有限元分析及应用 Finite Element Analysis and Application

1. 有限元分析及应用Finite Element Analysis and Application

2. 有限元分析及应用Finite Element Analysis and Application 平面问题的有限单元法

3. 第三章 平面问题的有限单元法 3-1、有限单元法的计算步骤 3-2、平面问题的常应变(三角形)单元 3-3、单元刚度矩阵 3-4、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 3-5、平面问题的矩形单元 3-6、六节点三角形单元 3-7、单元载荷移置 3-8、整体分析 3-9、整体刚度矩阵的形成 3-10、支承条件的处理 3-11、整体刚度矩阵的特点

4. 图 3-1 3-1 有限单元法的计算步骤 弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤： 1、所分析问题的数学建模 2、离散化 3、单元分析 4、整体分析与求解 5、结果分析

5. 3-2 平面问题的常应变(三角形)单元 有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。因平面问题的变形主要为平面变形，故平面上所有的节点都可视为平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单元在节点处用铰相连，作用在连续体荷载也移置到节点上，成为节点荷载。如节点位移或其某一分量可以不计之处，就在该节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。如图3-1

6. 1、位移函数 如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。 有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。 对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示， 多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。 3-2 平面问题的常应变(三角形)单元

7. 六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以平面问题的3节点三角形单元的位移函数如下，六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以平面问题的3节点三角形单元的位移函数如下， 该位移函数，将单元内部任一点的位移设定为坐标的线性函数，该位移模式很简单。其中 为广义坐标或待定系数，可据节点i、j、m的位移值和坐标值求出。 3-2 平面问题的常应变(三角形)单元 三结点三角形单元 位移函数写成矩阵形式为：

8. 最终确定六个待定系数 3-2 平面问题的常应变(三角形)单元 其中 为2A第1行各个元素的代数余子式，

9. 3-2 平面问题的常应变(三角形)单元 令 （下标i，j，m轮换） 简写为 [I]是单位矩阵， [N]称为形函数矩阵， Ni只与单元节点坐标有关，称为单元的形状函数

10. 3-2 平面问题的常应变(三角形)单元 • 据弹性力学几何方程得 单元的应变分量 • 由于三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则单元的应变分量均为常量，故这类三角形单元称为常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化，应变为常量）

11. 3-2 平面问题的常应变(三角形)单元 2、形函数的特点及性质 1)形函数Ni为x、y坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。 2)形函数Ni在i节点处的值等于1，而在其他节点上的值为0。 即 3)单元内任一点的三个形函数之和恒等于1。 4)形函数的值在0—1间变化。

12. 3、收敛性分析 • 选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下列条件： • 位移函数必须含单元常量应变。前已说明 • 单元必须能反映单元的刚体位移（即单元应变为0时的位移）。前面位移函数改写为（注意： 为0 ） • 则单元刚体位移为 3-2 平面问题的常应变(三角形)单元 显然，位移函数包含了单元的刚体位移（平动和转动）

13. 3-2 平面问题的常应变(三角形)单元 y=Ax+B • (3)位移函数在单元内部必须连续位移。因为线性函数，内部连续 • (4)位移函数必须保证相邻单元在公共边界处的位移协调（即在公共边界上位移值相同）。如右图 • 设公共边界直线方程为y=Ax+B，代入位移函数可得：边界上位移为 • 显然，u,v仍为线性函数，即公共边界上位移连续协调。 • 综上所述，常应变三角形单元的位移函数满足解的收敛性条件，称此单元为协调单元 边界不协调产生裂缝 边界不协调产生重迭

14. 3-2 平面问题的常应变(三角形)单元 例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵[N]。

15. 3-2 平面问题的常应变(三角形)单元 由三角形的面积

16. 3-2 平面问题的常应变(三角形)单元 • 4、应力、应变矩阵 • 将位移函数代入平面问题几何方程，得应变矩阵：

17. 3-2 平面问题的常应变(三角形)单元 • 应力矩阵 • 由平面问题物理方程得： • 应变矩阵[B]反映了单元内任一点的应变与节点位移间的关系 • 应力矩阵[S]反映了单元内任一点的应力与节点位移间的关系 • 显然，常应变三角形单元的应变矩阵[B]为常量矩阵，说明在该单元上的应力和应变为常值。由此可见，在相邻单元的边界处，应变及应力不连续，有突变。

