Quasar 95 Club d’astronomie de VALMONDOIS

1. ORBITES DE LA LUNE ET DE MARS Quasar 95 Club d’astronomie de VALMONDOIS Travaux pratiques JP. Maratrey - Février 2008

2. ORBITE DE LA LUNE Quasar 95 Club d’astronomie de VALMONDOIS

3. D’après le TD du cours « astronomie et astrophysique – formation de base » du CNED Tracer l’orbite simplifiée de la Lune autour de la Terre à partir de photographies et de relevés de position, et en déduire l’excentricité de l’orbite lunaire. Nous aurons besoin : Des photos de la Lune prises au cours d’une lunaison lorsque c’est possible. L’exercice se propose de travailler sur 24 clichés (ceux de la Nouvelle Lune sont difficiles). Les photos permettront de mesurer les distances relatives de la Terre à la Lune pour chaque image. Objet Des positions de la Lune au moment exact de la photo. Seront utiles : la latitude et la longitude écliptique. Les longitudes et distances par rapport à la Terre donneront les positions géocentriques de la lune pour chaque mesure. On tracera ces positions sur un graphique en deux dimensions.

4. Les photos sont agrandies dans des conditions identiques : 6 4 5 3 2 1 7 8 11 12 10 9 Données de base 14 16 18 15 13 17 23 24 22 20 21 19

5. Tableau des prises de vues Données de base

6. Coordonnées écliptiques ? Qu’est-ce ? Ce sont les coordonnées d’un astre repérées dans le plan de l’écliptique, celui qui contient le Soleil et l’orbite de la Terre. Données de base

7. Comment mesurer les coordonnées écliptiques ? A partir des coordonnées équatoriales relevées sur la monture de l’instrument par exemple, il « suffit » de résoudre le système d’équations trigonométriques suivant : • sin β = cos ε sin δ - sin α cos δ sin ε • cos λ cos β = cos α cos δ • sin λ cos β = sin ε sin δ + sin α cos δ cos ε Données de base Avec :  = longitude écliptique  = latitude écliptique  = ascension droite  = déclinaison  = inclinaison de la Terre sur l’écliptique = 23,44° Attention : bien qu’il n’y ait que 2 inconnues, les 3 équations doivent être vérifiées par les solutions.

8. Quelle était la date de la pleine Lune ? Photo 18, le 6 août. 6 4 5 3 2 1 7 8 11 12 10 9 Phases, éclipses 14 16 18 15 13 17 23 22 20 21 24 19

9. Une éclipse de Lune était-elle possible ? Pour le savoir, nous devons verifier que le Soleil, la Terre et la Lune étaient alignés à ce moment là. L’alignement doit être vérifié dans les deux plans perpandiculaires qui contiennent les 3 astres. Phases, éclipses Perpandiculairement à l’écliptique, l’alignement est réalisé car c’est la Pleine Lune. Mais l’alignement doit aussi se faire dans le plan de l’écliptique. Si la latitude écliptique de la Lune est zéro à la PL, il y a éclipse totale et centrale de Lune.

10. Une éclipse de Lune était-elle possible ? Le 06/08 à 23h12, la latitude écliptique de la Lune est de 1,1°, ce qui est inférieur à 3,6 fois le diamètre apparent de la Lune. Phases, éclipses Cône d’ombre de la Terre

11. Une éclipse de Lune était-elle possible ? Il y a bien eu éclipse de Lune, le 6 août à 14h19 TU. A ce moment, la latitude écliptique de la Lune est de 0,66°, ce qui veut dire que le centre de la Lune est à 0,66° du centre du cône d’ombre. Phases, éclipses 0,9° 0,66° 1,8° Cône d’ombre de la Terre L’éclipse était partielle.

12. Y avait-il éclipse de Soleil à la NL ? 6 4 5 3 2 1 7 8 11 12 10 9 Eclipse 14 16 18 15 13 17 23 22 20 21 24 19 NL entre les photos 9 et 10, entre le 20 et le 26 juillet

13. Y avait-il éclipse de Soleil à la NL ? La latitude de la Lune à la Nouvelle Lune (le 22 juillet à 2h54 TU) était de 1,1°. C’est suffisant pour une éclipse de Soleil visible uniquement des pôles, mais pas dans nos régions. Eclipse

14. Comment mesurer le diamètre apparent de la Lune sur chacune des photographies ? 6 4 5 3 2 1 7 8 11 12 10 9 Diamètre apparent 14 16 18 15 13 17 23 22 20 21 24 19 Avec une règle lorsque c’est possible. Sinon ? Utiliser nos vieux souvenirs de géométrie …

15. Dans le triangle OMI : Bord du disque lunaire M Rayon apparent de la Lune I J Diamètre apparent O Flèche IJ Corde MN  est le diamètre apparent de la Lune. N

