Masse et énergie

1. Masse et énergie

2. z x3 Mouvement Horloge t x0 / c y x2 Décor fixe x x1 Ceci est un référentiel Intervalle Unité : le mètre ! Son carré = ds2 = c2 dt2 – dx2 – dy2 – dz2 La seule grandeur qui se conserve d’un référentiel à un autre ! Signature = + - - - = carré de dx0– carré de dx1 – carré de dx2 – carré de dx3 = somme (de i et j = 0 à 3) des hi j dxidxj hi j = Idée essentielle 1 : l’intervalle remplace le temps Idée essentielle 2 : quatre dimensions Tenseur métrique Pour les corps lents, ds = c dt

3. Ancienne vitesse = vα = dxα / dt Quadri vitesse = ui = dxi / ds Ancienne accélération = aα = dvα / dt Quadri accélération = γi = dui / ds Quadri force = F i = m γi Ancienne force = Fα = m aα Avant 1905 Après 1905 Signature = + - - - Idée essentielle 1 : l’intervalle remplace le temps Idée essentielle 2 : quatre dimensions hi j = Tenseur métrique Pour les corps lents, ds = c dt

4. Ancienne vitesse = vα = dxα / dt Quadri vitesse = ui = dxi / ds Ancienne accélération = aα = dvα / dt Quadri accélération = γi = dui / ds Quadri force = F i = m γi Ancienne force = Fα = m aα Euh … les unités ? Une ancienne force est en N = kg m s-2 Une quadri vitesse n’a pas d’unité Une quadri accélération est en m-1 Une quadri force est en kg m-1 ? Signature = + - - - Idée essentielle 1 : l’intervalle remplace le temps Idée essentielle 2 : quatre dimensions hi j = Tenseur métrique Pour les corps lents, ds = c dt

5. Ancienne vitesse = vα = dxα / dt Quadri vitesse = ui = dxi / ds Ancienne accélération = aα = dvα / dt Quadri accélération = γi = dui / ds Quadri force = F i = m γi Ancienne force = Fα = m aα Euh … les unités ? Une ancienne force est en N = kg m s-2 Une quadri vitesse n’a pas d’unité Une quadri accélération est en m-1 Une quadri force est en kg m-1 ? ui = dxi / c dt = vi / c ui = vi / c Pour les corps lents (vitesse << c) γi = dui / c dt = dvi / c2 dt Il faut multiplier par le carré de c ! γi = ai / c2 Quadri force = F i = m c2γi Pour les corps lents, ds = c dt

6. dx / dt v u1 = dx1 / ds ux = dx / (c2 dt2 – dx2 – dy2 – dz2)1/2 = c c c dt / dt u0 = dx0 / ds = c dt / (c2 dt2 – dx2 – dy2 – dz2)1/2 = 1 – 1 – 1 – 1 – v2 v2 v2 v2 c c2 c2 c2 c2 1 u0 = Quadri vitesse = ui = dxi / ds Quadri accélération = γi = dui / ds En particulier F0 ds= m c2γ0 ds = m c2 du0 Fi ds = dui est une multiplication d’une force par une distance parcourue, donc est un travail Quadri force = F i = m c2γi

7. Pour un lycéen en classe de première s m c2u0 = m v2 + m c2 1 1 1 = v2 / c2 + 1 X + 1 2 2 2 u0(X) = (1 – X)1/2 Dérivée = u0’(X) = (1 – X)-1/2 (– 1) donc u0’(0) = v2 c2 1 u0 = = u0 (X) Avec X = v2 / c2 Petit pour les corps lents ! 1 – Retour à la physique u0(X) = u0(0) + δu0 = u0’(0) δx + u0(0) = u0’(0) = δu0 / δx quand δx est petit δu0 = u0’(X ) δx, avec δx = X u0(0) = 1 En particulier F0 ds= m c2γ0 ds = m c2 du0 = variation de m c2u0 Fi ds = dui Est une multiplication d’une force par une distance parcourue, donc est un travail Quadri force = F i = m c2γi

8. Pour un élève en collège Pour un corps lent : ε = est très petit devant 1 u0 = 1 (Carré de u0) = 1 1 – (1 – ε) (1 + e)2 = 1 (1+ 2 e + e2) (1 – ε) = 1 (1 + (2 + e) e) (1 – ε) = 1 (1 + 2 e) (1 – ε) = 1 v2 v2 v2 v2 v2 1 1 v2 c2 c2 c2 c2 c2 1 – 1 u0 = u0 = 1 + c2 2 2 1 – 1 – 1 1 e = ε 2 2 m c2 F0 ds = Soit pour les corps lents = m c2 + m v2 u0 = ε 1 + u0 = u00 + e = 1 + e 1 – ε + 2 e – 2 εe = 1 Quand v est petit et non nul Quand v est nul correction – ε + 2 e – 2 εe = 0 – ε + 2 e (1 – εe) = 0 – ε + 2 e= 0 Très petit devant 1 En particulier F0 ds= m c2γ0 ds = m c2 du0 = variation de m c2u0

9. 1 2 1 kg : 90 000 000 000 000 000 Joules Retour à la physique m c2u0 = m v2 + m c2 Energie du corps au repos = m c2 Rappel : c = 300 000 km s-1 = 300 000 000 m s-1 = 9 x 1016Joules Joules kg 6,3×1013J est l'énergie dégagée par le bombardement d'Hiroshima. 1 g TNT = 4184 Joules m s-1 Ordre de grandeur : 1000 fois moins … En particulier F0 ds= m c2γ0 ds = m c2 du0 = variation de m c2u0 Fi ds = dui Est une multiplication d’une force par une distance parcourue, donc est un travail Quadri force = F i = m c2γi