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AULA COMPUTACIONAL Otimização Paramétrica (Cap. 5)

AULA COMPUTACIONAL Otimização Paramétrica (Cap. 5). 15 DE SETEMBRO DE 2008. 5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA. 5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições

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AULA COMPUTACIONAL Otimização Paramétrica (Cap. 5)

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  1. AULA COMPUTACIONAL • Otimização Paramétrica (Cap. 5) 15 DE SETEMBRO DE 2008

  2. 5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis

  3. 5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS São métodos de busca por tentativas. Os métodos podem ser: - Diretos:utilizam apenas o valor da Função Objetivo. - Indiretos:utilizam também o valor da(s) derivada(s) da Função Objetivo (menor números de tentativas mas o esforço computacional é maior). Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades: - Eficiência:resolver o mesmo problema com menor esforço. - Robustez:resolver uma variedade maior de problemas.

  4. 5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.1 Problemas Univariáveis Método da Seção Áurea Utiliza dois pontos posicionados de forma a manter: (a) simetria em relação aos limites do intervalo (b) fração eliminada constante

  5. Método da Seção Áurea e 1- e 1 Base:Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos) Propriedade: removendo um quadrado de lado igual ao lado menor, resulta um outro retângulo com as mesmas proporções do retângulo original  Razão Áurea

  6. Algoritmo da Seção Áurea ÁUREA Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Convergiu Delta  Tolerância

  7. Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto F Eliminação de Região Eliminação de Região s Problema de Máximo Problema de Mínimo F i L x x L L x x L i s i s i s i s Atualiza  Tolerância ? Novo Ponto Atualiza  Tolerância ? Novo Ponto F F i i F F s s L x x L L x x L i s i s i s s i D 0,618 D 0,618 F s F i L x x L i s i s Inicialização D = L - L s i D x = L + 0,618 i i D x = L - 0,618 s s

  8. 5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.1 Problemas univariáveis W kg B/h Q = 10.000 kgA/h x kgB/kgA rafinado xo= 0,02 kg AB/kg A y kg AB/kg B extrato Exemplo:dimensionamento do extrator Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 (k = 4) Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C= 2, M = 0 G= 1(otimização) Avaliação Econômica: L = R - C R = pAB W y C = pB W pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

  9. x y W 1 * * * 2 * * x y W 1x x o 2x o Seqüência de Cálculo 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y  Restrições de Igualdade !!!

  10. Incorporando a L às Restrições de Igualdade ordenadas : 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y L = a - b x - c/x p p Qx B B o = + = = = = = a Q ( p x ) 105 b p Q 4000 c 0 , 5 AB o AB k k Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W

  11. dL c c o = - + = || = = b 0 x 0 , 01118 2 dx b x Máximo! L = a - b x - c/x 60 Busca do ponto estacionário: 50 Solução completa do problema: R 40 yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h C L,R,C 30 $/a 20 o L = 15,6 L 10 o x =0, 01118 0 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 x kgAB/kg A

  12. 5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.2 Problemas Multivariáveis Alguns métodos diretos: - Busca Aleatória - Busca por Malhas - Busca Secionada - Simplex (Poliedros Flexíveis) - Hooke & Jeeves Procedimento Geral: (a) seleção de um ponto inicial (base). (b)exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca. (c)progressão na direção de busca até decisão em contrário. (d)finalização Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão.

  13. Método de Hooke & Jeeves ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então:Progredir(na direção provável) até haver um Insucesso Senão (proximidade do ótimo): SeChegou ao Ótimo Então:Finalizar Senão: reduzir os incrementos

  14. Exploração + 2 - 1 + 1 - 2 ? ? ? ? Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + ie-i) de cada direção (xi) ao redor da Base. Do resultado, depreender a direção provável do ótimo Base A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas.