16. Une autre solution graphique consiste à tracer sur du papier calque des cercles concentriques, et de les ajuster au mieux au bord du disque lunaire (moins précis pour les photos de croissants). Diamètre apparent

17. Pour des petits angles, on a : avec  : diamètre apparent de la Lune (angle en radians) D : diamètre réel de la Lune (en mètres) TL : distance Terre-Lune (en mètres) Le diamètre apparent de la Lune est inversement proportionnel à sa distance à la Terre. Autrement dit, quand la distance de la Lune augmente, son diamètre apparent diminue (et inversement). Distances relatives La valeur de  mesurée en mm est proportionnelle à la valeur de l’angle apparent de la Lune . Le facteur de proportionalité dépend du facteur d’agrandissement des photos.  est donc inversement proportionnel à la distance Terre-Lune. Reportons dans le tableau les valeurs de  en mm, et 4000/ , valeur proportionnelle à la distance Terre-Lune.

18. Périgée le ? 18 juillet Apogée le ? 30 juillet Distances relatives

19. Pour la suite, nous utiliserons les colonnes grisées Distances relatives

20. T A partir de ces résultats, et en négligeant l’inclinaison de l’orbite de la Lune, nous pouvons reporter sur un graphique les différents points de l’orbite de notre satellite.  T Orbite de la Lune (direction du point vernal) et une position de la Terre. Traçons l’axe zéro des longitudes écliptiques

21. 1er point : 323° et 73,4 mm  T Orbite de la Lune Avec un rapporteur et un double décimètre, plaçons les positions de la Lune que nous venons de calculer.

22. 1er point : 323° et 73,4 mm  T Orbite de la Lune Avec un rapporteur et un double décimètre, plaçons les positions de la Lune que nous venons de calculer.

23.  T Orbite de la Lune Avec un rapporteur et un double décimètre, plaçons les positions de la Lune que nous venons de calculer.

24. a = rayon du cercle  O T Orbite de la Lune c = OT Traçons sur une feuille calque un cercle de rayon représentant la demi-somme des extrêmes mesurés (72,6 mm), et superposons au mieux avec nos points.

25. On démontre que l’excentricité de l’orbite est proche de c/a a = rayon du cercle  O T Orbite de la Lune c = OT Dans le cas d’une excentricité faible, une ellipse peut être assimilée à un cercle décalé.

26. ORBITE DE MARS Quasar 95 Club d’astronomie de VALMONDOIS

27. D’après le TD du cours « astronomie et astrophysique – formation de base » du CNED Tracer l’orbite simplifiée de Mars autour du Soleil à partir des données mesurées par Tycho Brahé, et utilisées par la suite par Kepler pour énoncer ses trois lois. Nous aurons besoin : Des positions de Mars pour 5 couples d’observations. Des positions du Soleil pour ces 5 couples. Objet Les positions sont les longitudes écliptiques géocentriques (LEG). La LEG du Soleil (LEGs) est l’angle que forme, depuis la Terre, la direction du Soleil avec celle du point vernal. La LEG de Mars (LEGm) est l’angle que forme, depuis la Terre, la direction de Mars avec celle du point vernal. On supposera, pour simplifier, que Mars tourne dans le plan de l’écliptique (en fait, l’orbite de Mars est inclinée de 1,85° sur l’écliptique).

28. Voici les données recueillies par Tycho Brahé : Données D’autre part, l’onservation de Mars fournit la période séparant deux oppositions. C’est la période de révolution synodique. Elle est égale à 780 jours et est notée t.

29. Calculer la période de révolution sidérale de Mars. On démontre la relation suivante : Révolution sidérale Avec Tm = révolution sidérale de Mars t = révolution synodique de Mars (780 jours) Tt = révolution sidérale de la Terre (365,25 jours) Le calcul donne Tm = 687 jours

30. Calculer la durée qui sépare les dates de chaque couple de mesures. Révolution sidérale Pour chaque couple, l’écart entre les deux dates est de 687 jours, ce qui correspond justement à la valeur trouvée pour la révolution sidérale de Mars qui se retrouve donc à la même position sur son orbite.

31. Nous allons tracer l’orbite de la Terre autour du Soleil, en la considérant parfaitement circulaire, de rayon 50 mm. L’erreur commise est faible : l’excentricité de l’orbite de la Terre est de 0,0167. Orbite de Mars  S Traçons également une direction de référence : celle du point vernal

32. A partir du Soleil, nous tracerons la position de la Terre pour chaque mesure. Orbite de Mars  S Nous avons besoin de calculer la longitude héliocentrique de la Terre (LEHt) pour chaque mesure.

