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Mathématiques SN

Mathématiques SN. La fonction EXPONENTIELLE. Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE -. Rappels sur les lois des exposants. TERMINOLOGIE. base exposant = puissance. Ex. : 3 2 = 9. NOTATION. LOIS DES EXPOSANTS. a 1 = a. a ½ = a. a m • a n = a m + n. .

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  1. Mathématiques SN La fonction EXPONENTIELLE

  2. Mathématiques SN- La fonction EXPONENTIELLE - Rappels sur les lois des exposants TERMINOLOGIE baseexposant = puissance Ex. :32 = 9 NOTATION LOIS DES EXPOSANTS a1 = a a½ = a am • an = am + n    m  = a⅓ = 3 a    a0 = 1 = am – n  (am)n = amn (ab)m = ambm a - m = a⅔ = 3 a2   

  3. EXEMPLES sur les LOIS (ab)m = ambm  am• an = am + n  Ex. #1 : (3x)4 = 34 • x4 Ex. #2 : x7 • y7 = (xy)7 Ex. #1 : 34 • 33 = 37 Ex. #2 : x• x5 = x6 m  = Ex. #3 : 7x + 8 = 7x • 78 2  = am – n Ex. #1 : = Ex. #1 : = 55 5 Ex. #2 : = Ex. #2 : = = x-3 (am)n= amn  Ex. #3 : 6x – 2 = Ex. #1 : (34)2 = 38 Ex. #2 : x8 = (x8)½ = x4

  4. Équations et graphique Mathématiques SN- La fonction EXPONENTIELLE - f(x) = cx Exemple : f(x) = 2x (forme générale de BASE) f(x) = acb(x – h) + k Exemple : (forme générale TRANSFORMÉE) f(x) = 3 • 24(x – 3) + 5 f(x) = acx – h + k (forme CANONIQUE) Exemple : f(x) = 3 • 2x – 3 + 5

  5. Équations et graphique 1 1 Mathématiques SN- La fonction EXPONENTIELLE - f(x) = 2x (forme générale de BASE où c  1) 0 1 1 2 2 4 8 3 -1 ½ -2 ¼

  6. Équations et graphique 1 1 Mathématiques SN- La fonction EXPONENTIELLE - f(x) = ( )x (forme générale de BASE où c  ] 0 ,1 [ ) 0 1 1 ½ 2 ¼ 0,1 3 -1 2 -2 4

  7. Équations et graphique 1 1 Mathématiques SN- La fonction EXPONENTIELLE - f(x) = - 2x (forme générale TRANSFORMÉE où a = -1) 0 - 1 1 - 2 2 - 4 - 8 3 -1 - ½ -2 - ¼

  8. Équations et graphique 1 1 Mathématiques SN- La fonction EXPONENTIELLE - f(x) = 2-x (forme générale TRANSFORMÉE où b = -1) 0 1 1 ½ 2 ¼ ⅛ 3 -1 2 -2 4

  9. Équations et graphique 1 1 Mathématiques SN- La fonction EXPONENTIELLE - f(x) = 2•3x – 1 – 5 (forme générale TRANSFORMÉE) 0 - 4,3 1 - 3 2 1 13 3 y = - 5 (asymptote) -1 - 4,8 -2 - 4,9

  10. Équations et graphique 1 1 Mathématiques SN- La fonction EXPONENTIELLE - f(x) = acb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) c  ] 0 ,1 [ c  1 y =k Équation de l’asymptote Dom f =  Ima f = ] k , +∞ y = k (asymptote)

  11. Résolutions d’équations 1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la même base exponentielle 2 méthodes : 2- Utiliser les logarithmes Mathématiques SN- La fonction EXPONENTIELLE - Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 1) – 539 .

  12. Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 1) – 539 . 0 = 11 (72x – 1) – 539 539 = 11 (72x – 1) 49 = 72x – 1 72 = 72x – 1 2 = 2x – 1 3 = 2x = x x  { } Réponse :

  13. Exemple #2 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6x+1) – 108 . 0 = (6x+1) – 108 108 = (6x+1) 216 = 6x+1 63 = 6x+1 3 = x + 1 2 = x x  { 2 } Réponse :

  14. Exemple #3 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( )3x – 1 . 0 = 625 ( )3x – 1 = ( )3x = ( )3x ( )4 = ( )3x 4 = 3x = x x  { } Réponse :

  15. Exemple #4 : Résoudre ( )8x = 2-10x + 18 . ( )8x = 2-10x + 18 (2-2)8x = 2-10x +18 2-16x = 2-10x + 18 -16x = -10x + 18 -18 = 6x -3 = x x  { -3 } Réponse :

  16. Recherche de l’équation Mathématiques SN- La fonction EXPONENTIELLE - A) À partir d’éléments du GRAPHIQUE Exemple : Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des informations suivantes : La courbe passe par les points A(1, -20) et B(3, -500) et l’équation de l’asymptote est y = 0.

