LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

1 CƠ SỞ LOGIC 2 QUAN HỆ HAI NGÔI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ BẢN 3 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 4 ĐẠI SỐ BOOLE 5 TOÁN RỜI RẠC 2 tiết 2 tiết 8 tiết 16 tiết 2 tiết

Chương 1 CƠ SỞ LOGIC

1.1 Mệnh đề 1.2 Nguyên lý qui nạp toán học 1.3 Công thức truy hồi Chương 1: CƠ SỞ LOGIC

1.2 Nguyên lí qui nạp toán học Giả sử cần chứng minh mệnh đề có dạng: “n  no, P(n)” đúng Ta thực hiện theo các bước sau: + B1: Chứng minh P(no) đúng + B2: Giả sử P(k), no k đúng. Ta chứng minh mệnh đề P(k+1) cũng đúng. Khi đó mệnh đề P(n) đúng với n  no

Ví dụ Dùng phương pháp qui nạp chứng minh: b) n3 + 11n chia hết cho 6, n  1

HD a) Với n = 1:  (1) đúng với n = 1 Giả sử: Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là cm:

Ta có: Vậy:

b) Đặt: P(n) = n3 + 11n Với n = 1: P(1) = 13 + 11.1= 12 chia hết cho 6 Giả sử: P(k) = (k3 + k) chia hết cho 6 Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là cm: chia hết cho 6

Ta có: chia hết cho 6 Vậy: (n3 + 11n) chia hết cho 6, n  1

1.3 CÔNG THỨC TRUY HỒI Bài toán 1: Lãi kép Giả sử một người gửi 10 000 USD vào tài khoản của mình tại một ngân hàng với lãi suất kép 11% mỗi năm. Sau 30 năm anh ta có bao nhiêu tiền trong tài khoản của mình? Giải Gọi sn là tổng số tiền có trong tài khoản sau n năm. Theo cách tính lãi suất kép thì số tiền trong tài khoản sau n năm bằng số tiền có sau (n – 1) năm cộng với lãi suất của năm thứ n, vậy:

sn = sn-1 + 0,11sn-1 = 1,11sn-1, n  1 & s0 = 10 000$ sn = 1,11sn-1 = 1,11.(1,11sn-2) = (1,11)2sn-2 = (1,11)2(1,11sn-3) = (1,11)3sn-3 = … = (1,11)ns0 s30 = (1,11)30s0 = (1,11)30.10 000 228 922,97 $

1. Định nghĩa Công thức truy hồi của dãy s0, s1, s2, … là công thức xác định sn qua một hay nhiều số hạng đi trước của dãy. Điều kiện ban đầu là các giá trị gán cho một số hữu hạn các phần tử đầu.

Ví dụ 1: a. Công thức truy hồi của n!: sn = n.sn-1, với n  1 & s(0) = 1 b. Dãy số Fibonacci được định nghĩa như sau: fn= fn-1 + fn-2 , với n  2 & f0 = f1 = 1 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …) c. Sn = 6sn-1 – 11sn-2 + 6sn-3 với s0 = 2, s1 = 5, s2 = 15

2. Giải công thức truy hồi Giải công thức truy hồi là tìm một công thức rõ ràng cho sn mà không phải tính thông qua các phần tử trước nó. a. Giải công thức truy hồi bằng phương pháp lặp: Giải CTTH bằng pp lặp là thay thế liên tiếp công thức truy hồi vào chính nó, mỗi lần thay bậc n giảm đi ít nhất một đơn vị, cho đến khi đạt giá trị ban đầu.

Bài toán 2: Tháp Hà Nội Có 3 cọc a, b, c. Trên cọc a có n đĩa xếp chồng lên nhau sao cho đĩa nhỏ trên đĩa lớn. Cần chuyển chồng đĩa từ cọc a sang cọc c tuân thủ quy tắc: Mỗi lần chỉ chuyển được một đĩa, luôn đảm bảo đĩa nhỏ trên đĩa lớn, có thể sử dụng cọc b làm trung gian.

