Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”

1. Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”

2. PERKENALAN PRESENTASI PENILAIAN MATERI PERS DIFERENSIAL Oleh: Drs. Nandang, MPd. (Dosen Prodi Pend. Matematika FKIP Unwir)

3. NANDANG JL.GUNUNG CIREMAI BLOK 16, NO. 10 TLP. (0234)275530 HP. 08122170975 e-mail: nndg67@yahoo.com www.nandangfkip.blogspot.com www.fkipunwir.com

4. KOMPONEN PENILAIAN • KEHADIRAN (KHD) • TUGAS (TGS) • UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS) • UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS) NA = [10(KHD)+20(TGS)+30(UTS)+40(UAS)]/100 85 <= NA <=100 (A) NA = NILAI AKHIR

5. MATERI PERS DIFERENSIAL • DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL • PERS DIFERENSIAL KOEFISIEN LINIER • PERS DIFERENSIAL EKSAK • FAKTOR INTEGRASI • PERS DIFERENSIAL LINIER • PERS DIFERENSIAL HOMOGEN • PERS DIFERENSIAL TIDAK HOMOGEN

6. Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan diferensial.

7. ORDE DAN DEGREE PD 1. Orde (tingkat) PD adalah tingkat tertinggi turunan yang muncul pada PD tersebut. 2. Degree (derajat) PD yang dapat ditulis sebagai polinomial dalam turunan adalah derajat turunan tingkat tertinggi yang muncul pada PD tersebut.

8. Beberapa Contoh PD

9. SOLUSI INTEGRASI LANGSUNG Selesaikan PD berikut! Penyelesaian: (fungsi kuadrat) home

10. PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN KOEFISIEN LINIER

11. (ax + by + c)dx + (px +qy + r)dy = 0 …(*) PD dgn Koefisien Linier Jika c = r = 0, maka (*) menjadi: (ax + by)dx + (px + qy)dy = 0, (PDH) Jika px + qy = k(ax + by), maka (*) menjadi: Bentuk umum: (ax + by + c)dx + (k(ax + by) + r)dy =0, PDVT

12. ax + by + c = 0 px + qy + r = 0 adalah persamaan dua garis yang berpotongan, misal TP(x1, y1) Jika a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0, maka (*) dapat mengambil bentuk: maka lakukan substitusi: X = x – x1 atau x = X + x1, dx = dX Y = y – y1 atau y = Y + y1, dy = dY terhadap persamaan (*)

13. maka diperoleh: (aX + bY)dX + (pX + qY)dY=0, PDH selanjutnya lakukan substitusi Y = vX, atau dY = vdX + Xdv.

14. Contoh soal Selesaikan persamaan di bawah ini! home

15. PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK

16. Pers Diferensial Eksak Bentuk umum: adalah PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(x,y) =0.

17. Maka : Jika persamaan (*) merupakan PD Eksak, maka berlaku Jika maka persamaan (*) merupakan PD Eksak.

18. Soal latihan Selesaikan persamaan di bawah ini! Penyelesaian: (PDE)

19. home

20. FAKTOR INTEGRASI

21. Dik: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ……(*) FAKTOR INTEGRASI Jika pers (*) tidak eksak, maka dapat dijadikan PDE. Caranya yaitu kalikan pers (*) dengan suatu fungsi tertentu, misal u(x, y) yang dinamakan faktor integrasi. Sehingga persamaan (*) menjadi: uP(x, y)dx + uQ(x, y)dy = 0 ……(**). Persamaan (**) sudah menjadi PDE, selajutnya selesaikan persamaan tersebut sesuai dengan prosedur yang berlaku.

22. Bila diberikan suatu persamaan diferensial yang tidak eksak, maka faktor integrasi dapat dicari dengan beberapa kemungkinan berikut. Faktor integrasi hanya tergantung dari fungsi x,maka fungsi x dapat dicari dengan cara: Maka faktor integrasi dapat ditentukan dengan cara:

23. Faktor integrasi hanya tergantung dari fungsi y,maka fungsi y dapat dicari dengan cara: Maka faktor integrasi dapat ditentukan dengan cara: Bila faktor integrasi sudah diperoleh kalikan terhadap pers (*) untuk mengasilkan pers (**) sehingga terbentuk PDE.

24. Contoh soal Selesaikan persamaan di bawah ini! Penyelesaian: Karena maka bukan PDE. Selanjutnya

25. Sehingga faktor integrasi yang dicari adalah: Kemudian kalikan faktor tersebut terhadap persamaan semula, maka diperoleh persamaan baru (PDE), yaitu:

26. Setelah menjadi PDE, selesaikan sesuai dengan prosedur yang benar, untuk memperoleh:

27. Kemungkinan lain untuk mencari faktor integrasi adalah: Jika pers (*) merupakan PDH dan maka faktor integrasi adalah

28. Jika pers (*) dapat ditulis dalam bentuk yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 dan f(xy) ≠ g(xy), maka faktor integrasi adalah:

29. Soal latihan

30. A B C D

31. Coba lagi ya!

32. Terima kasih, Anda berhasil home

33. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER (PDL)

34. Bentuk umum: Pers Diferensial Linier ………(i) P dan Q adalah fungsi-fungsi dari x.

35. Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan (i) di atas adalah dengan memisalkan y = uv, dimana u dan v masing-masing fungsi dari x. Karena y = uv, maka y’ = u’v + uv’ ……….(ii) Dari pers (i) dan (ii) diperoleh: u’v +uv’ + Puv = Q atau v(u’ + Pu) + uv’ = Q, dalam hal ini ambil syarat (u’ + Pu)=0 atau uv’ = Q ……(iii)

36. Karena (u’ + Pu)=0, maka

37. Karena Berdasarkan pemisalan y = uv, maka dari persamaan (*) dan (**) diperoleh:

38. Soal latihan Selesaikanlah persamaan di bawah ini! home

39. PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN

40. Bentuk umum PD orde 2: Pers Diferensial Homogen PDH Orde 2: ……(*) Subtitusi:

41. Karena maka ……(**) Dari (*) dan (**) diperoleh:

42. ………(#) Pers (#) dinamakan persamaan bantu.

43. Jika r1 dan r2 adalah akar-akar real berlainan dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari: adalah:

44. Contoh: • Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan: Penyelesaian:

45. Jika r1 dan r2 adalah akar-akar kembar dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari: adalah:

46. Contoh: • Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan: Penyelesaian:

47. Jika persamaan bantu memiliki akar-akar bilangan kompleks, a + bi dan a – bi, maka penyelesaian umum dari: adalah:

49. Contoh: • Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan: Penyelesaian:

50. Soal latihan