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Encriptación de la Información

Encriptación de la Información. José Miguel Horcas Aguilera Blanca Bautista Perez Javier Fernández González. ÍNDICE. DEFINICION Y CARÁCTERÍSTICAS DE ENCRIPTACIÓN HISTORIA - SUSTITUCIÓN - TRANSPOSICIÓN - ALGORITMOS SIMÉTRICOS Y ASIMÉTRICOS RSA EN HASKELL

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  1. Encriptación de la Información José Miguel Horcas Aguilera Blanca Bautista Perez Javier Fernández González

  2. ÍNDICE • DEFINICION Y CARÁCTERÍSTICAS DE ENCRIPTACIÓN • HISTORIA • - SUSTITUCIÓN • - TRANSPOSICIÓN • - ALGORITMOS SIMÉTRICOS Y ASIMÉTRICOS • RSA EN HASKELL • TÉCNICAS MATEMÁTICAS APLICADAS A LA CRIPTOGRAFÍA • EL FUTURO DE LA CRIPTOGRAFÍA • REFERENCIAS

  3. Criptografía. Definición Es el arte o ciencia de cifrar y descifrar información mediante técnicas especiales. ¿Para qué se usa? - Permitir un intercambio de mensajes de forma confidencial por un medio inseguro. Pág 3/59

  4. ¿Cómo funciona el cifrado? Ek : Función para Encriptar (Cifrar) Dk :Función para Desencriptar (Descifrar) Pág 4/59

  5. Historia(I) Se distinguen varias épocas: Criptografía clásica: - Época de los romanos y griegos en campañas militares. - Algoritmo de sustitución simple y transposición. - Destaca el Cifrado de César Criptografía Medieval: -Ruptura de los cifrados de sustitución. -Aparición de los cifrados de sustitución múltiple. (Leon Battista Alberti) Pág 5/59

  6. Historia(II) Segunda Guerra mundial: Máquinas electromecánicas. “Enigma”. Claude Shannon: En 1949 publicó “La teoría de la información” -Establece toda la base teórica de la criptografía y criptoanálisis. Pág 6/59

  7. Tipos de Cifrado Una vez que el emisor y receptor acuerdan que algoritmo de cifrado usar, se distinguen dos tipos de cifrado: Cifrado simétrico: Si la clave de cifrado y descifrado es la misma. Cifrado asimétrico: Se hace uso de dos claves distintas: Pública: Generalmente para cifrar. Privada: Generalmente para descifrar. Pág 7/59

  8. Métodos de encriptación de la Información Pág 8/59 Cifrado César Código por sustitución de letras Código por transposición Criptografía de clave secreta.DES Criptografía de clave pública. RSA

  9. Cifrado César(I) Funcionamiento: - Reemplaza cada letra del alfabeto por otra más adelante en el alfabeto. Siempre a la misma distancia. - La clave especifica la distancia. Ejemplo: Clave de sustitución: 3 Para cifrar y descifrar: Donde n es la clave, x la letra a cifrar y 27 el número de letras del alfabeto. Pág 9/59

  10. Cifrado César. Código (II) Pág 10/59

  11. Código por Sustitución de Letras(I) Funcionamiento: - Reemplaza cada letra del alfabeto por otra. - La clave especifica el tipo de sustitución. Ejemplo: Clave de sustitución: Cifrar: . EJEMPLO . HOLA OSOQJRW LWRI Pág 11/59

  12. Código por Sustitución de Letras(II) Problema. Puede romperse fácilmente para textos planos usando la frecuencia relativa de las letras. (Ejemplo: la ‘a’ es la letra más usada en español). Mejora. Cambiar la sustitución de cada letra de acuerdo con un patrón periódico (sustitución múltiple). Pág 12/59

  13. Código por Sustitución de Letras(III) Ejemplo. Sustitución múltiple. Seleccionamos un periodo L. Por ejemplo L=2; La clave de sustitución sería: 0: 1: Posición: T. Cifrado: T. Plano: Pág 13/59

  14. Código por Transposición Para aplicarlo, se considera el texto en filas de L (10 por ejemplo) letras cada una, y se envía el texto columna a columna: - El código se puede romper probando varias longitudes de fila distintas. - Combinando sustitución con transposición se puede alcanzar una seguridad fiable con algoritmos de bajo coste computacional. Pág 14/59

  15. DES (Data Encription Standard) (I) Historia En 1977, el gobierno de EEUU lo adoptó como método de encriptación para información no clasificada. Fue desarrollado por IBM, y usa una combinación de sustituciones y transposiciones. Existen chips VLSI encargados que realizan este tipo de cifrado. Características Es un cifrado simétrico, caracterizado por: . Forma de cifrar y descifrar conocidas . La clave es secreta (desconocida) Chip VLSI Pág 15/59

