Regra de Três Simples e Composta

1. Regra de Três Simples e Composta Professor João Gilberto

2. Grandezas Proporcionais Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos por meio de um processo pratico, chamado regra de três simples. 1) Regra de Três Simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação.

3. Grandezas Proporcionais 1) Regra de Três Simples Exemplo 5 Um automóvel faz 180 km com 15l de álcool. Quantos litros de álcool este automóvel gastaria para percorrer 210 km? O problema envolve duas grandezas: distância percorrida e consumo de álcool. As unidades empregadas para medir tais grandezas são, respectivamente, quilômetros e litros.

4. Grandezas Proporcionais Indicando por x o número de litros de álcool que serão consumidos, podemos montar a tabela a seguir: 1) Regra de Três Simples As grandezas distância percorrida e consumo de álcool são diretamente proporcionais, se a distância percorrida aumenta, o consumo de álcool aumenta proporcionalmente, ou seja, se a distância dobra, triplica..., o consumo de álcool também dobra, triplica... Logo, a razão entre as distâncias é igual a razão entre os consumos correspondentes.

5. Grandezas Proporcionais 1) Regra de Três Simples Assim, temos a proporção que nos leva ao valor de x: Portanto, esse automóvel levaria 17,5 litros para percorrer 210 km.

6. Grandezas Proporcionais 1) Regra de Três Simples Exemplo 6 Com uma área  de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? O problema envolve duas grandezas: área (m2) e energia (Wh). As unidades empregadas para medir tais grandezas são, respectivamente, metros quadrados e watts por hora.

7. Grandezas Proporcionais 1) Regra de Três Simples Montando a tabela temos: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

8. Grandezas Proporcionais 1) Regra de Três Simples Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

9. Grandezas Proporcionais 1) Regra de Três Simples Exemplo 7 Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, Vânia gasta 4 horas para fazer certo percurso. Quanto seria gasto para fazer o mesmo percurso, se Vânia aumentasse a velocidade para 80 km/? O problema envolve duas grandezas: velocidade em km/he tempo em horas. Indicando por x o número de horas, podemos montar a tabela a seguir:

10. Grandezas Proporcionais 1) Regra de Três Simples As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais, pois, ao aumentar a velocidade, o tempo de percurso diminui proporcionalmente. Se, por exemplo, a velocidade dobra, tempo ficará reduzido à metade.

11. Grandezas Proporcionais 1) Regra de Três Simples Neste caso, como as razões têm sentido contrários, devemos inverter uma das razões e em seguida, aplicamos propriedade fundamental das proporções. Portanto, Vânia gastaria 3 horas para percorrer o mesmo trajeto com a nova velocidade.

12. Grandezas Proporcionais 2) Regra de Três Composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. De um modo geral, suponhamos que uma grandeza A dependa de duas outras grandezas B e C. Se, fixando C, A é diretamente proporcional a C, então A é diretamente proporcional ao produto de B e C. Logo, se uma grandeza é proporcional a outras grandezas, então é proporcional ao produto dessas outras.

13. Grandezas Proporcionais     Exemplo 8 2) Regra de Três Composta Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? Resolução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

14. Grandezas Proporcionais 2) Regra de Três Composta Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

15. Grandezas Proporcionais Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). 2) Regra de Três Composta Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, serão necessários 25 caminhões.

16. Grandezas Proporcionais     Exemplo 9 2) Regra de Três Composta Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Resolução: montando a tabela: Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

17. Grandezas Proporcionais 2) Regra de Três Composta Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, serão montados 32 carrinhos.