  15. Exploração 0,5 + 2 0,4 - 1 0,3 y 0,2 - 2 0,1 S I S 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro. S: SucessoI: Insucesso Sucesso Base desnecessário buscando máximo

  16. Exploração + 2 - 1 - 2 S I S O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor posição. Base

  17. Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão x2 + 2 2 +2 1 10 + 2 2 Base 18 +2 1 + 2 +1 15 x1 22 Insucesso!Permanecer na Base (25) Progredir com duplo incrementoaté ocorrer um Insucesso Sucesso! Mover a Base.Continuar a Progressão 25 Exploração a partir da Base (25) com 1 e2 . Resultado da Exploração

  18. SeChegou ao Ótimo Então:Finalizar Senão: reduzir os incrementos A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo? Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade. Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos

  19. x2 5 - 1 + 1 + 2 + 2 - 1 +1 7 10 8 Base SeChegou ao Ótimo - 2 - 2 Então:Finalizar Senão: reduzir os incrementos 9 x1 1 > 1 e2 > 2 : ainda não chegou ao ótimo : 1 =1 /2 , 2 = 2 /2

  20. SeChegou ao Ótimo Então:Finalizar x2 - 2 + 1 5 + 2 + 2 - 1 +1 7 10 8 Base - 2 - 2 9 x1 1 < 1 e2 < 2 : a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo

  21. W kgB/h W kgB/h 1 2 Q = 10.000 kgA/h x kgAB/kgA x kgAB/kgA 1 2 1 2 x = 0,02 kgAB/kgA o y kgAB/kgB y kgAB/kgB 1 2 Exemplo:dimensionamento de 2 extratores em série Modelo Matemático 1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)

  22. W1 x1 y1W2 x2 y2 1 * * *2 * * 3 * * * *4 * * W1x1 y1W2x2 y21 o x x2 x o 3 x o x x4 x o Exemplo:dimensionamento de 2 extratores em série Modelo Matemático 1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Modelo Matemático 2. y1 = k x1 4. y2 = k x2 3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2 1. W1 = Q (xo - x1)/ y1

  23. Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357 x2o= (d/b) x12 = 0,00921 2. y1 = k x1 4. y2 = k x2 3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2 1. W1 = Q (xo - x1)/ y1 L = R – CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2) L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2 a = pABQ xo + 2 pBQ / k = 130; b = pBQ xo/ k = 0,5; c = pABQ = 4000; d = pBQ / k = 25 Buscando o ponto estacionário: L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0 L/x2 = - c + dx1/x22 = 0 Solução completa: y1o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/h y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2o = 1.184 kgB/h Co = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h

  24. x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357 x2o= (d/b) x12 = 0,00921 Analisando o ponto estacionário: L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0 L/x2 = - c + dx1/x22 = 0 det(H - I) = 0  1 = -0,258106 e 2 = -1,011106 Máximo!

  25. W1 = 1.184 kgB/h W2 = 1.184 kgB/h x1 = 0,01357kgAB/kgA x2 = 0,00921kgAB/kgA Q = 10.000 kgA/h 1 2 xo = 0,02 kgAB/kgA y1 = 0,05428 kgAB/kgA y2 = 0,03824 kgAB/kgA Estágio 1 2 TotalSoluto Recup. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Consum. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48

  26. 0,020 0,018 0 4,0 2,0 8,0 0,016 6,0 10 0,014 16 14 0,012 X 19,5 18 0,00921 0,010 2 0,008 0,006 12 0,004 0,01357 0,002 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 X 1

  27. Seguem-se todos os resultados possíveis da Exploração em 2 dimensões

  28. x2 - 1 10 Base - 2 x1 Direção x1 Unimodalidade: dispensa + 1 Direção x2 Unimodalidade: dispensa + 2 Sucesso: deslocar a Base 15 18 Sucesso: deslocar a Base Direção provável do ótimo

  29. x2 + 2 - 1 10 Base - 2 x1 Direção provável do ótimo Direção x1 Unimodalidade: dispensa + 1 18 Sucesso: deslocar a Base Direção x2 Sucesso: deslocar a Base 15 12 Insucesso: permanece na Base

  30. x2 + 2 - 1 10 Base - 2 x1 Direção x1 Unimodalidade: dispensa + 1 Direção x2 13 Insucesso: permanecer na Base Direção provável do ótimo Sucesso: deslocar a Base 15 12 Insucesso: permanecer na Base

  31. x2 - 1 +1 10 Base - 2 x1 Direção x1 Direção x2 Unimodalidade: dispensa + 2 Sucesso: deslocar a Base 15 7 Insucesso: permanecer na Base Sucesso: deslocar a Base 18 Direção provável do ótimo

  32. Direção provável do ótimo x2 + 2 - 1 +1 10 Base - 2 x1 Direção x1 Sucesso: deslocar a Base 18 Direção x2 Sucesso: deslocar a Base 15 7 Insucesso: permanecer na Base 12 Insucesso: permanecer na Base

