Lectures

2. f(x) x Lectures • Volume du cours: Chapitre 6 • Probabilité en gestion et en économie, Martel et Nadeau, sections 5.3 et 5.4

3. Variable aléatoire continue (v.a.c) • Définition : Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle de nombres réels. • Exemples : • Soit la v.a. X représentant la durée de vie, en jours d’une ampoule électrique. • Soit la v.a. X représentant le pourcentage d’un projet réalisé après 6 mois

4. Variable aléatoire continue • Différente d’une variable alétoire discrète (v.a.d.) par le calcul des probabilités • Pour une v.a.d. la fonction de masse f(x) fournit la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur particulière x: P(X=x) • Pour une v.a.c. f(x) est appelée la fonction de densité de probabilité. C’est l’équivalent de la fonction de masse; mais elle ne fournit pas directement les probabilités • P(X=x) = 0pour une variable aléatoire continue

5. Variable aléatoire continue • Pour une v.a.c. X, on ne peut pas parler de la probabilité que X prenne une valeur x mais plutôt de la probabilité qu’elle se retrouve dans un intervalle donné • C'est la vraisemblance qu'une variable aléatoire X prenne une valeur appartenant à un intervalle particulier

6. Variable aléatoire continue • f(x): fonction de densité de probabilité où X est la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en années d’une ampoule Forme analytique

7. La fonction de répartition F(a)= P(X≤a)= Variable aléatoire continue • La probabilité que la v.a.c. X prenne une valeur dans un intervalle entre a et b est donnée par l’aire sous le graphique de la fonction de densité de probabilité f(x) entre a and b. = F(b)- F(a)

8. Représentation graphique L’aire sous la courbe doit être égale à 1.

9. Variable aléatoire continue La probabilité en un point est nulle. P(X=x)=0 L’aire sous la courbe  entre 2 valeurs a et b représente la probabilité que la v.a. X prenne une valeur dans l’intervalle [a, b].

10. Propriétés de la fonction de densité de probabilité Une probabilité est toujours  à 0. L’aire totale sous la courbe doit être égale à 1.

11. Calcul des probabilités Exemple : Calculer la probabilité que la durée de vie de l’ampoule électrique soit comprise entre 0 et 0,5 an.

12. Représentation graphique P(0,5≤X≤1)

13. Réponse

14. Exemple La vie utile d’une certaine composante d’une pièce électronique est décrite par la densité de probabilité suivante: • où x est exprimé en centaines d’heures. • Prouver que l’on a bien une fonction de densité; • Donner la représentation graphique de cette fonction; • Calculer : P(X  2); P(X > 4) et P(2  X  4)

15. Exemple La surface sous la courbe 0,5*6*0,3333=1 P(X  2) = 2*0,1/2=0,1 P(X > 4)= 1- P(X  4) =1-(4*0,2/2) =1-0,4=0,6 P(2  X  4)= 1- 0,1-0,6=0,3

16. Distribution uniforme • Lorsque la probabilité est proportionnelle à la longueur de l’intervalle, la v.a.c. est distribuée de façon uniforme • Une v.a.c X obéit à une distribution uniforme sur un intervalle [a, b] si sa densité de probabilité est donnée par : Ont dit que X  U(a, b) où a et b   et a < b

17. Exemple • Supposons que la concentration d’un certain polluant est distribuée uniformément sur l’intervalle 6 à 22 ppm. Si la concentration excède 16 ppm, on considère le polluant comme toxique. Quelle est la probabilité de déclarer le polluant comme toxique?

18. P(X>16) = (1/16)(6) = 0,375 Exemple f(x) 1/16 x 6 16 14 22 Concentration en ppm

19. Distribution uniforme E(X) = m = a+b 2 Var(X) = (b-a)2 12

20. Distribution exponentielle • Si une v.a. X représente le temps requis pour obtenir un premier succès ou le temps entre deux succès consécutifs, alors X obéit à une distribution exponentielle. • X  Exp (m) • Ce qui se lit « X suit une loi exponentielle de paramètre m »

21. Distribution exponentielle • La loi exponentielle est utile pour décrire la durée de réalisation d’une tâche • Exemples: • le temps entre les arrivées à un lave-autos • la distance entre les défauts majeurs d’une autoroute • dans les files d’attente, la distribution exponentielle est souvent utilisée pour le temps de service • Liée à la loi de Poisson qui fournit une bonne description du nombre d’occurrences par intervalle • Loi exponentielle fournit une bonne description de la longueur de l’intervalle entre les occurrences

22. Distribution exponentielle Une v.a.c X pouvant prendre toutes les valeurs x dans l’intervalle de 0 à , pour m>0 dont la fonction de densité est : s’appelle une v.a. exponentielle de paramètre m.