33. Comment calculer la longitude héliocentrique LEHt de la Terre ? Comment calculer la longitude héliocentrique LEHt de la Terre ? Plaçons la Terre (T) et la direction du point vernal. La longitude géocentrique du Soleil (LEGs) est l’angle TS, en tournant dans le sens direct, inverse des aiguilles d’une montre ! Cet angle est ici supérieur à 180°. T  Orbite de Mars  S

34. Comment calculer la longitude héliocentrique LEHt de la Terre ? Comment calculer la longitude héliocentrique LEHt de la Terre ? L’angle recherché (LEHt) est ST. D’où LEHt = LEGs - 180° T  Orbite de Mars  S En examinant toutes les positions possibles, on trouve : LEHt = LEGs ± 180° (modulo 360°)

35. En reportant les valeurs de LEHt dans le tableau : Orbite de Mars Nous sommes maintenant prêts à convertir les données chiffrées sur un graphique.

36. 1a : La Terre à 159°. Puis Mars à 135° 1b : La Terre à 115°. Puis Mars à 182° T T Orbite de Mars  S

37. En opérant de même pour les 5 couples : 3 1 5 Orbite de Mars  S 4 2

38. Les 5 points 1, 2…5 sont 5 positions de Mars sur son orbite. L’orbite de Mars est peu différente d’un cercle dont le centre n’est pas le Soleil. Ceci n’est vrai que si l’excentricité est faible (à démontrer à postériori). 3 1 5 Orbite de Mars  S 4 2

39. Quel est le rayon moyen de l’orbite de Mars ? Dans une première approximation, le rayon de l’orbite de Mars est la moyenne des distances du Soleil à chaque point 1, 2…5. Nous tracerons ce cercle sur une feuille de papier calque pour l’ajuster ensuite au mieux aux 5 points. 3 1 5 Orbite de Mars  S 4 2

40. Quel est le rayon moyen de l’orbite de Mars ? Les mesures sont les suivantes : Point 1 : 85 mm Point 2 : 69 mm Point 3 : 77 mm Point 4 : 80,5 mm Point 5 : 84 mm Orbite de Mars La moyenne est de 79 mm.

41. Quel est le rayon moyen de l’orbite de Mars ? Plaçons ce cercle de rayon 79 mm, et ajustons le au mieux. 3 1 5 Orbite de Mars  S 4 Comme on le voit, ce cercle est trop grand.Il faut diminuer son rayon jusqu’à superposition la plus juste possible. 2

42. Le cercle qui s’ajuste au mieux a un rayon de 76 mm. C’est le rayon moyen de l’orbite de Mars, r. Le centre C n’est pas confondu avec S. CS fait 7,5 mm. 3 1 5 Orbite de Mars C  S 4 r 2

43. Mesurer l’excentricité de l’orbite de Mars. L’excentricité e est le rapport CS sur le rayon de l’orbite r, soit 7,5/76. e = 0,099 La valeur exacte est 0,0934. Excentricité de l’orbite de Mars C  S On démontre que cette valeur de l’excentricité est suffisamment petite pour assimiler l’orbite elliptique à un cercle décalé avec une erreur inférieure à 1%.

44. Quelle est la distance minimale de la Terre à Mars à l’opposition ? Traçons l’axe CS qui va nous donner le grand axes de l’orbite de Mars. Opposition de Mars C  S

45. Quelle est la distance minimale de la Terre à Mars à l’opposition ? L’échelle du schéma est de 50 mm pour 1 ua. dmin = 19 mm, soit 0,38 ua Opposition de Mars C  S dmin

46. Quelle est la distance maximale de la Terre à Mars à l’opposition ? L’échelle du schéma est de 50 mm pour 1 ua. dmax = 33 mm, soit 0,66 ua dmax Opposition de Mars C  S

47. A quelle période de l’année se rencontre une opposition favorable ? Une opposition défavorable ? Le point vernal est la direction du Soleil à l’équinoxe de printemps. Opposition de Mars Equinoxe de printemps 21 à 23 mars C  S

48. A quelle période de l’année se rencontre une opposition favorable ? Une opposition défavorable ? Divisons l’orbite de la terre en 12 mois (égaux…) Une opposition favorable se rencontre en été, une défavorable en hiver. décembre janvier novembre février Opposition de Mars octobre C mars  septembre S avril août mai juillet juin

49. A quelle période de l’année se rencontre une opposition favorable ? Une opposition défavorable ? Comme rien n’est simple, l’axe CS tourne autour de S (1 tour en 175 000 ans), et le point vernal se déplace également (1 tour en 24 800 ans)… Mais tout ceci reste valable à l’échelle humaine. décembre janvier novembre février octobre Opposition de Mars C mars  septembre S avril août mai juillet juin