v 0

1. Problema 4: Se lanza un objeto que desliza por una superficie. La superficie está inclinada hacia arriba un ángulo αrespecto a la horizontal. ¿Qué distancia recorrerá el objeto antes de pararse?

2. Situación inicial: el objeto ha sido lanzado con rapidez v0, por un plano que está inclinado un ánguloα respecto a la horizontal v0 α

3. Emisión de hipótesis y análisis cualitativo

4. La distancia de frenado (D) dependerá de… • La rapidez inicial (v0) • El coeficiente de rozamiento de la superficie (μ) • La masa del objeto (m) • La inclinación del plano (α) • La aceleración de la gravedad (g)

5. Para analizar la influencia de cada variable sobre D, necesitamos realizar un control de variables

6. Si (μ, m, α, g) permanecen constantes, D depende de v0: • De forma creciente, pues a mayor rapidez inicial más tiempo tardará en pararse y más distancia recorrerá • Si v0 tiende a cero, D tenderá a cero pues apenas subirá • Si v0 tiende a infinito, D tenderá a infinito pues tardará un tiempo infinito en detenerse

7. Si (v0, m, α, g) permanecen constantes, D depende de μ: • De forma decreciente, pues a mayor coeficiente de rozamiento, mayor fuerza de rozamiento máxima, antes se parará y menos D • Si μtiende a cero, D tenderá a un valor máximo (pues se encargará de pararlo tan sólo la atracción de la Tierra) • Si μtiende a infinito, D tenderá a cero pues tardará un tiempo casi nulo en detenerse

8. Si (v0, μ, α, g) permanecen constantes, D depende de m: • De forma decreciente, pues a mayor masa mayor fuerza contraria al movimiento (aumenta la componente tangencial del peso, y aumenta la fuerza de rozamiento por estar más apretados el objeto y la superficie), y menos D • Si mtiende a cero, D tenderá a infinito • Si mtiende a infinito, D tenderá a cero

9. Si (v0, μ, m, g) permanecen constantes, D depende de α: • De forma decreciente, pues a mayor inclinación mayor será la componente tangencial del peso, que es contraria al movimiento. (Sin embargo, menor será la fuerza de rozamiento pues estarán menos apretados el objeto y la superficie) • Si αtiende a cero, D tenderá a un valor máximo (ver solución del problema 3) • Si αtiende a 90º, D tenderá al valor de la altura máxima en un tiro vertical.

10. Si (v0, μ, m, α) permanecen constantes, D depende de g: • De forma decreciente, pues a mayor aceleración de la gravedad y por tanto mayor fuerza contraria al movimiento (aumenta la componente tangencial del peso, y aumenta la fuerza de rozamiento por estar más apretados el objeto y la superficie), y menos D • Si gtiende a cero, D tenderá a infinito (ni fuerza de rozamiento ni peso) • Si gtiende a infinito, D tenderá a cero

11. Estrategia de resolución

12. Pasos para resolver el problema: • Realizar un análisis dinámico para obtener la aceleración • Dibujar, nombrar y calcular directamente las fuerzas que están actuando sobre el objeto durante el movimiento • Dibujar la dirección tangencial y normal, y descomponer cada una de las fuerzas • Sumar (o restar) las fuerzas en cada dirección, e igualar al producto de la masa por la aceleración en esa dirección • Elegir sistema de referencia, determinar el signo de la aceleración y escribir ecuaciones: vt, et. • Igualar vt=0, despejar t y sustituir en et.

13. 1. Análisis dinámico: dibujar, nombrar y calcular… Fs,o Fuerza que ejerce el suelo sobre el objeto, y mide lo apretados que están Frozs,o Fuerza de rozamiento por deslizamiento que ejerce el suelo sobre el objeto α FT,o=mo·g Fuerza de atracción de la Tierra sobre el objeto

14. Fs,o Frozs,o 1. Análisis dinámico: descomponer cada fuerza… dir tang dir nor

15. α α α 1. Análisis dinámico: dibujar, nombrar y calcular… FT,o·senα FT,o·cosα FT,o

16. FT,o·senα FT,o·cosα 1. Análisis dinámico: descomponer cada fuerza… Fs,o dir tang Frozs,o dir nor

17. 1. Análisis dinámico: Fres en dirección normal… Fs,o Movimiento rectilíneo: anor=0 FT,o·cosα

18. 1. Análisis dinámico: Fres en dirección tangencial Frozs,o FT,o·senα Como hay movimiento, la Froz toma el valor máximo: μ·Fs,o

19. 2. Elegir sistema de referencia… v0 atg e0=0

20. 3. Igualar vt a cero, despejar…

21. Análisis de resultados

22. Análisis de resultados • La ecuación es dimensionalmente homogénea: D tiene las mismas unidades que: • Algunas de nuestras hipótesis son ciertas, pero no todas…

23. Teniendo en cuenta que: • D depende de v0, es creciente y se cumplen los casos límite (ver diapositiva 6) • D depende de μ, es decreciente, y se cumplen los casos límite (si μ=0, D es máxima:

24. Teniendo en cuenta que: • ¡D no depende de m! Podríamos revisar nuestra resolución, pero quizás nos hemos equivocado en nuestros argumentos parea justificar la hipótesis. Como tantas veces nos ha ocurrido en clase, hemos pensado que el movimiento está relacionado con la fuerza resultante, y no es así: está relacionado con la aceleración. Por tanto, la influencia de m en la Fres (directamente proporcional), desaparece al dividir entre m para obtener la aceleración.

25. Teniendo en cuenta que: • Nuestro argumento contradictorio sobre la influencia de α se reconoce en que aparece por dos veces en el denominador de la expresión obtenida: por una parte, el denominador es mayor cuanto mayor es α pues el seno aumenta, pero por otra parte en ese caso el coseno disminuye. • Cuando α=0, D tiende a un valor máximo: • Cuando α=90º, entonces:

26. Teniendo en cuenta que: • D depende de g, es decreciente, y se cumplen los casos límite (ver diapositiva 10)