1. Mengenlehre

1. 1. Mengenlehre Grundbegriffe

2. Definition Eine Menge ist eine Zusammenfassung von verschiedenen Elementen. Dabei muss genau festgelegt sein, welche Elemente zu der Menge gehören. Beispiele: • Die Menge aller Buchstaben • Die Menge aller ganzen Zahlen zwischen 2 und 10

3. „Vokabeln“

4. Merke Mengen werden in der Regel mit großen Buchstaben benannt, A, B, C, … Mengen lassen sich auf drei verschiedene Weisen darstellen: • Mengendiagramm (Mengenbild) • Aufzählende Form A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} • Beschreibende Form A = {x |x ist gerade Zahl und kleiner als 13} 4 6 12 8 10 A

5. Aufgaben • Stellen Sie die nachfolgenden Mengen als Mengenbild, in aufzählender Form und in beschreibender Form dar: • die Menge der Buchstaben des Wortes „Kinderpflegerin“ • die Menge der Buchstaben des Wortes „Hauswirtschaft“ • die Menge der Lehrer Ihrer Klasse • die Menge der Zahlen zwischen 1 und 10 • die Menge der Primzahlen zwischen 1 und 20

6. Aufgaben • Die Grundmenge sei G = Menge aller Buchstaben des Alphabets. Geben Sie als Mengenbild und in aufzählender Form an: • V = {x |x ist ein Vokal} • M = {x |x kommt in dem Wort Mathematik vor} • Die Grundmenge sei G = Menge der natürlichen Zahlen. Schreiben Sie in aufzählender Form: • Q = Menge aller zweistelligen Zahlen mit der Quersumme 10

7. Aufgaben • Geben Sie folgende Mengen in beschreibender Form an: • B = {Januar, März, Mai, Juli, August, Oktober, Dezember} • C = {3, 4, 5, 6} • D = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

8. Merke • Will man ausdrücken, dass ein Element zu einer bestimmten Menge gehört, benutzt man das Zeichen . Gehört das Element nicht dazu, wird das Zeichen verwendet. A = {4, 5, 6} 4 A „4 ist Element der Menge A“ 7 A „7 ist nicht Element der Menge A“ 5 A „5 ist Element der Menge A“

9. Unterscheidung von Mengen nach der Menge ihrer Elemente • unendliche Menge: eine Menge mit einer unbegrenzten Anzahl von ElementenBeispiel: Menge der natürlichen Zahlen A = {1, 2, 3, 4, …} • endliche Menge: eine Menge mit einer begrenzten Anzahl von ElementenBeispiel: Menge der natürlichen Zahlen zwischen 4 und 7B = {5, 6} • leere Menge: eine Menge, die keine Elemente enthältBeispiel: Menge der natürlichen Zahlen zwischen 5 und 6C = { }

10. Teilmenge • Eine Menge B heißt Teilmenge einer Menge A, wenn jedes Element von B auch Element von A ist. B A {1, 3} {1, 2, 3, 6} denn alle Elemente von B gehören auch zu A 6 1 3 B 2 A

11. Schnittmenge • Die Schnittmenge A C zweier Mengen A und C ist die Menge aller Elemente, die zu A und zu C gehören. A = {1, 2, 3, 6} C = {2, 3, 5, 7} A C = {2, 3}, denn 2 und 3 sind genau die Elemente, die sowohl zu A als auch zu C gehören

12. Vereinigungsmenge • Die VereinigungsmengeA C zweier Mengen A und C ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu C oder auch zu beiden gehören. A = {1, 2, 3, 6} C = {2, 3, 5, 7} A C = {1, 2, 3, 5, 6, 7}

13. Restmenge • Die Restmenge A C zweier Mengen A und C ist die Menge aller Elemente, die nur zu A, aber nicht zugleich auch zu C gehören. A = {1, 2, 3, 6} C = {2, 3, 5, 7} A \ C = {1, 6}

14. Aufgaben • B sei die Menge der durch 7 teilbaren Zahlen. A sei die Menge der Primzahlen zwischen 1 und 50. • Welche Mengenarten liegen vor? • Welche der folgenden Zahlen sind Elemente von A, welche von B?9, 13, 7, 22, 17, 49, 50, 109, 36, 37

15. Aufgaben • Sind die folgenden Mengen unendlich, endlich oder leer? • Menge aller Altenpflegeheime in Brandenburg • Menge der Buchstaben des Wortes „Kindergarten“ • Menge der Schülerinnen dieser Klasse • Menge aller Multiplikationsaufgaben • Menge der Primzahlen zwischen 24 und 28 • Menge alle Teiler von 24

16. Aufgaben (S. 15 Nr. 11) • Geben Sie bei den folgenden Mengen jeweils die Teilmengenbeziehungen an und begründen Sie. • A = Menge der Personen im Kindergarten XB = Menge der Erzieherinnen im Kindergarten XC = Menge der 5jährigen Mädchen im Kindergarten X A C B

17. Geben Sie bei den folgenden Mengen jeweils die Teilmengenbeziehungen an und begründen Sie. • A = {2, 3, 4, 5}B = {1, 2, 3, 4, …}C = {2, 4, 6, 8} 6 8 3 5 2 4 C A B

18. Geben Sie an, welche Teilmengenbeziehung zwischen den folgenden Mengen besteht: A = {1, 2, 3, 4, …} B = {2, 4, 6, 8, …} C = {4, 8, 16, 24, …} A A aber auch A A B A, B B, B B C A, C B, C C, C C

19. Grundmenge G G = Menge der ungeraden Zahlen unter 10 A = Menge der Primzahlen Übertragen Sie das Mengenbild in Ihr Heft. Ergänzen Sie die Elemente der Grundmenge G und der Menge A. 9 1 3 5 7 A G

20. G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = Menge aller Primzahlen B = Menge aller ungeraden Zahlen C = Menge aller durch 3 teilbaren Zahlen • Schreiben Sie die Mengen in aufzählender Form. • Übertragen Sie das Mengenbild und ergänzen Sie die Elemente. 2 5 7 1 B 3 A 9 6 4 C G

21. Gegeben: G = {a, b, c, d, e} A = {a, b, c} B = {b, c} C = {c, d, e} D = {b, c} E = {a, b, c}

22. Tragen Sie in die Tabelle „wahr“ ein, wenn die angegebene Beziehung richtig ist. Tragen Sie „falsch“ ein, wenn sie nicht richtig ist.

24. Welche Mengen sind „gegenseitig“ Teilmengen? A E und E A B D und D B Welche Mengen enthalten dieselben Elemente und sind deshalb gleiche Mengen? A = E, B = D Vervollständigen Sie nun die folgende Aussage: „Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn … sie gegenseitig Teilmengen sind.“

25. Aufgaben • Wie lauten die Schnittmenge, die Vereinigungsmenge und die Restmenge A\B? • A = Menge aller GetränkeB = Menge aller Obstsäfte • A = {1, 2, 3, …, 100}B = {9, 18, 27, …, 99} • A = Menge aller Teiler der Zahl 20B = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

26. Gesetze für Mengenverknüpfungen A B 1 2 6 3 4 5 7 C

27. A = {1, 2, 3, 4 } B = {2, 3, 5, 6 } C = { 3, 4, 5, 7} • A B = B A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} • A (B C) = (A B) C {3} = {3} • A (B C) = (A B) (A C) {2, 3, 4} = {2, 3, 4} • A (B C) = (A B) (A C) {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}