M etóda K onečných P rvkov vo výrobných technológiach

Metóda Konečných Prvkovvo výrobných technológiach prednáška č. 8

Obsah prednášky • Úloha vedenia tepla v MKP • Teoretické podklady Bilančná rovnica prenosu tepla Spôsoby prenosu tepla Vnútorný zdroj tepla Energia akumulovaná v systéme • Diferenciálna rovnica vedenia tepla Začiatočné podmienky Okrajové podmienky • Funkcionál tepelnej energie

Obsah prednášky • Výpočet teplotného poľa pomocou MKP Diskretizácia telesa Tvarové funkcie Minimalizácia funkcionálu Maticový zápis minimalizovaného funkcionálu • Jednorozmerná úloha prenosu tepla vedením • Dvojrozmerná úloha prenosu tepla vedením Príklad

Úloha prenosu tepla • stanovenie teplotného poľa T(x,y,z,t) ([K],[°C]) v bodoch sledovanej oblasti pri zachovaní predpísaných začiatočných a okrajových podmienok • teplotné pole: - stacionárne pole (steady state) • - nestacionárne pole (transient analysis) • skalárne pole

Teoretické podklady • Bilančná rovnica prenosu tepla: • zo zákona zachovania energie • Ein + Eg = Eout +Eie[J] • kde Einje tepelná energia vstupujúca do systému, Eg je tepelná energia generovaná v systéme, Eout je tepelná energia vystupujúca zo systému, Eie je zmena vnútornej energie systému • podelením rovnice prírastkom času Dt dostaneme bilančnú rovnicu tepelných výkonov (tokov – heat flow) • Pin + Pg = Pout +Pie[W]

Teoretické podklady • Spôsoby prenosu tepla: • vedením – kondukcia • prúdením – konvekcia • žiarením – radiácia • Nevyhnutnou podmienkou pre existenciu prenosu tepla je existencia • teplotného spádu. • (Druhý termodynamický zákon)

T1 T2 P x l Teoretické podklady • Prenos tepla vedením: • Vedenie je prenos tepla v prostredí, ktorého častice sa v smere tepelného toku nepohybujú. • Tepelný tok (heat flow) v smere osi x popisuje Fourierov • zákon vedenia tepla • kde - tepelná vodivosť materiálu [W.m-1.K-1], • A- plocha kolmá na smer vedenia tepla,q- hustota tepelného toku (heat flux)

q, h, Tr Ts, A Teoretické podklady • Prenos tepla prúdením: • Teplo sa šíri prúdením z pevného do okolitého hmotného prostredia. • Prúdenie, vyvolané iba rozdielom teplôt v tekutine – voľné prúdenie. • Prúdenie, vyvolané vonkajšími silami (rozdielom tlakov v tekutine) – nútená konvekcia. • kde h- koeficient prestupu tepla [W.m-2.K-1], Tr - teplota okolia[K] • Ts – povrchová teplota[K], A– teplovýmenná plocha [m-2]

P, Tr T, A,  Teoretické podklady • Prenos tepla žiarením: • Teplo sa šíri prúdením medzi dvoma pevnými plochami. • Je jediným spôsobom prenosu tepla medzi dvoma telesami vo vákuu. • kde s– Stefanova-Bolzmannova konštanta [5,67e-8 W.m-2.K-4], Tr - teplota okolia (referenčná), A– vyžarujúca plocha, e – emisivita povrchu telesa (e = 0biele,e = 1čierne)

Teoretické podklady • Vnútorný zdroj tepla: • Tepelnú energiu generovanú vnútorným zdrojom (napr. Jouleovo teplo) možno určiť zo vzťahu • kde q– merný výkon tepelného zdroja [W.m-3], • V– objem telesa vyžarujúceho teplo [m-3], • Pg – tepelný výkon vnútorného zdroja [W] • Viaceré tepelné zdroje sú teplotne závislé, čo spôsobuje ďalšie komplikácie pri výpočte teplotného poľa. .

Teoretické podklady • Energia akumulovaná v systéme: • Pre zmenu vnútornej energie platí • kde r– hustota látky[kg.m-3], • c – merná tepelnákapacita[J.kg-1.K-1], • V– objem telesa akumulujúceho teplo, • T – teplota telesa • T  t– časová zmena teplotného poľa [K.s-1] • Pie – tepelný výkon akumulovaný v telese [W]

P(y) y Ay = dxdz P(z+dz) Pg P(x+dx) P(x) x Ax = dydz P(z) Az = dxdy z P(y+dy) Diferenciálna rovnica vedenia tepla • Všeobecné rovnice pre 3D úlohu: • Bilančná rovnica pre element telesa dV = dxdydz

Diferenciálna rovnica vedenia tepla • tepelný tok Px privedený na stenu elementu Ax = dydz sa odvedie do vnútra vedením • odvedený tok v smere x • Podobne to platí pre osi y a z

Diferenciálna rovnica vedenia tepla • Po dosadení do bilančnej rovnice dostaneme základnú diferenciálnu rovnicu vedenia tepla • Pre izotrópny materiál  = x =y= z • Pre stacionárne úlohy je pravá strana rovnice rovná nule. • Ak neexistuje vnútorný zdroj tepla (q=0) dostaneme Poissonovu parciálnu diferenciálnu rovnicu (vyskytujúcu sa napr. i pri riešení elektrického potenciálového poľa) .

