1 / 22

Cálculo Integral

Cálculo Integral. Prof. Esp. Renato Schneider Rivero Jover renato@renatomatematico.mat.br www.renatomatematico.mat.br. Aplicações da Integral. Cálculo de áreas sobre curvas Volume de sólidos diversos 4D Acúmulo de variações. Antiderivada. É a resposta da pergunta?

dessa
Download Presentation

Cálculo Integral

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Cálculo Integral Prof. Esp. Renato Schneider RiveroJover renato@renatomatematico.mat.br www.renatomatematico.mat.br

  2. Aplicações da Integral • Cálculo de áreas sobre curvas • Volume de sólidos diversos • 4D • Acúmulo de variações

  3. Antiderivada • É a resposta da pergunta? • “Qual função cuja derivada é igual a f(x)?” • Convencionalmente se chama a antiderivada de F(x), com “F” maiúsculo.

  4. Exemplo de antiderivada • F(x) = 4x2 quando f(x) = 8x pois a derivada de 4x2 é igual a 8x. • F(x) = 2sen(x2) quando f(x) = 4xcos(x2), pois a derivada de 2sen(x2) é igual a 4xcos(x2). • F(x) = ex quando f(x) = ex pois a derivada de ex é a própria função ex.

  5. Lembra? • Qual a derivada de uma constante? • A derivada da soma é a soma das derivadas! • Se f´(x) = 8x quando f(x) = 4x2, então qual a derivada de 4x2 + 13? E qual a derivada de 4x2 – 6? E de 4x2 + 5?

  6. Vamos ver o que você conclui! • Qual a sua resposta para a pergunta anterior? • Todas têm a mesma derivada! f´(x) = 8x. • Será que as três funções que você derivou no slide anterior poderiam ser ANTIDERIVADAS de 8x?

  7. Teorema 1 • Seja f(x) uma função a qual exista uma F(X) chamada ANTIDERIVADA de f(x). • Se isso acontece, então F(x) + C também é ANTIDERIVADA de f(x) para qualquer C real. • As funções deriváveis têm 1 única derivada. • Entretanto, elas admitem infinitas ANTIDERIVADAS.

  8. Quais são as antiderivadas? • Agora, diga, quais são as antiderivadas de 6x3? • Se você respondeu 1.5x4, sua resposta está parcialmente correta. • Para sua resposta estar correta, é necessário que você responda: 1.5x4 + C.

  9. Exercite sua mente! • Daqui por diante é fundamental que você olhe para as funções com outros olhos. • Aprenda a pensar “qual a função que admite f(x) como sua derivada?” • Resumidamente: ANTIDERIVAÇÃO é o processo de marcha-ré da DERIVAÇÃO.

  10. Integrais indefinidas • Em termo de técnica não há nenhuma novidade. • A integral indefinida é o conjunto das ANTIDERIVADAS de uma função. Se F(x) é uma antiderivada de f(x), então:

  11. Exemplos. • Calcule: • F(x) = x4+C • Calcule: • F(x) = • Tudo que foi feito aqui é ANTIDERIVAÇÃO

  12. Tabela de Integrais • A partir deste estágio, você pode utilizar sua tabela de integrais para fazer esse processo todo. • O cálculo de uma função integral chama-se INTEGRAÇÃO. • As integrais indefinidas levam esse nome porque não há valor definido para C.

  13. Propriedades da integração • A integral de uma constante é a constante da integral, ou seja, • A integral da soma é a soma das integrais. Análogo para a diferença:

  14. Integral Definida • Uma aplicação: área sobre uma curva. Figura 1: Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/area-sob-uma-curva.htm

  15. Calculando essa área • Basta fazer a operação de integração, mas desta vez há que se limitar o intervalo [a,b]. Devido a essa limitação, não teremos mais a constante C, pois a função estará bem definida

  16. Integrando.... • Para achar F(x), você já sabe..... • Basta fazer F(b) e F(a) e subtrair um do outro. • O resultado final, um número, será a área sob a curva dentro daquele intervalo.

  17. Exemplo Ao lado temos o gráfico da função f(x) = sen(x) e queremos a área sob essa curva definida do 0 até π (aprox. 3,14) Compare com o Graphmatica:

  18. Observações: • Lembre-se que área é um número positivo. • Vamos olhar novamente a função y = sen(x) Calcule a área destacada sabendo que o intervalo de integração é [0,2π]

  19. Área entre duas curvas • Figura 2: http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/Aplica%C3%A7%C3%B5es_das_integrais

  20. Área entre duas curvas • A área verde claro é a área sobre a curva y=3x, mas subtraindo a área sobre a curva x2. • Logo para calcular a área entre duas curvas, basta fazer a integral da diferença.

  21. Sólidos de Revolução • Cálculo de volume de sólido de revolução. • O eixo de rotação é o eixo “x” • O raio será o valor de f(a). Figura 1: Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/area-sob-uma-curva.htm

  22. Sólidos de Revolução • Como a área de um círculo é dada por πr2, então a área de cada um desses “discos” é dada por πf(x)2. • O volume é a área multiplicada pela altura. • A altura, como o sólido está “deitado”, é o intervalo de “a” até “b” definido. Logo:

More Related