  33. x2 + 2 - 1 +1 10 Base - 2 x1 Direção x1 Insucesso: permanecer na Base 11 Direção x2 Sucesso: deslocar a Base 15 7 Insucesso: permanecer na Base Direção provável do ótimo Insucesso: permanecer na Base 12

  34. x2 Base - 1 +1 10 - 2 x1 Direção x1 Direção x2 Unimodalidade: dispensa + 2 Insucesso: permanecer na Base 7 8 Insucesso: permanecer na Base Sucesso: deslocar a Base 15 Direção provável do ótimo

  35. Direção provável do ótimo x2 + 2 - 1 +1 - 2 x1 Direção x1 Sucesso: deslocar a Base 15 Direção x2 Insucesso: permanecer na Base Insucesso: permanecer na Base 7 10 8 Base Insucesso: permanecer na Base 9

  36. x2 + 2 - 1 +1 - 2 x1 Direção x1 Insucesso: permanecer na Base 5 Direção x2 Insucesso: permanecer na Base Insucesso: permanecer na Base 7 10 8 Base Insucesso: permanecer na Base 9 A Base deve estar próxima do ótimo !

  37. Método de Hooke & Jeeves Se houve Sucesso em alguma direção Então:Progredir(na direção provável) até haver um Insucesso ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Senão: (proximidade do ótimo) Se Chegou ao Ótimo Então:Finalizar Senão: reduzir os incrementos

  38. Funções Unimodais O método converge sempre para o único extremo independentemente da base inicial. Os incrementos iniciais afetam apenas o número de tentativas.

  39. Funções Multimodais O método pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e dos incrementos iniciais selecionados. (a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcançar extremos locais diferentes com os mesmos incrementos iniciais. (b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcançar extremos locais diferentes com incrementos iniciais diferentes f (x) = (x12 + x2 – 11)2 + (x22 + x1 – 7)2

  40. Método dos poliedros flexíveis É um método de busca multivariável (J.A. Nelder e R. Mead, 1964, também chamado de Simplex), onde o pior vértice de um poliedro com n + 1 vértices é substituído por um novo vértice colinear com o vértice antigo e o centróide. Centróide: onde xh,j é o pior vértice.

  41. Expansão Reflexão onde é o melhor vértice. Contração Redução Método dos poliedros flexíveis O algoritmo envolve quatro operações de busca, que para o caso da minimização da função objetivo têm as seguintes formas:

  42. Método dos poliedros flexíveis O critério usado por Nelder e Mead para terminar a busca é o seguinte:

  43. DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação. • Mas exige um procedimento de otimização: • função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas • variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos

  44. Exemplo: Extrator W = ??? kgB/h W = 3.750 kgB/h Q* = 10.000 kgA/h Q* = 10.000 kgA/h TsoC TsoC xo*= 0,02kg AB/kg A xo*= 0,02kg AB/kg A Q* = 10.000 kgA/h Q* = 10.000 kgA/h solvente solvente x = ??? kgAB/kg A x* = 0,008 kgAB/kg A TooC TooC T oC T oC T oC T oC alimentação alimentação rafinado rafinado T oC T oC W = kgB/h W = 3.750 kgB/h extrato extrato y = kg AB/kg B y = 0,032kg AB/kg Br = 0,60 Normal Simulações Sucessivas FO = |x – 0,008|

  45. Exemplo: Extrator W = ??? kgB/h Q* = 10.000 kgA/h TsoC xo*= 0,02kg AB/kg A Q* = 10.000 kgA/h solvente x = ??? kgAB/kg A TooC T oC T oC alimentação rafinado T oC W = kgB/h extrato Simulações Sucessivas y = kg AB/kg B FO = |x – 0,008| 1. Q(xo – x) – W y = 02. y – k x = 0 x = Q xo / (Q + k W ) Por Seção Áurea, 0 < W < 1.000  W = 3.750

  46. T4* = 30 oC T4* = ??? T 2* = 25 oC T 2* ??? A A = 265,6 m2 W1* = 30.000 kg/h W1* = 30.000 kg/h T1* = 80 oC T1* = 80 oC W3 W3 = 44.000 kg/h T3* = 15 oC T3* = 15 oC Exemplo: Trocador de Calor Normal Simulações Sucessivas T2 = T1 – Q/W1Cp1T4 = T3 + Q/W3Cp3 FO = (T2 – 25)2 + (T4 – 30)2 Por Hooke&Jeeves ... 0 < A < 1.0000 < W3 < 100.000

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