Statistiques de balayage : analyse des « clusters » d’évènements

1. Statistiques de balayage : analyse des « clusters » d’évènements Journée SMAI IMdR : 6 février 2009 Aéronautique

2. Clusters et statistiques de balayage : introduction sur un exemple simple • Méthodes de simulation • Monte-Carlo • Petri net • Méthodes markoviennes • Chaîne de Markov simplifiée, simple fenêtre de balayage • Chaîne de Markov simplifiée, double fenêtre de balayage • Chaîne de Markov complète • Résultats et Comparaison des méthodes • Conclusion Aéronautique

3. 6 août Le vol 1153 de Tuninter s’abîme en mer près de Palerme 2 août Le vol 358 d’Air France sort de piste en atterrissant à Toronto Fréquence moyenne des accidents aériens : 0,88 par période de 22 jours. 14 août Le vol 522 d’Hélios s’écrase sur un massif près d’Athènes 23 août Le vol 204 de la Tans s’écrase à l’approche en Amazonie 16 août Le vol 1153 de la West Caribbean se crashe au Venezuela Une telle série semble très improbable mais… Les statistiques de balayage permettent d’évaluer ou d’approcher la probabilité d’occurrence d’un tel “cluster” d’évènements. Aéronautique

4. Difficultés • Toute fenêtre de taille w peut contenir un cluster • Les fenêtres se chevauchent Objectif : évaluer la probabilité d’observer un cluster de kévènements ou plus dans une fenêtre temporellede longueur w balayant une période de taille donnéeT. Aéronautique

5. Exemple: • Deux modèles de probabilité : • Loi de Bernoulli • Loi de Poisson • Solutions • Simulation de Monte Carlo • directe (implémentée dans un algorithme dédié) • supportée par un réseau de Pétri • Chaînes de Markov

6. Simulation de Monte-Carlo directe • Les dates d’accidents sont générées aléatoirement selon la loi considérée et de manière à recouvrir la période d’observation [0,T[ • La liste des dates est scannée jusqu’à observation d’un cluster • Une variable Nb_Cluster est incrémentée d’une unité La quantité recherchée est donnée par où N est le nombre de répétitions de la simulation. Aéronautique

7. Réseau de Petri animant une simulation de Monte-Carlo • Processus de comptage simple (simple counting medium) • 2 places et 2 transitions • Initialement • la place 1 est marquée d’une pièce • Nb_Cluster est égal à zéro • Les variables εi (i =1 à k) indiquent les dates de k accidents successifs • L’index I permet de calculer en continu le temps écoulé entre les évènements i et (i+k-1) • Nb_Cluster passe à 1 dès que k accidents se produisent dans une fenêtre de longueur w Aéronautique

8. N(u,w) Xi 0 T i-1 i u u+w 1 2 3 Balayage de la période d’observation Bernoulli model i.e. MODELES MARKOVIENS Notation • Xi… variable aléatoire donnant le nombre d’évènements sur [i-1,i[ • N(u,w)… variable aléatoire comptant le number d’évènements sur la fenêtre [u,u+w[ • p la probabilité qu’un évènement se produise sur un sous-intervalle de longueur 1 Aéronautique

9. indépendants dépendants De la fenêtre N(u,w) à la fenêtre N(u+1,w) PREMIER MODELE MARKOVIEN Gain de la variable aléatoire Xu+w+1 “Perte” de la variable aléatoire Xu+1 Aéronautique

10. PREMIER MODELE MARKOVIEN Etats E0, E1,E2 : respectivement 0, 1 ou 2 évènements dans la fenêtre courante E3 : 3 évènements ou plus dans la fenêtre courante Chaîne de Markov Probabilité d’un cluster de 3 évènements ou plus dans une fenêtre de taille w=10 Aéronautique

11. Matrice de transition Vecteur des probabilités initiales PREMIER MODELE MARKOVIEN Nombre d’itérations Aéronautique

12. PREMIER MODELE MARKOVIEN La probabilité d’observer un cluster de k=3 évènements ou plus dans une fenêtre de taille w=10 balayant la période de longueur T=365 est donnée par le produit MNX avec N=356

13. E0 E1 E0 DEUXIEME MODELE MARKOVIEN Problème : le modèle autorise des “chemins” qui ne sont pas réalisables en pratique E0 E1 E1

14. DEUXIEME MODELE MARKOVIEN Partage de la fenêtre de balayage en deux sous-fenêtres E0 E1 E’1

15. soit un couple (i,j) si i+j<k Un état est: soit l’état absorbant si i+j=k Les probabiltés de transition et le vecteur des probabilités initiales sont calculés d’une manière analogue à précédemment DEUXIEME MODELE MARKOVIEN La matrice de transition est une matrice de taille D×D avec D=k(k-1)+1

16. Xi T 0 i-1 i u u+w 1 2 3 soit un w-uplet (X1, X2,…, Xw) si X1 + X2 +…+ Xw <k • Un état est: soit l’état absorbant A si X1 + X2 +…+ Xw =k TROISIEME MODELE MARKOVIEN Modèle “complet” … • L’espace d’états est et sa dimension Notation: état (i1,i2,…,im) pour i1=i2=…=im=1 et il=0 sinon

17. Transition de l’état (i,j) vers l’état (i-1,j-1) avec la probabilité q: i j i-1 j-1 Transition de l’état (i,j) vers l’état absorbant avec la probabilité p: i j i-1 j-1 TROISIEME MODELE MARKOVIEN Matrice de transition

18. Vecteur des probabilités initiales with and TROISIEME MODELE MARKOVIEN La probabilité d’observer un cluster de k=3 évènements ou plus dans une fenêtre de taille w=10 balayant la période de longueur T=365 est donnée par le produit MNX avec N=356

19. Résultats

20. Conclusions • Les résultats obtenus dans le cadre du modèle de Bernoulli convergent vers ceux obtenus dans le cadre du modèle de Poisson lorsque le pas de discrétisation tend vers 0. • A notre connaissance, il n’existe pas de méthode exacte pour résoudre en un temps « très court » le problème de l’estimation de la probabilité d’occurrence d’un cluster d’évènements… • … Les méthodes proposées permettent d’évaluer ou d’approcher cette probabilité en un temps très acceptable. • Les méthodes proposées sont très différentes, faisant appel à la simulation, à des approches combinatoires, ou aux chaînes de Markov. Cependant, nous observons qu’elles donnent des résultats quasi identiques lorsque la discrétisation est suffisamment fine.