T T F T F T T F F F p  q T T T F Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Dualiti (Definisi menurut Alan Rose) Untuk mencari Dual (ditulis PD) drpd sebarang for mula atau fungsi, ambil tabel kebenarannya dan gantilah T dengan F dan F dengan T dimana-mana [baik didalam (dalam formula/fungsi tersebut) maupun diluar (nilai daripada variabel-variabelnya)]. Contoh sederhana :

p q p  q T T T T F F F T F F F F p q (p  q)D F F F F T T T F T T T T p q (p  q)D T T T T F T F T T F F F p  q T T T F Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Dualiti (Definisi menurut Alan Rose) Terlihat bahwa : (p  q)D =Tp  q ; Dikatakan bahwa  adalah operator dual drpd 

p q r (p  q)  r T T T T T T F F T F T T T F F F F T T T F T F F F F T T F F F T p q r ((p  q)  r)D F F F F F F T T F T F F F T T T T F F F T F T T T T F F T T T F Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Dualiti (Definisi menurut Alan Rose) Contoh lain : (p  q)  r Kita bentuk tabek kebenaran sebagai berikut :

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Dualiti (Definisi menurut Alan Rose) (p  q)  r T F T F T T F T F F T T F T T T T F F F F T T T T F T T F F F T F T T F F F F F p q r ((p  q)  r)D F F F F F F T T F T F F F T T T T F F F T F T T T T F F T T T F p q r ((p  q)  r)D T T T F T T F F T F T T T F F F F T T T F T F F F F T T F F F F Apa masih ada fungsi/formula lain ??? Selain (p  q)  r Tunjukan !!!!

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Dualiti (Definisi menurut Alan Rose) Didapat : ((p  q)  r)D =T(p  q)  r Secara umum untuk sebarang fungsi f didapat : f(p,q,r)D =T f(p, q, r) karena dual dapat diperoleh dengan menegasikan variabel-variabelnya )p, q, r) dan juga hasilnya (f)

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Dualiti (Definisi altenatif) Dual daripada fungsi/formula f didefinisikan seba gai fungsi/formula yang diperoleh dengan meng gantikan simbol  dengan simbol  dan simbol  dengan simbol  dimana-mana . Formula harus dikurung penuh untuk menghindari masalah peng asosiasian dengan prioritas daripada operator, dan juga harus terdiri hanya operator-operator , , dan .

Dualiti (Definisi altenatif) Formula : (pq)r Ditulis kembali : (pq)r = ((p  q))  r atau : = (p  q)  r Dengan transformasi dualiti maka didapat : ((p  q))  r = ((p  q))  r dan (p  q)  r = (p  q)  r Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional]

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional] Dualiti (Definisi altenatif) Teorema : Dual daripada suatu formula adalah suatu tautologi jika dan hanya jika formula tersebut suatu absurditi Teorema tersebut dapat diekspresikan sebagai berikut : | A jika dan hanya jika | AD

GP DALIYO Bentuk Normal/Normal Forms • Benarkan ke lima penghubung logika tersebut diperlukan ? Apakah penghubung ¬, , , →, dan ↔ betul diperlukan ? (lihat slide sebelumnya) • Ternyata penghubung , →, ↔, dan juga tetapan T dan F dapat di eliminasi dengan menggunakan ekuivalensi karena : • p↔q  ¬(p¬q)¬(q¬p) • p→q  ¬(p¬q) -Jadi kita dapat ha- • pq  ¬(¬p¬q) nya menggunakan • T  ¬(p¬p) penghubung ¬ dan  • F  p¬p -jadi {¬,} himpunan konektiv yang cukup

p q pq pq T T F F T F T F F T T F F F T T GP DALIYO Himpunan cukup lainnya, NAND dan NOR • Tunjukan bahwa himpunan {¬,}, dan {¬,→) ,serta {F,→} juga himpunan yang cukup ? • Terdapat suatu konektif lain yang disebut NAND (not and) dan NOR (not or) yang disajikan dng masing-masing  (buku Burke menggunakan /) dan  , tabel kebenarannya adalah :

GP DALIYO Nand dan Nor • pq  ¬(pq) , berarti  not-and (NAND) • pq  ¬(pq) , berarti  not-or (NOR) • Selanjutan : • ¬p  pp, pq  ¬¬(pq)  ¬(pq)  (pq)(pq) Karena {¬,} koneksicukup maka {} juga cukup. 2. ¬p  pp, pq  ¬¬(pq)  ¬(pq)  (pq)(pq) Karena {¬,} koneksicukup maka {} juga cukup.

GP DALIYO Definisi Literal • Literal adalah salah satu, suatu variabel proposisional atau negasi daripada variabel proposisional. Untuk sebarang variabel proposisional p , literal p dan ¬p adalah literal saling komplemeter (complementary literal). Suatu anak kalimat (clause) konjungtif adlh suatu konjungtif daripada literal;suatu anak kalimat (clause) disjungtif adalah suatu disjungtif daripada literal

GP DALIYO Definisi conjuctive clause dan disjunctive cluse • Suatu anak kalimat (clause) konjungtif adlh suatu konjungsi daripada literal • Suatu anak kalimat (clause) disjungtif adalah suatu disjungsi daripada literal

GP DALIYO Definisi CNF dan DNF • CNF (Conjunctive normal form) adalah suatu konjungsi daripada anak kalimat disjungtif • DNF (Disjunctive normal form) adalah suatu disjungsi daripada anak kalimat konjungtif

GP DALIYO Contoh • (¬p → q) → (pr → qs)  ¬(¬p→q)  (pr → qs)  (p¬q)  (¬(pr)  (qs))  (p¬q)  ((¬p¬r)  (qs))  (p¬q)  (¬p¬r)  (qs) Dan didapat bentuk dnf

GP DALIYO Teorema • Setiap proposisi adalah ekuivalen dengan suatu CNF dan juga ekuivalen dengan DNF

GP DALIYO Prosedur merubah dari sebarang proposisi menjadi bentuk CNF atau DNF • Prosedur NorFor : • Input : Sebarang proposisi w daripada PL • Output : Suatu CNF dan DNF yang ekuivalen dengan w • Eliminasi koneksi →, ↔ dengan menggunakan hukum implikasi dan bikondisional • Gunakan hukum de Morgen untuk mendekatkan ¬ dekat/nempel pada variabel proposisional • Gunakan negasi ganda untuk memperoleh salah satu, ¬ atau tidak sama sekali dengan sebarang variabel proposisional • Gunakan hukum distributif untuk memperoleh CNF atau DNF diinginkan

GP DALIYO Contoh • (p → (¬q→r))  (p→¬q)  (¬p(¬q → r))  (¬pq)  (¬p(¬¬qr))  (¬pq)  (¬pqr)  (¬pq) Jadi merupakan bentuk CNF (bentuk normal konjungtif) , atau denag hukum distributif menjadi : (¬p¬p)  (¬p¬q)  (q¬p)  (q¬q)  (r¬p)  (r¬q) yang disederhanakan menjadi : ¬p  (¬p¬q)  (q¬p)  (r¬p)  (r¬q)

ILMU KOM PUTER FAK MIPA UGM