Diferenciálna rovnica vedenia tepla • Podmienky jednoznačnosti • pre riešenie DR vedenia tepla aj pomocou MKP je potrebné definovať podmienky jednoznačnosti • geometrické • fyzikálne • začiatočné • okrajové

Diferenciálna rovnica vedenia tepla • Začiatočné a okrajové podmienky: • Vo všeobecnosti je rovnica vedenia tepla diferenciálnou rovnicou druhého rádu závislou na čase. • Preto na jej riešenie treba stanoviť začiatočnú podmienku a okrajové podmienky (OP). • Začiatočná podmienka obvykle vyjadruje začiatočnú teplotu v bodoch telesa

Diferenciálna rovnica vedenia tepla • Okrajové podmienky: • druhu - Dirichletova • predpísaná teplota na časti povrchu A1 • 2.druhu - Neumanova • hustota tepelného toku q[W.m-2] privedeného na časť povrchu telesa A2 sa odvedie do vnútra telesa vedením

Diferenciálna rovnica vedenia tepla • Okrajové podmienky: • 3.druhu - Fourierova • hustota tepelného toku q[W.m-2] privedeného telesom na časť povrchuA3 sa odvedie do okolia ako tepelný tok prúdením s teplotou okolia Tra súčiniteľomprestupu tepla konvekciou h • 4.druhu • popisuje podmienky pri dokonalom kontakte dvoch telies

Diferenciálna rovnica vedenia tepla • Okrajové podmienky: • 5.druhu – Stefanova • definuje podmienky pri prenose tepla s pásmom fázovej premeny

Diferenciálna rovnica vedenia tepla • Problém nájdenia rozloženia teploty vychádza z riešenia rovníc: • pri zohľadnení začiatočných a okrajových podmienok. • Pri použití variačného princípu (princíp virtuálnych prác) problém rozloženia teploty T(x,y,z,t)minimalizáciou funkcionálu • (zohľadnenie OP vyjadruje pravá strana rovnice)

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP • Teleso s objemom V0 rozdelíme na noe elementov a non uzlových bodov (nodes) s plochami A1, A2, A3 s aplikovanými OP • Teplotu v ľubovoľnom bode elementu vyjadríme ako funkciu teploty uzlových bodov prvku • matica tvarových funkcií: • vektor teplôt v uzlových bodoch elementu:

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP • Funkcionál popisujúci prenos tepla cez celú oblasť nahradíme súčtom funkcionálov (rovnakého tvaru) jednotlivých elementov • pričom

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP • Minimalizáciou funkcionálu  • kde m je počet uzlov s neznámou teplotou • dostaneme neznáme teploty v uzlových bodoch.

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP • Minimalizovaný funkcionál (e) • Pozn. • Plošné integrály na pravej strane rovnice sa v nej nebudú vyskytovať ak i-ty uzol neleží na plochách A2 alebo A3.

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP • Minimalizovaný funkcionál (e)obsahuje • predstavuje časovú zmenu teplotného poľa v uzlových bodoch

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP • Minimalizovaný funkcionál (e)v maticovom tvare • obsahuje: • maticu teplotnej vodivosti

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP maticu konvekcie maticu tepelnej kapacity vektor tepelných tokov od vnútorného zdroja, vedenia a konvekcie

Jednorozmerná úloha vedenia tepla Uvažujme dvojuzlový čiarový prvok kruhového prierezu (s priemerom d), ktorý prenáša teplo vedením a generuje sa v ňom Jouleovo teplo (vnútorný zdroj tepla - napr. spôsobený prechodom elektrického prúdu). Teplota v mieste x

Jednorozmerná úloha vedenia tepla • matica teplotnej vodivosti – pre jednorozmerný prvok

Jednorozmerná úloha vedenia tepla • matica konvekcie -voľná konvekcia z povrchu do okolia

Jednorozmerná úloha vedenia tepla • vektor tepelného toku - transformovaný do uzlových bodov • s uvažovaním iba konvekcie a generovaného Jouleovho tepla

Jednorozmerná úloha vedenia tepla • Rovnice prenosu tepla - pre jednorozmerný prútový prvok - majú maticový tvar • a po dosadení:

Dvojrozmerná úloha vedenia tepla Uvažujme úlohu prenosu tepla pre dvojrozmerné teleso všeobecného tvaru (tretí rozmer telesa je rovný 1). Diferenciálna rovnica vedenia tepla pre stacionárnu teplotnú sústavu má tvar:

Dvojrozmerná úloha vedenia tepla • Teleso s objemom V0 rozdelíme na noe elementov a non uzlových bodov (nodes) s plochami A1, A2, A3 s aplikovanými OP • Teplotu v ľubovoľnom bode elementu vyjadríme ako funkciu teploty uzlových bodov prvku • matica tvarových funkcií: • vektor teplôt v uzlových bodoch elementu:

Dvojrozmerná úloha vedenia tepla

M etóda K onečných P rvkov vo výrobných technológiach