  16. DES (Data Encription Standard) (II) ¿Cómo funciona? - Dividimos el texto plano en bloques de 64 bits. - La clave secreta es de 64 bits: - 56 bits útiles para el algoritmo - 8 bits de paridad - Se divide en 16 fases idénticas denominadas rondas. - PI y PF son funciones de transposición inversas entre sí: Facilita carga y descarga de los bloques sobre el HW. • La función F mezcla la mitad del bloque con parte de la clave (subclave). A la salida se combina con la otra mitad del bloque y se intercambian. -Para descifrar las subclaves se introducen en orden inverso. Pág 16/59

  17. DES (Data Encription Standard) (III) Problema La seguridad de cualquier cifrado simétrico reside en mantener secreto de la clave. Consecuencia La clave k debe distribuirse de forma segura. ¿Cómo? - Usando una clave maestra,acordada al reunirse físicamente. Sirve para transmitirse la clave k. La clave maestra se usa muy rara vez. Pág 17/59

  18. Criptografía de Clave Pública (Algoritmos asimétricos) A diferencia de los algoritmos simétricos, ahora vamos a disponer de 2 tipos de claves (por cada usuario) : - Clave pública - Clave privada La clave pública la conoce todo el mundo y la privada es secreta y va ligado a un usuario. Es imposible (ó muy difícil) deducir la clave secreta a partir de clave pública. Pág 18/59

  19. Criptografía de Clave Pública Confidencialidad : Usuario A Usuario B E (M) D (E (M) ) = M KPB KSB KPB Firma digital (autenticación): Usuario A Usuario cualquiera E (M) D (E (M) ) = M KSA KPA KSA Pág 19/59

  20. Comparativa entre Simétrica y Asimétrica ¿ Qué es lo deseado ? Combinar la velocidad con la seguridad  Criptosistemas híbridos Pág 20/59

  21. Criptografía de Clave Pública RSA El algoritmo más conocido es el RSA Fue desarrollado en 1977. (Rivest, Shamir, Adleman) Actualmente es el primer sistema criptográfico y el mas utilizado. Podemos cifrar y firmar digitalmente. Pág 21/59

  22. Algoritmo RSA • Este algoritmo se basa en principios de la teoría de números. • Generación de claves • Seleccionar dos números primos grandes, p y q, (típicamente mayores que 10100). • 2. Calcular: • n = p x q • z = (p-1) x (q-1) (φ de Euler) Pág 22/59

  23. Generación de la Clave Publica 3. Seleccionar un número e: - Coprimo con z - Menor que z Exponente de la clave publica Pág 23/59

  24. Pág 24/59

  25. Generación de la Clave Privada 3. Seleccionar un número d: - e*d = 1 mod z - de-1 divide a φ(n) Exponente de la clave privada Pág 25/59

  26. Pág 26/59

  27. Pág 27/59

  28. Criptografía de Clave Pública RSA Funcionamiento : a. Considerar el texto plano como una cadena de bits. Dividirlo en bloques de valor P tales que 0 ≤ P < n. Para ello agrupar en trozos de k bits, donde 2k < n b. Cifrar el mensaje haciendo C = Pe mod n c. Enviar C por el canal d. Descifrar el mensaje haciendo P = Cd mod n Pág 28/59

  29. RSA en Haskell Pág 29/59

  30. Codificar Pág 30/59

  31. Descodificar Pág 31/59

  32. Pág 32/59

  33. Criptografía de Clave Pública RSA Ejemplo del RSA : P = 61 Q = 53 N = P * Q = 3233 E = 17 D = 2753 Para cifrar M : C = E (M) = Me mod n = m17 mod 3233 Para descifrar C : M = D (C) = Cd mod n = c2753 mod 3233 Pág 33/59

  34. Teoría de Números Problemas de RSA • Primalidad Determinar números primos grandes de forma aleatoria. • Factorización Encontrar la factorización de un número n como producto de factores primos. • Cálculo con números grandes Eficiencia en las operaciones matemáticas cuando se trabaja con números grandes. NP-Completo NP-Completo Polinomial Pág 34/59

  35. Teoría de Números Primalidad • Test de primalidad Criterio para decidir si un número dado es o no primo. • Test de la divisiones sucesivas. • Test de pseudoprimalidad Criterio para decidir, con un alto grado de probabilidad, si un número dado es o no primo. • Test basado en el Teorema pequeño de Fermat. • Test de Solovay-Strassen • Test de Miller-Rabin Pág 35/59

