Iteracyjne wyrównywanie sieci geodezyjnych

1. Iteracyjne wyrównywanie sieci geodezyjnych Współrzędne przybliżone

2. Obliczenie dokładnych współrzędnych opiera się na następujących założeniach: • Musi być zdefiniowany układ współrzędnych: • w sieciach niwelacyjnych – co najmniej 1 reper • w sieciach płaskich - co najmniej 2 punkty znane • w sieciach przestrzennych – co najmniej 3 punkty. • przy pomiarach GPS – określone odwzorowanie. • Pomiary terenowe muszą być przetworzone: • należy uwzględnić wszystkie niezbędne poprawki (temperatura, ciśnienie, odwzorowanie, stałe reflektora, przejście z 3D na 2D, itd.)

3. Zależnie od rodzaju sieci, stosuje się różne sposoby obliczenia współrzędnych przybliżonych szukanych punktów: x Niwelacja Dh Rp

4. Sieci kątowe: Wcięcie wstecz Wcięcie w przód

5. Sieci kątowo-liniowe: Wcięcie liniowe Wcięcie kątowo-liniowe

6. Sieci liniowe: 1 A 2 B 4 3 Wcięcia liniowe i transformacja współrzędnych

7. Problem wyrównania iteracyjnego może pojawić się w zadaniu, w którym funkcja wiążąca spostrzeżenia i niewiadome nie jest liniowa, a przybliżone wartości niewiadomych wyznaczono z niewystarczającą dokładnością. Nie dotyczy to sieci niwelacyjnych ponieważ tam funkcje w równaniach obserwacyjnych są zawsze liniowe.

8. Dla wyrównania metodą najmniejszych kwadratów konieczne są liniowe funkcje niewiadomych w równaniach poprawek: L+v = f(x) W celu doprowadzenia funkcji do postaci liniowej rozwija się ją w szereg Taylora:

9. Y = f(X) f(X) f(X0+x) x X0 + x X0 X Rysunek pokazuje różnicę między funkcją f(X) i jej rozwinięciem w szereg Taylora z pominięciem wyrazów wyższych stopni.

10. Rysunek pokazuje różnice między funkcją f(X) i jej rozwinięciem w szereg Taylora z pominięciem wyrazów wyższych stopni. W celu zmniejszenia tych różnic postępowanie iteracyjne polega na zmianie wartości przybliżonej niewiadomych, w taki sposób, że wynik poprzedniego wyrównania jest traktowany jako wartość przybliżona dla nowej iteracji: • Iteracja: X0 → X1 = X0 + x1 • Iteracja: X01= X1 → X2 = X1 + x2 • itd..

11. Kryterium przerwania: Opisana procedura w postaci programu komputerowego wymaga zastosowania jakiegoś kryterium przerwania obliczeń – w przeciwnym wypadku będzie działać w nieskończoność. Jedną z możliwości jest że norma wektora parametrów x ma być mniejsza od zadanej wartości granicznej εx np. εx =10-3 Drugie kryterium można zbudować w oparciu o wzór:

12. Przykład:

13. Funkcja zależności azymutu od współrzędnych x B A

14. Funkcja po rozwinięciu w szereg Taylora

15. Równanie kąta x L aL aP b S P

16. Równanie błędów dla kąta

17. Przykład (1400,1500) L b S = 80,3892 (1000,1000) P (600,1600)

18. Wcięcie wstecz A b1 B b2 P C b3 D

19. Zapis macierzowy zadania:

20. Współczynniki równań błędów: Równania normalne:

21. Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń:

22. Druga iteracja. Równania normalne:

23. Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń:

24. Trzecia iteracja: Równania normalne:

25. Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń:

26. Czwarta iteracja: Równania normalne:

27. Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń:

28. Wyrównane współrzędne:

29. Ocena dokładności: