180 likes | 282 Views
RACHUNEK PREDYKATÓW. Język RP (KRK). W KRZ brak możliwości operowania na abstrakcyjnych obiektach, czyli nie można formułować praw dotyczących tych obiektów. Rozszerzamy zatem nasz język, w którym będziemy zapisywać formuły: i) zmienne x 1 ,x 2 ,..
E N D
Język RP (KRK) W KRZ brak możliwości operowania na abstrakcyjnych obiektach, czyli nie można formułować praw dotyczących tych obiektów. Rozszerzamy zatem nasz język, w którym będziemy zapisywać formuły: i) zmienne x1,x2,.. ii) n-argumentowe symbole funkcyjne f1,f2,.. (symbole 0-arg to stałe) iii) n-argumentowe symbole predykatowe P1,P2 (symbole 0-arg to zdania) iv) symbole logiczne {, , } v)stałe interpunkcyjne (, ) UWAGA: Pozostałe symbole logiczne {,, , } można wyprowadzić za pomocą tych wymienionych w pkt. iv) x P(x) (x P(x))
Kwantyfikatory - uniwersalny - egzystencjalny Zadaniem kwantyfikatora jest związanie zmiennej wymienionej po kwantyfikatorze W formułach KRK mogą występować zmienne „wolne” i „związane” Przykład: z (x z) x – zmienna wolna; z – zmienna związana z y (x z y=1 ) x – zmienna wolna; y, z – zmienne związane Przykład: Zapis ostatniego wyrażenia w języku predykatów z y ((x,z) =(y,1) ) UWAGA: Jeśli w formule nie występują zmienne wolne, to otrzymujemy formułę rachunku zdań zx (x < z)
Kwantyfikatory c.d. Zasięg kwantyfikatora – wyrażenie znajdujące się w nawiasie bezpośrednio po kwantyfikatorze x (x =x) x>0 Ta zmienna jest wolna Jeżeli {x1,x2, .., xn} są zmiennymi wolnymi formuły , to domknięciem uniwersalnym tej formuły jest formuła x1…xn domknięciem egzystencjalnym tej formuły jest formuła x1…xn Przykład: x P(x) Q(x) formuła ta powinna być zapisana jako x P(x) Q(y) domknięciem uniwersalnym tej formuły jest y (x P(x) Q(y))
Kwantyfikatory c.d. Kwantyfikator uniwersalny jest uogólnieniem koniunkcji Jeśli X={a1,..,an} oraz P(x) jest predykatem określonym na zbiorze X, to x P(x) P(a1)P(a2)…P(an) Kwantyfikator egzystencjalny jest uogólnieniem alternatywy Jeśli X={a1,..,an} oraz P(x) jest predykatem określonym na zbiorze X, to x P(x) P(a1)P(a2)…P(an)
Kwantyfikatory ograniczone Zakres zmiennej kwantyfikowanej ograniczony jest formułą ((x)) (x) ((x)) (x) ((x)) (x) jest prawdziwe wttw x ( (x)(x) ) jest prawdziwe ((x)) (x) jest prawdziwe wttw x ( (x)(x) ) jest prawdziwe Przykłady: x (xNx>0) czyli xN(x>0)
Język rachunku predykatów cd. Predykat (relacja, którą predykat wyraża) ma tyle zmiennych, ile występuje w nim zmiennychwolnych. Wyrażenia nie zawierające zmiennych wolnych są zdaniami. W mocy pozostają założenia z pierwszego slajdu, aby w pełni zdefiniować zbiór dopuszczalnych formuł w RP wprowadzimy jeszcze pojęcie TERMU. TERMY: Najmniejszy zbiór spełniający warunki i) stałe indywiduowe są termami ii) zmienne są termami iii) jeśli f jest n-arg symbolem funkcyjnym i t1,..,tn są termami, to f(t1,..,tn) również jest termem
Język rachunku predykatów cd. FORMUŁY: Najmniejszy zbiór spełniający warunki: i) zdania są formułami ii) jeśli R jest n-arg predykatem a t1,..,tn są termami, to R(t1,..,tn) jest formułą iii) jeśli , są formułami, to , , , , również są formułami iv) jeśli (x) jest formułą ze zmienną wolną, to x (x) i x (x) są formułami Przykłady Stałe={zeus, ares, harmonia} Zmienne={X,Y,Z} Funkcje={Ojciec(X), Matka(X)} Predykaty={Jest_ojcem(X,Y), Bog(X)} Termy: zeus, ares, harmonia, X,Y,Z, Ojciec(X), Matka(X), Ojciec(Matka(X)) Formuły: Jest_ojcem(zeus,X), Bog(Ojciec(X)), X Jest_ojcem(Ojciec(X),X), Bog(zeus) <- to już są zdania UWAGA: Zbiory Stałe, Zmienne, Funkcje, Predykaty MUSZĄ być rozłączne
Spełnianie – przypadek prosty Element (stała) a spełnia predykat P(x), jeśli po wstawieniu a w miejsce x otrzymamy zdanie prawdziwe Ogólniej (dla formuł) Element a spełnia formułę P(x)R(x) wttw, gdy spełnia P(x) lub spełnia R(x); podobnie jest z funktorami , Zdanie x P(x) jest prawdziwe wttw każda stała a spełnia P(x). Zdanie x P(x) jest prawdziwe wttw istnieje taka stała a, że a spełnia P(x). UWAGA: Z powyższej definicji wynika, że o spełnialności i prawdziwości mówimy w kontekście jakiejś dziedziny. Przykłady: Możemy mówić o spełnialności lub prawdziwości formuły x (x) (x), jeśli ustalimy interpretację dla , oraz ustalimy wartości (zakres) dla zmiennych x (xNx>0) prawdziwa x (xZx>0) spełnialna dla x naturalnych
