MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

1. MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quatrième cours ACT2025 - Cours 4

2. Rappel: • Escompte composé ACT2025 - Cours 4

3. Rappel: • Escompte composé • Escompte simple ACT2025 - Cours 4

4. Rappel: • Escompte composé • Escompte simple • Taux nominal d’intérêt ACT2025 - Cours 4

5. Rappel: • Escompte composé • Escompte simple • Taux nominal d’intérêt • Taux nominal d’escompte ACT2025 - Cours 4

6. Rappel: • Escompte composé • Escompte simple • Taux nominal d’intérêt • Taux nominal d’escompte • Équivalence de taux ACT2025 - Cours 4

7. Rappel: Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est i(m) . ACT2025 - Cours 4

8. Rappel: Si l’intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d’escompte est d(m) . ACT2025 - Cours 4

9. L’équivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes Rappel: en calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable dans un an ou encore ACT2025 - Cours 4

10. Rappel: en calculant la valeur accumulée par 1 dollar après un an. ACT2025 - Cours 4

11. Exemple 1: Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois. (a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années? ACT2025 - Cours 4

12. Exemple 1: Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois. (a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années? (b) Quel est l’intérêt gagné par Anouk pendant la troisième année? ACT2025 - Cours 4

13. Solution: (a) Pour les deux premières années, nous avons que le taux d’intérêt est i(2) = 6%, c’est-à-dire (6/2)% = 3% par six mois. ACT2025 - Cours 4

14. Solution: (a) Pour les deux premières années, nous avons que le taux d’intérêt est i(2) = 6%, c’est-à-dire (6/2)% = 3% par six mois. Pour les trois dernières années, nous avons que le taux d’escompte est d(4) = 9%, c’est-à-dire (9/4)% = 2.25% par trois mois. ACT2025 - Cours 4

15. Solution: (a) Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois. ACT2025 - Cours 4

16. Solution: (a) Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois. Pour les trois dernières années, il y aura 12 = 3 x 4 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 12 périodes de 3 mois. ACT2025 - Cours 4

17. Solution: (a) Le montant accumulé après les deux premières années est 12000(1 + 0.03)4 = 13506.11 $ ACT2025 - Cours 4

18. Solution: (a) Le montant accumulé après les deux premières années est 12000(1 + 0.03)4 = 13506.11 $ Le montant accumulé après les trois dernières années est 13506.11 (1 - 0.0225)-12 = 17747.17 $ ACT2025 - Cours 4

19. Solution: (a) Le montant accumulé après les deux premières années est 12000(1 + 0.03)4 = 13506.11 $ Le montant accumulé après les trois dernières années est 13506.11 (1 - 0.0225)-12 = 17747.17 $ Anouk aura donc accumulé 17747.17$ dans son placement après 5 ans. ACT2025 - Cours 4

20. Solution: (b) Il nous faut calculer les montants accumulés après trois ans et deux ans et les soustraire l’un de l’autre. Nous aurons ainsi le montant d’intérêt gagné pendant la troisième année. ACT2025 - Cours 4

21. Solution: (b) Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est 12000 (1.03)4(0.9775)-4 = 14945.54 $ ACT2025 - Cours 4

22. Solution: (b) Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est 12000 (1.03)4(0.9775)-4 = 14945.54 $ Le montant accumulé dans le placement après les deux premières années est 12000(1.03)4= 13506.11 $ ACT2025 - Cours 4

23. Solution: (b) Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est 12000 (1.03)4(0.9775)-4 = 14945.54 $ Le montant accumulé dans le placement après les deux premières années est 12000(1.03)4= 13506.11 $ Le montant d’intérêt gagné pendant la troisième année est 14945.54 - 13506.11 = 1439.43 $ ACT2025 - Cours 4

24. Taux instantané de l’intérêt (ou force de l’intérêt): Il s’agit d’un notion pour mesurer l’intérêt qui fait appel au calcul différentiel. ACT2025 - Cours 4

25. Taux instantané de l’intérêt (ou force de l’intérêt): (suite) Notons la fonction d’accumulation par A(t). Alors le taux instantané de l’intérêt est défini ACT2025 - Cours 4

26. Exemple 2: Si nous considérons la situation de l’intérêt simple, c’est-à-dire a(t) = (1 + it) Alors la force de l’intérêt sera ACT2025 - Cours 4

27. Exemple 3: Si nous considérons la situation de l’intérêt composé, c’est-à-dire a(t) = (1 + i)t Alors la force de l’intérêt sera ACT2025 - Cours 4

28. Remarque 1: Dans le cas de l’intérêt simple, la force de l’intérêt est décroissante; alors que, dans le cas de l’intérêt composé, elle est constante. ACT2025 - Cours 4

29. Remarque 2: Si nous connaissons le principal investi et le taux instantané de l’intérêt, nous pouvons alors calculer la fonction d’accumulation. ACT2025 - Cours 4