23. Distribution exponentielle p = 3.14159 e = 2.71828 E(X) = m VAR(X) = m2 • Dans Excel: Le paramètre lambda est: 1/m

24. Relation entre les distributions de Poisson et exponentielle • Loi (discrète) de Poisson utile pour examiner le nombre d’occurrences d’un événement dans un intervalle de temps ou d’espace donné • Loi de Poisson fournit une description du nombre d’occurrences par intervalle • Loi (continue) exponentielle fournit une description de la longueur des intervalles entre les occurrences • Le paramètre de la loi exponentielle est l’inverse du paramètre de la loi Poisson

25. Exemple • Le samedi soir, entre 20h et 21h, sur la route transcanadienne entre Québec et Vancouver, il y a en moyenne 5 accidents de la route. Un samedi soir particulier, entre 20h et 21h: • calculer la probabilité qu’il y ait plus de 10 accidents de la route sur la transcanadienne; • b) si l’on sait qu’un accident vient tout juste de se produire sur cette route, calculer la probabilité qu’il faille attendre plus de 10 minutes avant qu’il s’y produise un autre accident.

26. Distribution normale • Une v.a.c X pouvant prendre toutes les valeurs réelles x dans l’intervalle de -  à +, pour m  , pour s  + dont la fonction de densité est : s’appelle une v.a. normale de paramètres m et s2: X N(m, s2)

27. f(x) x  Forme de la distribution normale • Il existe une famille entière de lois normales. Elles se différencient par leur moyenne et leur variance • Courbe en cloche • Courbe symétrique • La moyenne, le mode et la médiane correspondent au même point (le point le plus élevé) • L’écart type détermine la largeur de la courbe, plus il est grand, plus la courbe sera large et aplatie • L’aire totale sous la courbe est 1 • Aussi appelée loi Gaussienne ou loi de Gauss

28. Distribution normale • 68,26% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle [m-s;m+s] • 95,44% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle [m-2s;m+2s] • 99,72% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle [m-3s;m+3s]

29. = F(b)- F(a) Distribution normale E(X) = m VAR(X) = s2 • Pas facile de calculer l’aire sous la courbe • On utilise des tables • Distribution normale centrée réduite

30. La loi normale centrée réduite • Une v.a.c. qui a une distribution de probabilité normale de moyenne 0 et écart type 1, suit ce qu’on appelle une loi normale centrée réduite. • Cette variable est souvent dénotée par la lettre Z • On peut convertir une v.a.c. X qui suit une loi normale de moyenne m et écart type s en une variable normale centrée réduite Z :

31. La loi normale centrée réduite • Étant donné une valeur z, nous utilisons la table normale centrée réduite pour trouver la probabilité (l’aire sous la courbe) qui lui est associée.

32. La loi normale Aire totale sous la courbe = 1 0,5 0,5 -2s m 2s -4s 4s m

33. La loi normale centrée réduite Aire sous la courbe = 1 0,5 0,5

34. Exemple: Pep Zone Pep Zone vend de l’huile à moteur. Lorsque l’inventaire de l’huile à moteur descend à 20 gallons, une commande est effectuée auprès du fournisseur. Le gérant du magasin a remarqué qu’il perdait des ventes lorsqu’il était en attente du nouveau stock. Il avait déterminé que la demande lorsqu’on est en attente du nouveau stock suit une loi normale de moyenne de 15 gallons et un écart type de 6 gallons. Le gérant aimerait savoir quelle est la probabilité d’une rupture de stock?

35. Exemple: Pep Zone • X est la variable aléatoire qui représente la demande en gallons d’huile à moteur en période d’attente de stock • On cherche P(X > 20) • Définissons: Z = (X - m)/s • P(X > 20)=P(Z > (20 - 15)/6 )= P(Z > 0,83) • On cherche donc: P(Z> 0,83)

36. Exemple: Pep Zone • Les nombres de la table correspondent à la valeur de l’aire, ou la probabilité, située sous la courbe entre la moyenne et z écarts type au-dessus de la moyenne.

37. Aire = 0,2967 Aire= 0,5 - 0,2967 = 0,2033 Aire = 0,5 z 0 0,83 Exemple: Pep Zone • La table montre une surface de 0,2967 pour la région entre z = 0 et z = 0,83. • La région de l’extrémité en vert correspond donc à 0,5 - 0,2967 = 0,2033. • La probabilité d’une rupture de stock est 0,2033

38. Distribution normale centrée réduite .03 .8 Dans cette table on voit l’aire entre z=0 et z: P(0≤Z≤z) = P(-z≤Z≤0)

39. Distribution normale centrée réduite .03 .8 Dans cette table on voit l’aire entre z=0 et z: P(0≤Z≤z) = P(-z≤Z≤0) On a donc: P(Z≤z)=0,5+P(0≤Z≤z) P(Z ≥-z)=0,5+P(-z≤Z≤0)

40. Exemple: Pep Zone Si le gérant de Pep Zone veut que la probabilité de rupture de stock ne dépasse pas 0,05, à quel niveau d’inventaire devrait-il passer une nouvelle commande?