  36. Teoría de Números Test de las divisiones sucesivas Dado un número impar, consiste en tomar todos los números impares en el intervalo [3 .. raíz(n)] y comprobar si alguno es divisor de n. Ineficiente Pág 36/59

  37. Teoría de Números Obteniendo números primos grandes • Usar tablas publicadas Rápido. Números pequeños para objetivos criptográficos. • Generación y test Generar números aleatorios impares de tamaño grande y aplicarles un test de pseudoprimalidad. Teorema de Tchebycheff La cantidad de números primos menores o iguales que N es Pág 37/59

  38. Obteniendo números primos grandes Generación de números aleatorios de N dígitos Teoría de Números Pág 38/59

  39. Obteniendo números primos grandes Generación de primos aleatorios de N dígitos Teoría de Números Pág 39/59

  40. Test de pseudoprimalidad Test de Fermat Si n es primo, entonces para cualquier b con mcd(b,n) = 1, se tiene que: Números de Carmichael -> son compuestos y verifican la igualdad. Teoría de Números Probabilidad de que un número no sea primo y pase el test: 2-k Pág 40/59

  41. Test de pseudoprimalidad Test de Solovay-Strassen El método consiste en elegir K naturales 0 < b < n aleatoriamente. Para cada uno de estos números b se calcula: y Si estos valores no son congruentes módulo n; entonces el número es compuesto. Teoría de Números O (k (log n)^3) Probabilidad de que un número no sea primo y pase el test: 2-k Pág 41/59

  42. Test de pseudoprimalidad Test de Miller-Rabin n > 2 impar. m: impar n-1 = 2k * m ó a: aleatorio [2, n-2] para algún r: [1, k-1] Teoría de Números O (k (log n)^3) http://www.haskell.org/haskellwiki/Prime_numbers Pág 42/59

  43. Últimos avances Algoritmo AKS (2002) Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena Departamento de Computación del Instituto de Investigaciones de Kanpur (India) Basado en una versión simplificada del Pequeño Teorema de Fermat: Primer algoritmo determinístico matemáticamente demostrado, de tiempo polinómico. Las constantes de la complejidad son muchas más costosas que en los actuales algoritmos probabilísticos. Teoría de Números O(K(log n)^12+e) Pág 43/59

  44. Factorización Uno de los ataques contra el algoritmo RSA consiste en descomponer en factores primos el número n de la clave pública. Test de las divisiones sucesivas Método del algoritmo de Euclides Método de Fermat Método de Legendre Método rho de Pollard (Monte Carlo) Teoría de Números Pág 44/59

  45. Factorización: Test de las divisiones sucesivas Test de las divisiones sucesivas Mismo procedimiento que para comprobar la primalidad. Teoría de Números Ineficiente Pág 45/59

  46. Factorización: Método del algoritmo de Euclides Método del algoritmo de Euclides Dado un número compuesto n entre dos valores f y g, el método consiste en multiplicar todos los números primos comprendidos entre f y g, y a continuación aplicar el algoritmo de Euclides al número n y al producto resultante. Si n es grande también se requiere mucho tiempo de computación. Teoría de Números Pág 46/59

  47. Factorización: Método de Fermat Método de Fermat Teoría de Números ¿El número 100895598169 es primo? Es el producto de 898423 por 11230, ambos primos. Mersenne Fermat Pág 47/59

  48. Factorización: Método de Fermat Método de Fermat El método consiste en encontrar un cuadrado. 1. Dado n, escoger un x > raiz(n). 2. Calcular x2 – n. Si es un cuadrado hemos terminado, sino: 3. Calcular (x+1)2 – n. Si es un cuadrado hemos terminado, sino: … Idea de Fermat si n = x2 * y2, entonces n puede factorizarse: n = (x+y)*(x-y) Como x2 > n se tiene que x > raiz(n) Teoría de Números Pág 48/59

  49. Factorización: Método de Legendre Método de Legendre Número de soluciones de la congruencia: Números primos -> Soluciones triviales -> Números compuestos -> Admite más soluciones. El método intenta determinar soluciones no triviales a la congruencia. Como si (x+y) es una solución no trivial, un factor de n se calcula hallando el mcd(x+y,n). Teoría de Números Pág 49/59

  50. Factorización: Método rho de Pollard Método rho de Pollard (Método de Monte Carlo) Se basa en el algoritmo de la liebre y la tortuga y en: x e y son congruentes módulo p con probabilidad 0.5 tras elegir 1.177*raiz(p) números. Si p es factor de n, entonces 1 < mcd(|x-y|, n) <= n, ya que p divide tanto a |x-y| como a n. mcd(|x-y|, n) Secuencia x Secuencia y Teoría de Números Si mcd(|x-y|, n) = n -> Fracaso Pág 50/59

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