Bab 7 Limit Fungsi

1. Bab 7 Limit Fungsi 27 October 2014

2. PetaKonsep Limit Fungsi membahas Sifat-Sifat Limit Fungsi Aljabar Trigonometri Limit Konsep Turunan Terdiri atas x → a x → Substitusi Penyederhanaan Dengan Rumus Memerhatikan Koefisien Pangkat Tertinggi (untuk Bentuk Pecahan) Dengan Rumus Substitusi, asalkanhasil tidak 0 0 Pemfaktoran Perkalian Sekawan

3. 1. Sederhanakan bentuk . 2. Rasionalkan penyebut bentuk . 3. Diketahui fungsi f(x) = x2 – 4 dan a. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = –1; –0,5; –0,05; – 0,001; – 0,0001. b. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = 5; 1; 0,5; 0,05; 0,001; 0,0001. c. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil a, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)? d. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil b, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)? Prasyarat

4. A. Definisi Limit FungsiAljabar .Misalkan f(x) = 10x, dengan x bilangan bilangan real. Untuk x → 2, artinya nilai x ≠ 2, tetapi dapat diambil nilai-nilai di sekitar 2. Misalnya, 1,91; 1,95; 1,99; 2,01; 2,05; dan 2,09. Adapun nilainya dapat ditampilkan pada tabel berikut. Dari tabel di atas tampak bahwa untuk x → 2, nilai 10x →20.

5. Secara intuitif, limit fungsi dapat diartikan sebagai berikut. Misalkan f suatu fungsi dalam variabel x dan L adalah bilangan real. diartikan untuk x mendekati a (ingat: x ≠ a), nilai f(x) mendekati L.

6. Jika dan maka x → a- maksudnya x mendekati dari kiri (limit kiri) x → a+ maksudnya x mendekati dari kanan (limit kanan)

7. Contoh: Apakah limit fungsi berikut mempunyai nilai? Jawab: Misalkan x → 2- (nilai-nilai x < 2) Tampak bahwa untuk x → 2-, nilai f(x) makin mendekati 7. Artinya,

8. Misalkan x → 2+ (nilai-nilai x > 2) Tampak bahwa untuk x → 2+, nilai f(x) = 2x + 3 → 7. Jadi, Tampak bahwa untuk x → 2+, nilai f(x) makin mendekati 7. Artinya,

9. Karena maka

10. Perhatikan fungsi . Fungsi ini tidak mempunyai nilai di x = 1 (mengapa?). Apakah fungsi ini juga tidak memiliki limit di x mendekati 1? Misalkan dan g(x) = x + 1. Fungsi tidak terdefinisi di x = 1. Dengan demikian, kita tidak memperhatikan nilai x = 1. Sekarang, bandingkan nilai limit fungsi g(x) = x + 1 pada x = 1. B. MenentukanNilai Limit FungsiAljabar

11. Keduanya dapat kalian perhatikan pada grafik-grafik berikut.

12. 1. Menentukan Nilai Limit Fungsi untuk x → a Dapat ditentukan dengan substitusi, pemfaktoran, dan mengalikan faktor sekawannya. a. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Substitusi Misalkan fungsi f terdefinisi di setiap nilai x bilangan real, nilai limit fungsinya sama dengan nilai fungsinya. Sebagai contoh karena fungsi f(x) = 2x – 7 terdefinisi untuk setiap nilai x maka nilai limit dapat ditentukan dengan substitusi.

13. 1. Jika dan maka 2. Jika dan maka 3. Jika dan maka Penting untuk diingat!

14. b. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Pemfaktoran Misalkan fungsi Untuk mempermudah perhitungan dengan cara pemfaktor-an, kalian ingat kembali bentuk faktorisasi aljabar berikut. 1) x2 – y2 = (x – y)(x + y) 2) x2 – 2xy + y2 = (x – y)2 3) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 4) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) 5) x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)

15. Contoh: Tentukan nilai . Jawab: .

16. c. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Mengalikan Faktor Sekawan 1) (x – a) faktor sekawan dari (x + a) dan sebaliknya. 2) faktor sekawan dari dan sebaliknya. 3) faktor sekawan dari dan sebaliknya. 4) faktor sekawan dari dan sebaliknya. 5) sekawan dan dan sebaliknya. Ingat: (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3.

17. Contoh: Tentukan nilai Jawab:

18. 2. Menentukan Limit Fungsi di Titik Tak Berhingga (Pengayaan) Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari bentuk limit yang apabila dikerjakan dengan substitusi, diperoleh , yaitu . Misalkan pangkat tertinggi dari variabel adalah f(x)dang(x)adalah m makavariabel berpangkat tertinggi adalah xm. Nilai limitnya dapat ditentukan sebagai berikut.

19. Contoh: Tentukan nilai-nilai limit fungsi Jawab:

20. Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai limit berikut. Untuk f(x) = axm + bxm-1 + … + a0dan g(x) = pxn + qxn-1 + … + b0, berlaku untuk m = n untuk m > n dan a > 0 untuk m > n dan a < 0 untuk m < n

21. Contoh: Tentukan nilai Jawab: f(x) = x2 – 2x + 1 dan g(x) = x2 + 1 Koefisien tertinggi f(x)dan g(x)sama, yaitu 1. Selain bentuk limit tak berhingga di atas, masih ada bentuk limit lain, yaitu .

22. Contoh: Tentukan . Jawab: Dari bentuk terakhir diperoleh a = 1, b = -4, dan p = -5. Dengan menggunakan rumus, diperoleh 27 October 2014

23. 1. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri secara Intuitif C. Limit FungsiTrigonometri Perhatikan gambar! Jika sudut x makin lama makin kecil (mendekati 0), panjang a juga makin mengecil (mendekati 0) sehingga nilai limit sin x, untuk x mendekati 0 adalah 0. (Ingat, nilai sin x adalah panjang sisi di depan sudut x dibagi dengan sisi miringnya). Jadi, diperoleh dan

24. 2. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan Substitusi Contoh: Tentukan nilai . Jawab:

25. 3. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan Cara Menguraikan atau Menyederhanakan Contoh: Tentukan nilai . Jawab Bentuk ini jika kalian substitusikan secara langsung, diperoleh . Oleh karena itu, bentuk ini harus disederhanakan terlebih dahulu.

27. 4. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan Rumus Rumus limit fungsi trigonometri adalah sebagai berikut.

28. Selain keempat rumus di atas, rumus-rumus berikut juga berlaku untuk limit fungsi trigonometri. a. b. c. d. e. f. g.

29. Contoh: Tentukan nilai dari . Jawab: 27 October 2014

30. D. Sifat-Sifat Limit dan Penggunaannya Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta.

31. Misalkan titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) digambarkan pada gambar di atas berpotongan dengan fungsi f(x) di titik P dan Q. Jika gradien garis g adalah m, nilai m adalah E. Limit Fungsi yang MengarahkeKonsepTurunan

32. Sekarang perhatikan Gambar (b). Jika titik P sebagai titik tetap dan titik potong Q bergerak mendekati P maka (Δx = x2 – x1 → 0dibaca: delta x mendekati nol). Artinya, garis g berubah menjadi garis singgung kurva y = f(x)di titik P sehingga nilai m menjadi

33. Bentuk limit semacam ini akan dikembangkan ke arah konsep turunan (diferensial). Secara umum, gradien (kemiringan suatu garis) menyinggung kurva f(x)dapatditentukan dengan limit berikut. Δxbiasanya juga dituliskan dengan h. Materi ini akan dipelajari di Bab 8.