1 / 20

Materi Pokok 24 LIMIT SEBARAN (LIMITING DISTRIBUTIONS) - 1 Konvergen Dalam Fungsi Sebaran

Materi Pokok 24 LIMIT SEBARAN (LIMITING DISTRIBUTIONS) - 1 Konvergen Dalam Fungsi Sebaran Definisi :

dong
Download Presentation

Materi Pokok 24 LIMIT SEBARAN (LIMITING DISTRIBUTIONS) - 1 Konvergen Dalam Fungsi Sebaran

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Materi Pokok 24 LIMIT SEBARAN (LIMITING DISTRIBUTIONS) - 1 Konvergen Dalam Fungsi Sebaran Definisi : Misalkan Fn(y) merupakan fungsi sebaran dari peubah acak Yn yang tergantung pada ukuran contoh = n. Jika F(y) adalah fungsi sebaran bagi Y dan jika untuk setiap y dan F(y) kontinu maka peubah acak Yn disebut mempunyai sebaran limit terhadap fungsi sebaran F(y); sekuens Y1, Y2,..., Yn adalah konvergen dalam fungsi sebaran F(y).

  2. Aplikasi Limit Sebaran Contoh 1. Misalkan X1, X2,..., Xn merupakan contoh acak berukuran n dan Yn merupakan urutan ke n dalam contoh, fungsi kepekatan peluang dari X1, X2,..., Xn adalah Fungsi kepekatan peluang dari Yn adalah

  3. Fungsi sebaran dari Yn adalah Suatu sebaran diskrit yang peluangnya sama dengan satu pada satu titik disebut degenerate distribution dan Yn konvergen dalam f. Sebaran pada titik y = 

  4. Contoh 2 : Misalkan mempunyai fungsi sebaran

  5. Contoh 3 Jika sekuens konvergen dalam sebaran untuk peubah acak X umumnya tidak dapat menentukan sebaran X dengan menentukan limit fungsi kepekatan peluang dari Xn. Bila fungsi kepekatan peluang maka untuk semua nilai x sehingga Xn, n = 1, 2, 3,.... tidak konvergen dalam fungsi sebaran. Fungsi sebaran dari Xn adalah

  6. untuk semua titik kontinu dari F(x), sekuens X1, X2, X3,… konvergen dalam sebaran untuk contoh acak dalam fungsi sebaran F(x) Contoh 4 : Misalkan Yn melambangkan statistik urutan ke n contoh acak dari sebaran seragam (uniform)dengan fungsi kepekatan

  7. Ambil Zn = n (-Yn) maka fungsi kepekatan peluang dari Zn adalah

  8. Contoh 5 : Peubah acak Tnmempunyai sebaran t dengan nderajat bebas, n =1, 2, 3,… Fungsi sebarannya:

  9. Materi pokok 25 • LIMIT SEBARAN (LIMIT DISTRIBUTION) - 2 • Konvergensi dalam Peluang Definisi: Suatu sekuens peubah acak X1, X2, X3, ….. Konvergen dalam peluang terhadap peubah acah X, jika untuk setiap  > 0,

  10. Contoh 1 Misalkan melambangkan nilai tengah contoh acak berukuran n dari sebaran yang mempunyai nilai tengah  dan ragam 2maka nilai tengah dan ragam dari adalah berturut-turut  dan 2/n. Perhatikan untuk  > 0: Berdasarkan ketaksamaan chebyshev peluang tersebut kurang atau sama dengan 1/k2 = 2/ne2 sehingga

  11. Akibatnya konvergen dalam peluang terhadap  jika 2 tertentu (finite). Jika  finite maka konvergen dalam peluang dan hasil ini disebut WLLN (The Weak Law of Large Numbers). Suatu sifat konvergensi yang lebih kuat diberikan oleh dan dalam hal ini disebut Yn , n = 1, 2, 3, …. konvergen ke c dengan peluang 1. Jadi bila sebagai nilai tengah contoh acak yang konvergen dengan peluang 1 terhadap nilai tengah sebaran =  maka bentuk ini merupakan bentuk SLLN (The Strong Law of Large Numbers).

  12. Teorema I • Bila Fn (y) melambangkan fungsi sebaran peubah acak Yn yang sebarannya tergantung pada bilangan bulat positif n dan c merupakan konstanta yang tidak tergantung pada n. • Sekuens Yn , n = 1, 2, 3,…. konvergen dalam peluang terhadap c jika dan hanya jika limit sebaran degenerate pada y = c. • Limit Fungsi pembangkit Momen Untuk menentukan Limit fungsi sebaran suatu peubah acak Yn perlu mengetahui fungsi kepekatan peluang f(y) atau fungsi sebaran Fn(y) untuk setiap n bulat positif, tetapi jika ada fungsi pembangkit momen Yn = M (t; n) dapat digunakan untuk menentukan limit fungsi sebaran.

  13. Teorema 2 Misalkan peubah acak Yn mempunyai fungsi sebaran Fn(y) dan fungsi pembangkit momen M(t; n) ada pada selang –h < t < h untuk semua n. Jika ada fungsi sebaran F(y), dengan fungsi pembangkit momen M(t) yang ada pada |t|  h1 < h sedemikian sehingga maka Yn mempunyai limit fungsi sebaran dengan fungsi sebaran F(y).

  14. Contoh 2 Misalkan Yn mempunyai sebaran binomial b(n,p),  = np adalah sama untuk setiap n sehingga dimana  adalah konstanta. Tentukan Untuk semua nilai t yang nyata akibatnya:

  15. Karena ada sebaran yang mempunyai fungsi pembangkit momen seperti itu yakni sebaran Poisson maka limit dari Yn adalah sebaran Poisson. Hasil dari contoh di atas menunjukkan bahwa dapat digunakan sebaran Poisson untuk memperkirakan sebaran binomial bila n besar dan p kecil misalnya untuk n = 50, dan p = maka dan dengan pendekatan Poisson  = np = 2 maka P (Y  1) = e-2 + 2e-2 = 0, 406

  16. Contoh 3 Misalkan Zn ~ X12 maka fungsi pembangkit momen Zn = M (t; n) = (1 – 2t) –n/2, untuk ½. Nilai tengah dan ragam Zn berturut-turut n dan 2n. Cari limit sebaran . Fungsi pembangkit momen Yn adalah

  17. Menurut Taylor ada bilangan (n) antara 0 dan sehingga Maka

More Related