Matematika II

1. Sudaryatno Sudirham • Matematika II

2. ISI TurunanFungsi-Fungsi: • FungsiPolinom • PerkalianFungsi, PangkatdariFungsi, FungsiRasional, FungsiImplisit • FungsiTrigonometri, TrigonometriInversi, Logaritmik, Eksponensial Integral: • Integral Tak-Tentu • Integral Tentu PersamaanDiferensial • PersamaanDiferensial Orde-1 • PersamaanDiferensial Orde-2

3. TurunanFungsi-Fungsi

4. y 2 Δy 1 Δx 0 x 0 1 2 3 4 -1 Pengertian-Pengertian Kita telah melihat bahwakemiringangarislurusadalah Bagaimanakah dengan garis lengkung?

5. y = f(x) y y = f(x) y Δy* P1 P2 Δx* x Δy Inimerupakanfungsi turunan dari di titik P P1 Δx x GarisLengkung Garislurusdengankemiringany/xmemotonggarislengkung di duatitik JarakkeduatitikpotongsemakinkeciljikaΔxdi perkecilmenjadix* Pada kondisi Δx mendekati nol, kitaperoleh Ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P

6. y (x2,y2) (x1,y1) x Padasuatugarislengkung kitadapatmemperolehturunannya di berbagaititikpadagarislengkungtersebut f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunanydi titik (x1,y1), f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunany di titik(x2,y2)

7. Jika pada suatu titik x1 di mana benar ada makadikatakanbahwafungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut” Jikadalamsuatu domain suatufungsif(x) dapat di-diferensiasi di semuaxdalamdalam domain tersebut kitakatakanbahwafungsif(x) dapat di-diferensiasidalam domain. kitabaca “turunanfungsiyterhadapx” Penurunaninidapatdilakukanjikaymemangmerupakanfungsix. Jikatidak, tentulahpenurunanitutidakdapatdilakukan.

8. Contoh: Contoh: Fungsi ramp 10 y 8 Fungsi tetapan 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 x Mononom

9. Contoh: Turunan fungsimononompangkat 2berbentuk mononompangkat 1 (kurvagaris lurus) Contoh: Turunan fungsi mononompangkat 3berbentuk mononompangkat 2 (kurva parabola)

10. berbentuk garis lurus Jika n= 1 maka kurva fungsi dan turunannya berupa nilai konstan, Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x, Secara umum, turunan fungsimononom adalah *) Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkinmasihdapatditurunkanlagi turunandari turunandari *)Untukn berupabilangantakbulatakandibahaskemudian

11. disebut turunan pertama, turunan kedua, turunan ke-tiga, dst. Contoh:

12. Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapaturunan akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya. dan turunan-turunannya Fungsi 200 100 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -100 Contoh:

13. 10 f1(x) = 4x + 2 y 8 6 4 2 0 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 x -2 -4 Polinom Contoh: Turunanfungsiinisamadenganturunanf(x)=4x karenaturunandaritetapan 2 adalah 0. SecaraUmum:JikaF(x) = f(x) + K makaFʹ(x) = f (x)

14. 10 y 5 0 -1 0 1 2 3 4 x -5 -10 -15 Contoh:

15. Contoh: Contoh: Secara Umum: Turunan fungsipolinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu memang memiliki turunan.

16. Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi Jika maka

17. Contoh: adalah Turunan Jikadipandangsebagaiperkalianduafungsi Jika Contoh: Jikadipandangsebagaiperkaliantigafungsi

18. Fungsi Yang Merupakan Pangkatdarisuatu Fungsi Contoh: Contohinimenunjukkanbahwa SecaraUmum:

19. Contoh: Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi

20. Fungsi Rasional Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi atau Jadi:

21. Contoh: Contoh: Contoh: (agar penyebut tidak nol)

22. Bilangantidakbulat dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0 FungsiBerpangkatTidakBulat (vadalahfungsi yang bisaditurunkan) Jika y ≠ 0, kita dapatkan sehingga Formulasi ini mirip dengan keadaanjikan bulat, hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