Phương pháp di chuyển đĩa như sau: • Chuyển n – 1 đĩa từ cọc a sang cọc b sử dụng cọc c làm trung gian. • Chuyển đĩa lớn nhất từ cọc a sang cọc c. • Chuyển n – 1 đĩa từ cọc b sang cọc c sử dụng cọc a làm trung gian. Đếm số lần di chuyển của n đĩa trên? Công thức truy hồi tính số lần di chuyển đĩa: Sn = 2.sn-1 + 1, với n  2 & s1 = 1

Ta có: sn = 2.sn-1 + 1 = 2.(2.sn-2 + 1) + 1= 22.sn-2 + 2 + 1 = 22.(2sn-3 +1) + 2 + 1 = 23 sn-3 + 22 + 2 + 1 = ……….. = 2n-1.s1 + 2n-2 + 2n-3 + …+ 2 + 1 = 2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + …+ 2 + 1 Cấp số nhân = 2n - 1

Bài toán 3: Trên mặt phẳng kẻ n đường thẳng sao cho không có hai đường nào song song hay ba đường nào đồng quy. Hỏi mặt phẳng chia làm mấy phần?

Giải Gọi số phần mặt phẳng chia bởi n đường thẳng là s(n). Giả sử đã kẻ (n-1) đường thẳng. Bây giờ kẻ thêm đường thẳng thứ n thì số phần mặt phẳng mặt phẳng được thêm sẽ bằng số giao điểm cộng 1 (n – 1 + 1 = n) phần. Vậy ta có công thức truy hồi sau: s(n) = s(n – 1) + n với n  2 & s(1) = 2 Giải công thức truy hồi trên bằng phương pháp lặp, ta có: s(n) = 1 + n(n+1)/2

b. Giải công thức truy hồi bằng phương trình đặc trưng: Định nghĩa Một hệ thức truy hồituyến tính thuần nhất bậc k hệ số hằng là hệ thức truy hồi có dạng: sn = c1sn-1 + c2sn-2 + ... + cksn-k , (1) trong đó c1, c2, ..., ck là các số thực và ck 0. Điều kiện đầu là: s0 = C0, s1 = C1, …, sk-1 = Ck-1

Phương trình sau gọi là phương trình đặc trưng của công thức truy hồi (1): rk – c1rk-1 – c2rk-2 – … – ck = 0 Định lí Giả sử phương trình đặc trưng: rk c1rk-1  c2rk-2  ... ck = 0 có k nghiệm phân biệt r1, r2, ..., rk. Khi đó dãy {sn} là nghiệm của hệ thức truy hồi(1) nếu: sn = 1r1n + 2r2n + ... + krkn, với n = 0, 1, 2, ... trong đó 1, 2, ..., k là các hằng số. (Có thể xác định các αidựa vào điều kiện ban đầu)

Ví dụ 2: Giải công thức truy hồi: fn= fn-1 + fn-2 , với n  2 & f0 = f1 = 1 (dãy Fibonaci) Phương trình đặc trưng: r2 – r – 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt: Vậy (*)

Từ các giá trị ban đầu f0 = f1 = 1 thay vào (*) ta có: Và:

Ví dụ 3: Giải công thức truy hồi: Sn = 6sn-1 – 11sn-2 + 6sn-3 với s0 = 2, s1 = 5, s2 = 15

Định lý 2: Giả sử phương trình đặc trưng: r2 – c1r – c2 = 0 có nghiệm kép ro Khi đó dãy {sn} là nghiệm của hệ thức truy hồisn = c1sn-1 + c2sn-2 nếu: sn = a.ron + b.nron Ví dụ 4: Giải công thức truy hồi: sn = 6sn-1 – 9sn-2, s0 = 1 & s1 = 6

BÀI TẬP 1. Giải các công thức truy hồi sau: 1. sn = 2.n.sn-1 với n  1, s0 = 1 2. sn = sn-1 + n với n  1, s0 = 0 3. sn = sn-1 + 1 + 2n-1 với n  1, s0 = 0 4. sn = 5sn-1 – 6sn-2, s0 = 1, s1 = 0 5. sn = sn-1 + 6sn-2, s0 = 3, s1 = 6

2. Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính các xâu nhị phân có độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp. Có bao nhiêu xâu như thế có độ dài 5.

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN !!

- Giới thiệu “Lãi kép”: Ví dụ về cho vay nặng lãi: giả sử cho vay 1triệu đồng với lãi 20%/1thang, sau 1 tháng phải trả bao nhiêu, nếu sau 2 tháng thì phải trả bao nhiêu, 3 tháng, …, 1 năm • Kể truyền thuyết về Tháp Hà Nội, xem thử khi nào tới ngày tận thế • Nhận biết công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc k hệ số hằng: Nêu những công thức truy hồi đã học: CTTH bài lãi kép, trong vd1, bài Tháp Hà Nội, Bài n đường thẳng, cong thức nào có dạng TTTN bậc k, hệ số hằng, xác định bậc k và hệ số

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