LINEAR CONTROL SYSTEMS

1. LINEAR CONTROL SYSTEMS Ali Karimpour Assistant Professor Ferdowsi University of Mashhad

2. Topics to be covered include: Root locus criterion. Root loci (RL). Complement root loci (CRL). Complete root loci. Property and construction of complete root loci. Lecture 16 Root Locus Technique

3. Root locus, shows the position of roots of the following equation for different values of k مکان ریشه ها، موقعیت ریشه های معادله زیر را بر حسب مقادیر مختلف k نشان می دهد. Root locus مکان ریشه ها Root loci (RL) Complement root loci (CRL) Complete root loci

4. 0 -20 Example 1:ِ Draw the complete root loci of following system. مثال 1: مکان کامل ریشه ها را در سیستم زیر بیابید.

5. Rule 1: Specify the equation exactly in the following form. قانون اول: سیستم را دقیقا بصورت زیر بیان کنید. چند شاخه در مکان ریشه ها؟ How many branches in root loci? The Root Locus procedure نحوه رسم مکان ریشه ها It is :

6. Which points lie on the root loci? چه نقاطی بر روی مکان ریشه قرار دارند؟ Condition of magnitude شرط اندازه Condition of angle شرط زاویه The Root Locus procedure نحوه رسم مکان ریشه ها

7. Examine the condition of magnitude and condition of angles on following example. شرط زاویه و شرطاندازه را در مثال زیر بررسی کنید. -20 0 The Root Locus procedure نحوه رسم مکان ریشه ها

8. Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on the poles of f(s) for k=0 and lies on the zeros of f(s) for k=±∞ قانون2: قطب و صفرهای f(s) را مشخص کنید. مکان ریشه در k=0 روی قطبهای f(s) و در k=±∞ روی صفرهای f(s) قرار دارد. -20 0 The Root Locus procedure نحوه رسم مکان ریشه ها

9. Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k. قانون3: محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفیk مشخص کنید -20 0 The Root Locus procedure نحوه رسم مکان ریشه ها

10. -20 0 The Root Locus procedure نحوه رسم مکان ریشه ها Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes for positive and negative values of k. قانون4: مجانبها و محل تلاقی مجانبها را برای مقادیر مثبت و منفی k تعیین کنید.

11. Rule 1: Specify the equation exactly in the standard form. قانوناول: سیستم را دقیقا بصورت استاندارد بیان کنید. Example 2:ِ Draw the complete root loci of the following system. مثال 2: مکان کامل ریشه ها را در سیستم زیر بیابید. Clearly it is ok

12. Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on the poles of f(s) for k=0 and lie on the zeros of f(s) for k=±∞ قانون2: قطب و صفرهای f(s) را مشخص کنید. مکان ریشه در k=0 روی قطبهای f(s) و در k=±∞ روی صفرهای f(s) قرار دارد.

13. Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k. قانون3: محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفیk مشخص کنید

14. Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes . We need another rule. به قانون دیگری نیاز داریم. قانون4: مجانبها و محل تلاقی مجانبها.

15. Rule 5: Find the break point. قانون5: نقطه شکست را بیابید. The Root Locus procedure نحوه رسم مکان ریشه ها

16. Rule 5: Find the break point. We need another rule. قانون5: نقطه شکست را بیابید. به قانون دیگری نیاز داریم. ? ?

17. Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis by Routh Hurwitz criteria. قانون6: نقطه تلاقی با محور موهومی را توسط روش روت هرویتز تعیین کنید. The Root Locus procedure نحوه رسم مکان ریشه ها

18. قانون6: نقطه تلاقی با محور موهومی Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis

20. rlocus(1,[1 15 50 0]); hold on; rlocus(-1,[1 15 50 0])

21. Rule 1: Specify the equation exactly in the standard form. قانوناول: سیستم را دقیقا بصورت زیر استاندارد کنید. Example 3:ِ Draw the complete root loci of following system. مثال 3: مکان کامل ریشه ها را در سیستم زیر بیابید.

22. Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on the poles of f(s) for k=0 and lie on the zeros of f(s) for k=±∞ قانون2: قطب و صفرهای f(s) را مشخص کنید. مکان ریشه در k=0 روی قطبهای f(s) و در k=±∞ روی صفرهای f(s) قرار دارد. Example 4:

23. Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k. قانون3: محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفیk مشخص کنید Example 4:

24. Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes . قانون4: مجانبها و محل تلاقی مجانبها. Example 4:

25. Rule 5: Find the break point. قانون5: نقطه شکست را بیابید. Example 4:

26. We need another rule. به قانون دیگری نیاز داریم. ? قانون6: نقطه تلاقی با محور موهومی Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis

27. Exercises تمرینها 1 The transfer function of a single-loop control system are given as: Construct the root loci of the Zeros of 1+G(s)K(s) for -∞<Td<∞ 2 The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign) system is: . Constract the complete root loci of the characteristic equation.

28. 4 The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign) system is: a) Construct the root loci for -∞<K<∞ , with α=5 . b) Construct the root loci for -∞< α<∞, with K=5. Exercises تمرینها 3 The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign) system is: Construct the complete root loci of the characteristic equation for Let n=1, n=2 , n=3 and n=4

29. 5 The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign) system is: Construct the root loci for 0<p<∞ Exercises تمرینها 6 Consider following system Construct the root loci for 0<k1<∞

30. C(s) R(s) + + - - Exercises تمرینها 7 Consider following system For k1=0, k1=1 1nd k1=10 construct the root loci for 0<k2<∞ . 8 Construct the root loci of the closed loop poles of the following system for 0<a<∞(Midterm spring 2008).