30. Remarque 2: Si nous connaissons le principal investi et le taux instantané de l’intérêt, nous pouvons alors calculer la fonction d’accumulation. En effet, nous pouvons montrer que ACT2025 - Cours 4

31. Remarque 2: (suite) De la définition, nous pouvons aussi montrer que l’intérêt peut être calculé par une intégrale: ACT2025 - Cours 4

32. Remarque 3: Dans une situation pour laquelle la force de l’intérêt est constante, c’est-à-dire x =  pour tout x, nous obtenons que ACT2025 - Cours 4

33. Remarque 3: Dans une situation pour laquelle la force de l’intérêt est constante, c’est-à-dire x =  pour tout x, nous obtenons que Cette situation est équivalente à celle de l’intérêt composé! ACT2025 - Cours 4

34. Remarque 3: (suite) En fait, nous obtenons que e = (1 + i) où i est le taux d’intérêt composé équivalent au taux instantané d’intérêt . ACT2025 - Cours 4

35. Exemple 4: Boris veut accumuler 10000$ après 7 ans dans un placement rémunéré au taux instantané d’intérêt de 5% par année. Quel montant doit-il investir aujourd’hui? ACT2025 - Cours 4

36. Solution: Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt  = 5%. ACT2025 - Cours 4

37. Solution: Nous avons vu que la fonction de capitalisation est a(t) = et . Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt  = 5%. ACT2025 - Cours 4

38. Solution: Nous avons vu que la fonction de capitalisation est a(t) = et . Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt  = 5%. Conséquemment la fonction d’actualisation est a-1(t) = e-t . ACT2025 - Cours 4

39. Solution: (suite) De cette dernière observation, Boris doit investir aujourd’hui 10000 e-(0.05)7 = 7046.88 $. ACT2025 - Cours 4

40. Proposition 1: Soit un taux instantané de l’intérêt constant  Pour chaque m > 0, désignons par i(m): le taux nominal d’intérêt équivalent à , alors ACT2025 - Cours 4

41. Remarque 4: Il est possible que le nombre m soit plus petit que 1 dans la définition du taux nominal d’intérêt i(m). Ceci signifie que m période de capitalisation est égale à une année. Dans ce cas, le taux d’intérêt demeure i(m)/m par période de capitalisation. Nous allons illustrer ceci dans l’exemple suivant. ACT2025 - Cours 4

42. Exemple 5: Si 5000 $ est placé au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé à tous les 4 ans, alors calculons le montant accumulé après 5 ans. Dans ce cas, une année correspond à (1/4) = 0.25 d’une période de capitalisation. Donc nous avons le taux nominal d’intérêt i(1/4) = 6%. ACT2025 - Cours 4

43. Exemple 5: (suite) Le taux d’intérêt par période de capitalisation (i.e. par 4 ans) est 6/(0.25) % = 24%. Il faut noter aussi que 5 ans est 1.25 période de capitalisation. Donc le montant accumulé après 5 ans sera 5000(1.24)1.25 = 6542.55 $ ACT2025 - Cours 4

44. Remarque 5: Il est possible que le nombre m soit plus petit que 1 dans la définition du taux nominal d’escompted(m). Ceci signifie que m période de capitalisation est égale à une année. Dans ce cas, le taux d’escompte demeure d(m)/m par période de capitalisation. ACT2025 - Cours 4

45. CHAPITRE IIPrincipes de base ACT2025 - Cours 4

46. Principe de base: La valeur d'un montant investi ou prêté à un moment donné dépend du temps qui s'est écoulé depuis que le montant a été investi ou prêté ou encore du temps qui doit s’écouler avant que le montant soit payé ou remboursé. ACT2025 - Cours 4

47. Conséquence du principe de base: Pour deux montants payables à deux moments différents dans le temps, ne peuvent être comparés que leurs valeurs accumulées ou escomptées à une date commune appelée la date de comparaison. ACT2025 - Cours 4

48. Définition: L’équation incluant les valeurs accumulées ou escomptées à cette date de comparaison des montants investis ou prêtés est appelée l’équation de valeur. ACT2025 - Cours 4

49. Définition de l’équation de valeur: La somme des valeurs accumulées ou escomptées des entrées d’un flux financier à la date de comparaison est égale à la somme des valeurs accumulées ou escomptées des sorties d’un flux financier à la même date de comparaison ACT2025 - Cours 4

50. Exemple 6: Alex et Béa conviennent du prêt suivant. Alex prêtera 7000$ immédiatement, 4000$ dans 2 ans et 3000$ dans 3 ans. Béa remboursera ce prêt par un seul versement de X dollars dans 5 ans. Déterminer X si ce prêt est contracté au taux nominal d’intérêt de 10% par année capitalisé semestriellement. ACT2025 - Cours 4