La méthode d’Euler (1707-1783)

y La méthode d’Euler(1707-1783) t • Ou comment connaître (à peu près) le futur avec des conditions initiales connues, y Une équa diff du premierdegré que l’on ne sait pas résoudre t

Les contenus (p.85 B.O.) Chute verticale avec frottement(Placée avant la chute libre) Application 2ème loi de N. à un mouvement de chute verticale : forces appliquées au solide (poids, poussée d’Archimède, force de frottement fluide) Équa diff du mouvement ;

Les contenus (Suite) Résolution de l’équa diff par une méthode numérique itérative Régime initial et asymptotique (dit « permanent ») Vitesse limite ; notion de temps caractéristique

Connaissances et savoir-faire exigibles • Appliquer la deuxième loi de Newton à un corps en chute verticale dans un fluide et établir l’équation différentielle du mouvement, la force de frottement étant donnée. - Connaître le principe de la méthode d’Euler pour la résolution approchée d’une équa diff. • Savoir exploiter des reproductions d’écrans d’ordinateur (lors de l’utilisation d’un tableur-grapheur) correspondant à des enregistrements expérimentaux

Connaissances et savoir-faire exigibles (suite) • Savoir exploiter des courbes VG = f(t) pour : • Reconnaître le régime initial et/ou le régime asymptotique • Évaluer le temps caractéristique • Déterminer la vitesse limite - Dans le cas de la résolution par la méthode itérative de l’équa diff, discuter la pertinence des courbes obtenues/ aux résultats expérimentaux

Principe mathématique de la méthode Y(t) = f (t, x(t)) y t dt

y(t+dt) = y(t) + v(t).dt + O(t2) Ordre en t2 négligé De même, v(t+dt) = v(t) + a(t).dt + O(t2) Ordre en t2 négligé À un instant quelconque, on peut écrire :

Cas de la chute libre avec frottement Ecoulement à nombre de Reynolds supérieur à 1000 (turbulent) Frottement f(t) = k.V2(t) (avec k = ½.Cx .r.S. Balle de Ping-pong ou balle de tennis)

Solutions : Balle de tennis, boule de pétanque : Si on lâche à hauteur d’homme, écart à l’arrivée 2 cm (!) BUP 815

Yi+1 = Yi + Vi.dt Vi+1 = Vi + Ai.dt k = Méthode itérative Donc

Exploitation avec un tableur type Excel Altitude Vitesse Accélération V/Vlim Pas d’itération Vlim(m/s) Y A2 V B2 a C2 D2 0,05 (ex) 5,8 0 A3 Y1 0 B3 V1 9,81 C3 a1 0 D3 Y2 = A3 + 0,05.B3

Une seule ligne définie, toutes les autres calculées par un simple « copier/coller » Conditions initiales Définitions des cellules par des « formules » Rien à faire. Le logiciel calcule grâce à un copier/coller

La méthode d’Euler (1707-1783)