  17. Exemple : Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des informations suivantes : La courbe passe par les points A(1, - 20) et B(3, - 500) et l’équation de l’asymptote est y = 0. f(x) = acx + k (forme CANONIQUE où h = 0) - 20 = ac1 + 0 (avec le point A) (1) Système d’équation - 500 = ac3 + 0 (avec le point B) (2) (2) / (1) : 25 = c2 5 = c (3) - 20 = a(5)1 (3) dans (1) : - 4 = a f(x) = - 4 (5)x Réponse :

  18. Exemple : Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des informations suivantes : b) La courbe passe par les points A(1, 29) et B(4, 653) et l’équation de l’asymptote est y = 5. f(x) = acx + k (forme CANONIQUE où h = 0) 29 = ac1 + 5 (avec le point A) 24 = ac1 (1) Système d’équation 653 = ac4 + 5 648 = ac4 (avec le point B) (2) (2) / (1) : 27 = c3 3 = c (3) 24 = a(3)1 (3) dans (1) : 8 = a f(x) = 8 (3)x + 5 Réponse :

  19. Formule « utile » pour ce genre de problème… B) À partir d’un problème de « TAUX D’INTÉRÊTS»… Taux d’intérêt Temps C(t) = Co (1 + )kt Capital accumulé Capital initial Nombre de fois que C(t) est capitalisé

  20. Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options. a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement. b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois. Laquelle est la plus avantageuse ? C(t) : Ce qu’on cherche Co = 1000 $ i = 5% k = 1 fois par année (en a) 3 fois par année (en b) 12 fois par année (en c) Données a) Règle générale… Après 3 ans… C(3) = 1000 (1,05)3 C(t) = 1000 (1 + )1t C(3) ≈ 1157,63 1157,63 $ C(t) = 1000 (1,05)t Réponse :

  21. Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options. a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement. b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois. Laquelle est la plus avantageuse ? a) Règle générale… Après 3 ans… C(3) = 1000 (1,05)3 C(t) = 1000 (1 + )1t C(3) ≈ 1157,63 1157,63 $ C(t) = 1000 (1,05)t Réponse : b) Règle générale… Après 3 ans… C(3) = 1000 (1,01667)3(3) C(t) = 1000 (1 + )3t C(3) ≈ 1160,40 1160,40 $ C(t) = 1000 (1,01667)3t Réponse : c) Règle générale… Après 3 ans… C(3) = 1000 (1,0041667)12(3) C(t) = 1000 (1 + )12t C(3) ≈ 1161,47 C(t) = 1000 (1,0041667)12t 1161,47 $ Réponse :

  22. C) À partir d’un problème de « BACTÉRIES»… Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de 128 000 ? N(t) = 500 (2)t/5 128 000 = 500 (2)t/5 256 = (2)t/5 28 = 2t/5 8 = 40 = t Après 40 heures. Réponse :

  23. Base naturelle « e » Mathématiques SN- La fonction EXPONENTIELLE- Il existe un nombre irrationnel (comme ) qui se nomme « constante de Néper » et qui est symbolisée par la lettre « e » dont la valeur est environ : e ≈ 2,7182818… C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de nombreuses modélisations de phénomènes naturels. Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que : e1≈ 2,7182818… e2≈7,39 e3≈20,0855 etc.

  24. Graphique de la fonction f(x) = ex 1 1 f(x) = ex (forme générale de BASE où c  1) 0 1 1 ~ 2,72 2 ~ 7,39 ~ 20,09 3 -1 ~ 0,37 -2 ~ 0,14

  25. Résolutions d’inéquations 10 3 Mathématiques SN- La fonction EXPONENTIELLE - Exemple : Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3-0,08x) < 52 . -26 + 234 (3-0,08x) < 52 234 (3-0,08x) < 78 3-0,08x< y = 52 3-0,08x< 3-1 -0,08x < -1 x  12,5 y = - 26 (asymptote) x  ] 12,5 , + ∞ Réponse :

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