Matemáticas Discretas Agosto-Diciembre 2007

1. Matemáticas DiscretasAgosto-Diciembre 2007 Rodrigo Montúfar Chaveznava rmontufar@itesm.mx

2. Objetivos generales • Aplicar algunas de las herramientas que proveen las matemáticas discretas en la solución de problemas de electrónica, computación e información. • Aplicar algunas de las herramientas que proveen las matemáticas discretas en la modelación formal de situaciones reales relacionadas con el manejo de información • Reconocer la importancia que tiene fundamentar las soluciones a problemas reales a través de teorías y modelos formales.

3. Temario • Conjuntos • Relaciones y Grafos • Arboles y Lenguajes • Semigrupos, grupos y máquinas de estado finito.

4. Bibliografía Libro de texto • Grimaldi, R. P, Discrete and Combinational Mathematics: An Applied Introduction, 5a Edición, Pearson Addison Wesley, 2003. QA39.2 G75 1999  y QA39.2 G7518 1998 • Rosen, K. H. Matemáticas discretas y sus aplicaciones, 5a Edición, McGrawHill, 2004. Libros de consulta • Johnsonbaugh, R, Matemáticas Discretas, 4a Edición, Prentice Hall, 1999. QA39.2 J5418 1999 • Grossman, Peter. Discrete mathematics for computing. 2a edición. New York : Palgrave Macmillan, 2002.  QA76.5 G78 2002 • Haggarty, Rod. Discrete mathematics for computing. Harlow, England ; New York : Addison-Wesley, 2002 . QA76.9.M35 H34 2002 • Anderson, James Andrew. Discrete mathematics with combinatorics. Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall, 2001. QA39.2 A53 2001 • Scheinerman, Edward R. Matemáticas discretas. México : Thomson Learning, 2001. QA39.2 S3418 2001 • Kolman, B., Busby, R. C. y Ross, S. C. Estructuras de matemáticas discretas para la computación. 2ª Edición. México : Prentice-Hall Hispanoamericana , 1997.  QA76.9.M35 K6518 1997   

5. Análisis combinatorio • Principios fundamentales del conteo • Permutaciones • Combinaciones • Teorema binomial • Sucesiones y sumas

6. Módulo 1 1. Principios fundamentales del conteo Regla de la suma. Si una primer tarea puede realizarse de m formas, mientras una segunda tarea puede realizarse de n formas, y las dos tareas no pueden realizarse simultaneamente, entonces la realización de cualquiera de las tarea se puede llevar a cabo en alguna de las m+n formas.

7. La Biblioteca de un colegio tiene 40 libros de texto de sociología y 50 deantropología. ¿Con cuántas opciones cuenta un estudiante para realizar unaconsulta sobre alguno de los dos temas en su Biblioteca? Un profesor de ciencias de la computación posee 7 libros introductorios de C++, 7 de Java y 7 de Perl. ¿Cuántas recomendaciones bibliográficas puede hacera un estudiante interesado en aprender un lenguaje de programación? Un instructor tiene dos colegas. Uno tiene tres libros sobre Análisis de algoritmos,y el otro cinco sobre el mismo tema. ¿Cuál es el número de libros diferentes quepuede pedir prestados a sus colegas?

8. Módulo 1 Regla del producto. Si un procedimiento se puede dividir en dos etapas y existen m posibles resultados para la primera etapa, y si para cada uno de estos resultados existen n posibles resultados para la segunda etapa, entonces el procedimiento total puede llevarse a cabo en el orden diseñado en m×n formas.

9. El club de drama de la Universidad Central realiza audiciones para la obra de primavera. Se presentan 6 hombres y 8 mujeres a la audición para los papelesprincipales. ¿Cuántas parejas principales diferentes es posible tener? Las placas de automovil constan de dos letras y cuatro dígitos. A) ¿Cuántas placas diferentes es posible tener si ninguna letra o dígito se repite ? B) ¿Y si se permite la repetición de letras y dígitos? C) Si se permiten las repeticiones ¿Cuántas placas tienen solo vocales y dígitos par? En la corporación AWL, la Sra. Foster está a cargo de la cafetería. El menú estálimitado a seis tipos de panqué, ocho tipos de sandwich y cinco bebidas diferentes(agua, refresco, café, té y jugo). La Sra. Dodd, editora de AWL, envía a su asistente a la cafetería a recoger sualmuerzo: un panqué con una bebida caliente, o un sandwich con una bebida fria. ¿Cuántas formas tiene la sra. Dodd de armar la primera opción de menú, y cuantas para la segunda opción?