41. Aire = 0,05 Aire = 0,5 Aire = 0,45 k 0 Exemple: Pep Zone On cherche k tel que P(Zk) ≤0,05

42. Exemple: Pep Zone Dans la table, on trouve la valeur de z qui correspond à une probabilité de 0,4500 k = 1,645 est une estimation raisonnable P(Z ≤1,645)=0,95 donc P(Zk) ≤0,05

43. Exemple: Pep Zone • La valeur correspondante de x est: x =  + k  = 15 + 1,645(6) = 24,87 • Une commande de of 24,87 gallons rendra la probabilité d’une rupture de stock égale à 0,05. • Donc, Pep Zone devrait passer une nouvelle commande lorsque il leur reste 25 gallons pour garder cette probabilité sous 0,05.

44. Exemple • Une machine fabrique des rondelles de métal dont le diamètre est distribué normalement avec une moyenne de 2,4 cm et un écart type de 0,05 cm. Des rondelles produites par cette machine, trouvons la proportion de celles dont le diamètre: i) excède 2,5 cm; Rép. 0,0228 ii) n’excède pas 2,32 cm; Rép.0,0548 iii) est compris entre 2,35 cm et 2,46 cm. Rép.0,7262 • Trouvons la valeur de x telle que 5 % des rondelles présentent un diamètre qui lui est supérieur.Rép. 2,48225

45. Convergence de la binomiale vers la normale • Si X Bi (n, p)  X N ( np, npq) • La distribution normale est une bonne approximation de la distribution binomiale lorsque: • np≥5 et n(1-p) ≥5 • Un factor de correction de continuité peut être nécessaire pour s'assurer que la probabilité d'une valeur spécifique discrète est incluse dans le calcul. P(X=12) est approximé par P(11,5 ≤ X ≤ 12,5) • Facteur de correction = 0,5

46. Exemple (sol intranet) • Une station-service est approvisionnée en essence une fois par semaine. Son volume de ventes hebdomadaires, en milliers de litres, est une variable aléatoire continue, notée par X, dont la fonction de répartition est : • a. Déterminer analytiquement les fonctions de répartition et de densité de la variable aléatoire X. • b. Déterminer le volume de ventes hebdomadaires espéré. • c. Quelle doit être la valeur x du volume de ventes hebdomadaires pour que la probabilité que l'on dépasse cette valeur x soit de 0,25 ?

47. Exemple (sol intranet) • La firme PizzaYUM affirme dans sa publicité que sa toute nouvelle pizza est servie en cinq minutes. Par souci d’intégrité et d’efficacité, le gérant de PizzaYUM a mené sa petite enquête dans sa succursale, et a fait les constatations suivantes : On a autant de chances de livrer une pizza en moins de 5 minutes qu’en plus de 5 minutes. Dans 20% des cas, la pizza est servie en plus de 5,5 minutes; On peut faire l’hypothèse que le temps de service X suit une distribution Gaussienne (c’est à dire une loi normale). • a) Déterminer E(X) et σ(X) • b) Quel devrait être le temps moyen de préparation pour que 80% des pizzas soient servies en moins de 5 minutes? • c) Lorsqu’un client commande une pizza, on lui affirme qu’elle sera prête dans 5 minutes. Cependant, en période de pointe, il faut 45 secondes de plus pour servir la pizza. En période de pointe, quelle est la probabilité que la pizza ne soit pas encore servie après 6 minutes. • d) Quelle est la proportion de pizzas qui seront servies entre 4 et 5 minutes : • i. En période de pointe? • ii. En période normale?

48. Exemple (sol intranet) • Un gérant de production se demande s'il devrait acheter une machine qui pourrait épargner plusieurs heures de travail. Le coût à l'achat de cette machine est 100 000$ et peut être utilisée pendant 1 an à un coût horaire de 50 $. À la fin de cette année, elle peut être vendue pour 28 000$. Le gérant estime qu'il peut économiser 2 800 heures de travail en une année et que chaque heure économisée se traduit en une épargne de 80 $. Après avoir réfléchi à la situation, il a constaté que le nombre d'heures épargnées suit une distribution normale de mode 2 800 et qu'il y a 90% de chances que ce nombre se situe entre 2600 et 3000. • a) Quels sont les paramètres de la distribution du nombre d'heures épargnées? • b) Le gérant décide d'acheter la machine. Si le nombre d'heures épargnées dépasse 2400, il aura pris une bonne décision. Quelle est la probabilité qu'il ait prix une mauvaise décision?