18. F * F y j yj F * F j j xj xj s y t xy F e e g * * * * F yi x y xy s yi * F F x F ym ym * F xi xi i i m m * F F xm xm (a)结点力、内部应力 (b)虚位移、虚应变 讨论单元内部的应力与单元的节点力的关系，导出用节点位移表示节点力的表达式。 由应力推算节点力，需要利用平衡方程。第一章中已经用虚功方程表示出平衡方程，即外力在虚位移上所作的虚功等于应力在虚应变上作的虚应变功。 3-3 单元刚度矩阵

19. 考虑上图三角形单元的实际受力，节点力和内部应力为：考虑上图三角形单元的实际受力，节点力和内部应力为： 任意虚设位移，节点位移与内部应变为 3-3 单元刚度矩阵

20. 令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为 3-3 单元刚度矩阵

21. 计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx和dy，厚度为t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx和dy，厚度为t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。 3-3 单元刚度矩阵

22. 微小矩形的内力虚功为 整个弹性体的内力虚功为 3-3 单元刚度矩阵

23. 根据虚功原理，得 这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。 虚应变可以由节点虚位移求出： 代入虚功方程 3-3 单元刚度矩阵

24. 接上式，将应力用节点位移表示出 有 令 实际上，单元刚度阵的一般格式可表示为 则 建立了单元的节点力与节点位移之间的关系， 称为单元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。 3-3 单元刚度矩阵

25. 由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的元素也是常量，且由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的元素也是常量，且 因此 可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。 3-3 单元刚度矩阵

26. 3-3 常应变三角形单元的刚度矩阵 • 单元刚度矩阵 可记为分块矩阵形式 • 将应变矩阵[B]的分块阵代入单元刚度矩阵，可得其子块计算式： • 对于常应变三角形单元，考虑平面应力问题弹性矩阵[D]，可得

27. { } { } { } { } e e s e d F (6) [ ] (3) (3) T [ ] [ ] B tA D B (6 3) (3 3) (3 6) ╳ ╳ ╳ [ ] = S [ D ][ B ] (3 6) ╳ [ ] e = T K [ B ] [ D ][ B ] tA (6 6) ╳ 上述推导单元刚度矩阵的过程可归纳为 单元刚阵[K]的物理意义是单元受节点力作用后抗变形的能力。其元素 的意义为：当第j个自由度发生单位位移，而其他自由度的位移为0时，在第i个自由度上所施加的力。若按节点来说明，则刚阵中每个子块 表示：当节点j处发生单位位移，而其他节点固定时，在节点i上所施加的力。 3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质

28. 节点力和节点位移的关系：(以简单平面桁架为例)节点力和节点位移的关系：(以简单平面桁架为例) 平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合体在节点载荷的作用下，节点对单元、单元对节点都有作用力与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为节点力。 节点力和节点位移的关系前面已经求出： 3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质

29. 单元刚度矩阵的物理意义： 将 写成分块矩阵 写成普通方程 其中 表示节点S(S=i,j,m)产生单位位移时，在节点r(r=i,j,m)上所需要施加的节点力的大小。 3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质

30. 单元刚度矩阵的物理意义： 将节点力列矩阵 与节点位移列矩阵 均展开成(6*1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成(6*6)阶方阵： 元素K的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标“-”的表示垂直方向。 3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质

31. 单元刚度矩阵的物理意义： 单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。 表示节点S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在节点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平节点力和垂直节点力的大小。例如 表示节点j在垂直方向产生单位位移时，在节点i所需要施加的水平节点力的大小。 3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质

32. 3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质 • 1）单元刚度矩阵是对称阵，(只要证明 ) • 2）单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素 表示力的方向和位移方向一致，故功总为正值。 • 3）单元刚阵是奇异阵，即|K|=0，这是因为计算单元刚阵时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于平衡状态，但容许单元产生刚体位移，故从单元刚度平衡方程不可能得到唯一位移解 ，只能得到唯一的节点力解。 • 4）单元刚阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。

33. 3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质 • 1、求[B] • 2、求[D] • 3、求[S] • 4、求 例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设

34. 3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质 • 几点说明： • 1）单元刚度方程是满足节点力平衡条件而建立的，即有限元方程是一组节点力平衡方程组。 • 2）单元内任一点位置的平衡条件往往不满足，即微分平衡方程可能不满足。对于非线性单元，位移函数常不满足以位移为未知量的平衡方程，对线性单元，因位移函数为线性的，应变、应力为常量，可以满足单元内平衡。 • 3）单元之间的平衡条件一般得不到满足，线性单元的应力为常量，单元间应力有突变，明显不满足平衡条件