Spełnianie • Powtórzmy • Aby określić sens formuły rachunku predykatów należy: • wybrać wartości dla zmiennych • ustalić interpretację symboli funkcyjnych i predykatowych ad i) czyli za zmienne wstawić stałe (nie zawsze wprost, czasem kwantyfikator) ad ii) Interpretacją I formuły nazywamy dowolną parę I=(D, m), w której D jest dziedziną, a m jest taką funkcją, która: 1. Każdemu symbolowi stałej przyporządkowuje element ze zbioru D 2. Każdemu n-arg symbolowi fi przyporządkowuje odwzorowanie DnD 3. Każdemu p-arg symbolowi Pi przyporządkowuje odwzorowanie Dp{0,1} 4. Każdemu zdaniu przyporządkowuje wartość logiczną {0,1}
Przykład cz. I Przykład: Formuły B(z), B(a), O(z,a), O(a,h), O(X,Y) D(Y,X), D(X,Y) D(Y,Z) W(X,Z) O(X,X) Stałe={z, a, h}, Zmienne={X,Y,Z} Funkcje= , Predykaty={W,D,O,B} Interpretacja D={zeus, ares, harmonia} zeus=z, ares=a, harmonia=h m(B(zeus))=1 bezpieczniej używać nazw predykatów oddających sens relacji Bog(zeus), Bog(ares), Ojciec(zeus,ares), Ojciec(ares, harmonia) Ojciec(X,Y)Dziecko(Y,X), (Dziecko(X,Y) Dziecko(Y,Z)) Wnuk(X,Z) Ojciec(X,X) aby policzyć wartości logiczne tych formuł przy naszej interpretacji musimy mieć jeszcze wartościowanie
Przykład cz. II Interpretacja D={zeus, ares, harmonia} zeus=z, ares=a, harmonia=h m(B(zeus))=1 bezpieczniej używać nazw predykatów oddających sens relacji Bog(zeus), Bog(ares), Ojciec(zeus,ares), Ojciec(ares, harmonia) Ojciec(X,Y)Dziecko(Y,X), (Dziecko(X,Y) Dziecko(Y,Z)) Wnuk(X,Z) Ojciec(X,X) Mając interpretację i wartościowanie jestem w stanie przeprowadzić wnioskowanie dla formuł zawierających zmienne Ojciec(zeus,harmonia)Dziecko(harmonia,zeus) (Dziecko(harmonia,ares) Dziecko(ares, zeus)) Wnuk(harmonia,zeus) UWAGA: Przy naszej interpretacji i dowolnym wartościowaniu Ojciec(X,X)
Spełnianie i prawdziwość formuł Interpretacja ma zatem wpływ na wartość logiczną formuł Formuła jest spełniona przy interpretacji I oraz przy ustalonych wartościach zmiennych występujących w wttw hI,w()=1 tutaj możemy powiedzieć o pewnej analogii do hv z KRZ Formuła jest prawdziwa przy interpretacji I wttw w w:ZmienneDhI,w()=1 (I spełnia ; I jest modelem dla ) • jest spełnialna wttw I w hI,w()=1 • jest prawdziwa (tautologia) wttw I w hI,w()=1
Przykłady tautologii 1. ( (x) (x) ) ( (x) (x) ) 2. ((x) (x) ) ( (x) (x) ) prawa de`Morgana 3. x ( (x)(x) ) ( x (x) x (x) ) 4. x y (x,y) y x (x,y) 5. x ( (x) ) ( x (x) ) o ile zmienna x nie występuje w 6. x y (x,y) y x (x,y) 7. x y (x,y) y x(x,y)
, Modus ponens (x) x(x) Generalizacji (x) Podstawiania (y) Ograniczenie: za zmienną x w formule (x) można podstawić zmienną y, jeśli w (x) x nie występuje w zasięgu kwantyfikatora wiążącego zmienną y (x) x(x) zakładamy, że x nie występuje w jako zmienna wolna Dołączania kwantyfikatora egzystencjalnego Reguły wnioskowania Rachunek predykatów jest systemem formalnym, posiadającym swoją aksjomatykę i zbiór reguł wnioskowania
Istotność ograniczenia w regule podstawiania (rozważmy zbiór N0) y (yx) y=0podstawmy za x/y y (yy) y=0wiemy również, że y (yy) stosując regułę odrywania (modus ponens) otrzymamy y=0 stosując teraz regułę podstawiania y/1otrzymamy 1=0 Rozstrzygalność Twierdzenie Rachunek kwantyfikatorów nie jest rozstrzygalny (Alonzo Church – 1936; na podstawie prac Alana Turinga).
Do systemu hilbertowskiegoH dodajemy dwa aksjomaty i jedną regułę wnioskowania (generalizacji) (x) x(x) Systemy dowodzenia System gentzenowski System hilbertowski Wyprowadza się reguły wtórne (w szczególności regułę dedukcji) Hilbertowski system dowodzenia jest poprawny i pełny
Przykład Przykład: Skrót RZ oznacza, że przekształcenia dokonano na podstawie twierdzeń i reguł wnioskowania Rachunku Zdań