10. Módulo 1 2. Permutaciones. Dada una colección de n objetos distintos, cualquier arreglo lineal de estos objetos es llamado permutación de la colección. Para un entero n ≥ 0, n factorial (denotado n!) está definido por 0! = 1, n! = (n)(n-1)(n-2)…(3)(2)(1) para n ≥ 1. Si tenemos n objetos distintos y r es un número entero, con n ≥ r ≥ 1, entonces, por la regla del producto, el número de permutaciones de tamaño r para los n objetos es: P(n,r) = n! / (n-r)! Donde no se permiten las repeticiones.

11. En una clase con 10 estudiantes, se han elegido a 5 para tomarles una foto. ¿Cuántos arreglos diferentes es posible realizar? ¿Cuántas permutaciones es posible realizar con la palabra COMPUTER? Y si solo empleamos 5 letras de la palabra ¿Cuántas tenemos?

12. Módulo 1 Si se permiten las repeticiones, por la regla del producto tendremos nr posibles arreglos con r ≥ 1. Nuevamente, de la palabra COMPUTER, si se permite la repetición de letrasy queremos formar palabras con 12 letras ¿Cuántos arreglos podemos tener?

13. Si existen n objetos con n1 objetos indistinguibles de un primer tipo, n2 objetos indistinguibles de un segundo tipo, …, nrobjetos indistinguibles de un r-ésimo tipo donde n1 + n2 + … + nr = n entonces existen n!/(n1! n2! … nr!) arreglos lineales de los n objetos dados. ¿Cuántos arreglos de 9 letras se pueden formar con la palabra DATABASESsi las Aes y las eSes no se distinguen? ¿Cuántos arreglos se pueden formar con la palabra MASSASAUGA si las letrasrepetidas no se distinguen? ¿Cuántas de estas palabras tienen las 4 Aes juntas?

14. Determina el número de caminos en el plano x-y para ir del punto (1, 2) a (7, 4)si solo se permiten movimientos hacia arriba y a la derecha. Si seis personas se sientan alrededor de una mesa redonda ¿Cuántos arreglos circulares diferentes es posible realizar? Consideremos que un arreglo esel mismo que otro si el primero se obtiene a partir de una rotación del segundo. Si ahora tenemos tres parejas de casados y queremos arreglar a la gente alrededorde la mesa de modo que queden alternados los géneros. ¿Cuántos arreglos podemos formar? De nuevo consideramos que las rotaciones son iguales.

15. Módulo 1 3. Combinaciones. Dada una colección de n objetos distintos, cada combinación de r de estos objetos, sin importar el orden, corresponden a r! permutaciones de tamaño r de los n objetos. De modo que el número de combinaciones de tamaño r de una colección de tamaño n es: C(n,r) = P(n,r)/r! = n! / [r!(n-r)!] Donde 0 ≤ r ≤ n. Notemos que:

16. ¿De cuántas maneras se pueden dar tres cartas de una baraja de 52 que consta de cuatro grupos (figuras) de 13 cartas diferentes? El orden no hace diferencia. Un anfitrión realiza una fiesta para los miembros del comité de caridad al quepertenece. Debido a que su casa es muy pequeña solo puede invitar a 11 de los20 miembros del comité. ¿De cuantas maneras puede elegir a los 11 invitados? Lina y Paty han comprado un billete de “melate”. Para ganar el premio mayor deben acertar a cinco números del 1 al 49, y además a un número del 1 al 42. ¿De cuántas formas pueden seleccionar los seis números de su billete?

17. En la preparatoria, el maestro de deportes debe seleccionar a nueve niñas de primer y segundo año para formar el equipo representativo de volleyball. Si hay28 niñas en primer año y 25 en segundo ¿Cuántos equipos diferente puede armar? Ahora, si dos niñas de primero y una de segundo son muy buens jugadoras y debenestar en el equipo. ¿De cuántas maneras puede elegir al resto del equipo? Finalmente, para cierto torneo las reglas dictan que el equipo debe consistir de cuatro niñas de primer año y cinco de segundo ¿Cuántas combinaciones son posibles? • Un estudiante debe presentar su examen de historia donde debe responder asiete de 10 preguntas. ¿De cuántas maneras puede seleccionar sus preguntas? • Si el estudiante debe responder a tres preguntas de las cinco primeras y a cuatro de las otras cinco. ¿De cuántas maneras puede hacer su selección? • Finalmente, si se le indica que debe responder a siete preguntas, y al menos a tres de las cinco primeras ¿Cuántas composiciones porsibles tiene? Ahora el maestro de deportes debe formar cuatro equipos con nueve niñas cada unode 36 estudiantes. ¿De cuantas maneras puede seleccionar y armar los equipos?