23. Apabila kita mempunyai persamaan maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk Jika dapat diturunkan terhadap x dan dapat diturunkan terhadap t, maka dapat diturunkan terhadap t menjadi FungsiParametrikdan Kaidah Rantai Kaidah rantai

24. FungsiImplisit Sebagianfungsiimplisitdapatdiubahkedalambentukexplisitnamunsebagian yang lain tidak. Untukfungsi yang dapatdiubahdalambentukeksplisit, turunanfungsidapatdicaridengancaraseperti yang sudahkitapelajari di atas. Untukmencariturunanfungsi yang takdapatdiubahkedalambentukeksplisitperlucarakhusus, yang disebutdiferensiasiimplisit. Dalamcarainikitamenganggapbahwafungsiydapatdidiferensiasiterhadapx.

25. Jika kita peroleh turunan Contoh: Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh

26. Contoh: Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh kita dapat memperoleh turunan Untuk

27. Jika maka TurunanFungsiTrigonometri Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1dan sinx = x. Oleh karena itu

28. Jika maka Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1dan sinx = x. Oleh karena itu

29. Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

30. vC iC 200 vC iC 100 0 t [detik] 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 -100 -200 Contoh: Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 210-6 farad merupakan fungsi sinus vC= 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor iniadalah

31. vL iL 200 vL iL 100 0 t[detik] 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 -100 -200 Contoh: Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL = 0,2cos400t ampere. Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah

32. 1 x y 1 y x TurunanFungsiTrigonometriInversi

33. x y 1 1 y x

34. x y 1 x 1 y

35. FungsiTrigonometridariSuatuFungsi Jika v = f(x), maka

36. Jika w = f(x), maka

37. Fungsi logaritmik didefinisikan melalui suatu integral 6 y 5 1/t 4 3 2 1 0 x t 0 1 2 3 4 1/x x +Δx 1/(x+Δx) Turunan Fungsi Logaritmik Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, dalam selang antara t = 1 dan t = x ln(x+x)lnx Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx 1/x). Namun jika Δx makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx 1/x); dan jika Δx mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx 1/x).

38. Turunan Fungsi Eksponensial penurunan secara implisit di kedua sisi atau . Jadi turunan dari exadalah exitu sendiri dst. Jika

39. Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x: Diferensialdxdandy Turunan fungsi y(x) terhadap xdinyatakandenganformulasi dxdandydidefinisikan sebagai berikut: 1).dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalahbilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x; 2).dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan

40. y y y Iniadalahfungsi (peubahtakbebas) dy dy dx P P P dx dx dy    x x x y y dy dx P P dx dy   x x Penjelasansecaragrafis Jikadxberubah, makadyberubahsedemikianrupasehinggady/dx samadengankemiringangarissinggungpadakurva Iniadalahpeubahbebas adalahbesar perubahan nilai y sepanjang garis singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx adalahlaju perubahan y terhadap perubahan x. Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.

41. Turunan Fungsi Diferensial Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabelberikut. Dalam tabel ini v adalah fungsi x.

42. sehingga Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi. 1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx. 2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel) Contoh: Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas

43. Integral

44. 1. Integral TakTentu Pengertian-Pengertian Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi xsepertiini disebut persamaan diferensial. Contohpersamaan diferensial

45. Tinjaupersamaan diferensial Karena maka Suatu fungsidikatakan merupakansolusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi fungsijugamerupakan solusi

46. dapatdituliskan Integrasiruaskiridanruaskananmemberikansecara umum Jadi integral dari diferensial suatu fungsiadalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak tentudi mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari

47. Contoh: Cari solusi persamaan diferensial ubah ke dalam bentuk diferensial Kita tahubahwa oleh karena itu

48. Contoh: Carilah solusi persamaan kelompokkan peubah sehinggaruaskiridankananmengandungpeubahberbeda Jika kedua ruas diintegrasi

49. Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut. 1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstantaK. 2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan 3. Jika bilangan n1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).

50. 100 100 K3 50 50 K2 yi= 10x2+Ki y = 10x2 K1 y y -5 -3 -1 1 3 5 -5 -3 -1 1 3 5 x x Penggunaan Integral Tak Tentu Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K. kurva kurva adalah kurva bernilai tunggal adalah kurva bernilai banyak