35. y l(-1,1) j(1,1) x i(1,-1) m(-1,-1) 3-5 平面问题的矩形单元 矩形单元是平面问题常用的一种单元，尤其是边界比较规则的平面结构，如图2a*2b的4节点8自由度矩形单元。 1、位移函数 取无量纲坐标，得矩阵表示 利用节点位移，可待定系数

36. 3-5 平面问题的矩形单元 • 代入系数至位移函数，并整理成位移插值函数 • Ni为形函数，仍具有前述的形函数的基本性质 • 记为矩阵形式，I为单位矩阵 • 可以证明该位移函数满足收敛性条件，单元为协调元

37. 3-5 平面问题的矩形单元 • 应变矩阵 • 应变矩阵[B]的元素是x，y的函数，所以，矩形单元中的应变不是常量，而是随x或y线性变化的，显然，应力也是随x或y线性变化的。较常应变单元有更高的计算精度

38. 3-5 矩形单元的刚度矩阵 • 将刚阵记为分块形式 • 其子块的计算为 • （虽然该计算式是从三角形推导的，但它是一般格式，适用于所有单元）

39. m p j i 3-6 六节点三角形单元 • 1、面积坐标 • 称为p点的面积坐标，显然三个面积坐标不完全独立，有如下关系 • 实际为三角形 的高与 高的比，即平行jm线的直线上的所有点有相同的 。同时，易得

40. 3-6 六节点三角形单元 • 将三角形顶点ijm坐标与p点坐标代入面积坐标，则得面积坐标与直角坐标xoy的关系式 • 比较 与常应变三角形的形函数 可知，两者相同

41. m(0,0,1) 3(1/2,0,1/2) 2(0,1/2,/2) j(0,1,0) i(1,0,0) 1(1/2,1/2,0) 3-6 六节点三角形单元 • 如图六节点12自由度三角形单元 • 位移函数：单元内任意一点的位移位移函数用6个节点位移与相应的形函数来表示

42. 3-6 六节点三角形单元 • 应变矩阵 • 从上可知：位移为面积坐标或直角坐标的二次函数，应变或应力为面积坐标或直角坐标的一次式，即在单元内位移为二次变化，应变或应力为线性变化

43. 3-6 六节点三角形单元 • 将刚阵记为分块形式 • 其子块的计算为 • （虽然该计算式是从三角形推导的，但它是一般格式，适用于所有单元）

44. 3-7 单元载荷移置 连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向节点移置(分解)，而成为节点载荷。如果弹性体承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为节点，就不存在移置的问题，集中力就是节点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和体力，都不可能只作用在节点上。因此，必须进行载荷移置。如果集中力的作用点未被取为节点，该集中力也要向节点移置。 将载荷移置到节点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指原载荷与节点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。

45. 0.5ql 0.5ql 0.5ql 0.5ql M M 静力等效 3-7 单元载荷移置 • 载荷移置的原则：能量等效，即单元的实际载荷与移置后的节点载荷在相应的虚位移上所做的虚功相等 • 载荷移置的条件：圣维南原理 • 载荷移置的方法： • 1）直接法（静力等效法，虚功移置法） • 2）普遍公式法

46. X j j j Y y y j 1/3 b b c l c i y i m w w X i m m x l m Y i x x 虚功移置：在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过简单的虚功计算得节点载荷。即移置前后虚功相等。 3-7 单元载荷移置 如均质等厚度的三角形单元所受的重力，把1/3的重力移到每个节点，即

47. j j X =1/3p j y y L =2/3L j L p=0.5qL L =1/3L i X =2/3p i i i q m m x x 例： 3-7 单元载荷移置 总载荷的2/3移置到节点i，1/3移置到节点j，与原载荷同向

48. 普遍公式法 集中力的移置 体力的移置 分布面力的移置 在线性位移模式下，用直接计算法简单；非线性模式下，要用普遍公式计算。 3-7 单元载荷移置

49. 单元分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成结构，进行整体分析。单元分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成结构，进行整体分析。 3-8 整体分析 图示结构的网格共有四个单元和六个节点。在节点1、4、6共有四个支杆支承。结构的载荷已经转移为结点载荷。 整体分析的四个步骤： 1、建立整体刚度矩阵； 2、根据支承条件修改整体刚度矩阵； 3、解方程组，求节点位移； 4、根据节点位移求出应力。

50. 1、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵) 上图中的结构有六个节点，共有12个节点位移分量和12个节点力分量。由结构的节点位移向量求结构的节点力向量时，转换关系为： 分块形式为： 其中子向量 和 都是二阶向量，子矩阵 是二行二列矩阵。整体刚度矩阵[K]是12*12阶矩阵。 3-8 整体分析