18. Módulo 1 Combinaciones con repetición. Recordemos: Cuando se permiten repeticiones, para n objetos distintos, un arreglo de tamaño r se puede obtener de nr formas si r ≥ 0. En el caso de combinaciones, donde el orden no importa, si deseamos seleccionar con repetición r de n objetos distintos el número es:

19. La presidente Elena tiene cuatro vicepresidentes: Betty, Goldie, Mary y Mona. Elladesea distribuir $10000, en billetes de $1000, como bono navideño entre ellas. Considerando que uno o más vicepresidentes pueden no recibir nada, ¿de cuántasformas puede dar los billetes? Ahora, si cada vicepresidente recibe al menos $1000, ¿de cuántas maneras puededar los bonos? Y si cada vicepresidente recibe al menos $1000, y Mona al menos $5000, ¿decuántas maneras puede distribuir el dinero restante? Una tienda de donas ofrece 20 diferentes tipos de éstas. Asumiendo que existenal menos una docena de cada tipo cuando llegamos a la tienda, ¿De cuántas maneras podemos seleccionar una docena de donas para llevar a casa? De camino a casa del campo de prácticas, siete chicos paran en la cafetería donde cada uno puede elegir entre una hamburguesa, un hotdog, un taco o un emparedado para comer. ¿Cuántas ordenes diferentes se pueden formar?

20. Módulo 1 Nota: Si el orden es relevante pensamos en términos de permutación, arreglos y regla del producto. Si el orden no es relevante, las combinaciones juegan un papel importante en la solución de problemas.

21. Módulo 1 4. Teorema binomial. Sean las variables x, y y n un entero positivo, entonces: Para cada entero n > 0,

22. En la expansión (x + y)7. ¿Cuál es el coeficiente de x5y2? En la expansión (2u – 3v)7. ¿Cuál es el coeficiente de u5v2?

23. Módulo 1 Teorema multinomial. Para los enteros positivos n,t, los coeficientes en la expansión de cada coeficiente es Donde cada ni es un entero con 0 ≤ ni ≤ n, para toda 1 ≤ i ≤ t y n1+ n2+ n3+…+ nt= n.

24. En la expansión (x + y + z)7. ¿Cuál es el coeficiente de x2y2z3? ¿de xyz5? ¿y de x3z4? En la expansión (a + 2b – 3c + 2d + 5)16. ¿Cuál es el coeficiente de a2b3c2d5?

25. Módulo 1 5. Sucesiones y sumas. Una sucesión es una estructura discreta empleada para representar listas ordenadas. Se suele emplear la notación {an } para describir a una sucesión, donde n es un número entero en {1, 2, 3, …} o {0, 1, 2, 3, …}. La sucesión {an} donde an = 1/n es {1, ½, 1/3, …} Una progresión geométrica es una sucesión de la forma a, ar, ar2, …, arn, donde a y r son números reales. La sucesión {bn} donde bn = (-1)n para b1, b2, …,es -1, 1, -1, … La sucesión {cn} donde cn = 2×5n para c1, c2, …,es 10, 50, 250, …

26. Módulo 1 Una progresión aritmética es una sucesión de la forma a, a +d, a + 2d, a + 3d, …, a + nd, donde a y r son números reales. La sucesión {sn} donde sn = -1 + 4n para s0, s1, …,es -1, 3, 7, … La sucesión {tn} donde tn = 7 – 3n para t0, t1, …,es 7, 4, 1, -2, … Determina las sucesiones siguientes: n2 n3 2n 3n n! Determina la fórmula de las sucesiones siguientes: a)1, ½, ¼, 1/8, … b) 1, 3, 5, 7, 9, …

27. Módulo 1 Sumatoria. Una manera concisa de escribir la suma de una sucesión de n+1 términos es empleando la notación de sumatoria: Donde i es el índice de la suma y contabiliza a todos los enteros a partir del límite inferior m hasta el límite superior m+n.

28. Ejemplos de sumatorias: