Tema 6.- ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS

1. Tema 6.- ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS • PRODUCTO ESCALAR, NORMA Y DISTANCIA. MATRIZ DE GRAM • ORTOGONALIDAD • PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT • APROXIMACIÓN LINEAL EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS • SOLUCIÓN APROXIMADA DE SISTEMAS INCOMPATIBLES (MÉTODO DEMÍNIMOS CUADRADOS) Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

2. Una de las aplicaciones más interesantes en este capítulo es el método de mínimos cuadrados. Con frecuencia, al tratar de comprender datos experimentales, deseamos determinar una recta o una curva que “encaje” o “se ajuste” más (o describa mejor) estos datos. Por ejemplo, imaginemos que un profesor de álgebra lineal mantiene las estadísticas (que se muestran a continuación) del porcentaje de notables otorgados durante un período de 6 cursos. Si el profesor quisiera trazar una recta que se acerque a los puntos en la tabla tendrá muchas opciones. Sin embargo, hay una que se ajusta mejor a estos datos, bajo cierto criterio. En este capítulo veremos que esa recta es y = 0.13333 + 0.05 x Curso 1 2 3 4 5 6 Porcentaje de notables 0.20 0.25 0.20 0.30 0.45 0.40 Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

3. Un poco de historia El método por mínimos cuadrados fue inventado por Karl Friedrich Gauss, y lo usó para resolver un problema de astronomía. En 1801 el asteroide Ceres se había observado mucho más brillante durante más de un mes antes de desaparecer cuando se acercó al Sol. Con base en las observaciones disponibles, los astrónomos deseaban aproximar la órbita de Ceres para observarlo de nuevo cuando se alejara del sol. Gauss empleó los mínimos cuadrados e impactó a la comunidad científica al predecir la hora y el lugar correctos (unos 10 meses después) para localizar el asteroide. Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo). Durante su vida, se reconoció que era el matemático más grande de los siglos XVIII y XIX. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

4. PRODUCTO ESCALAR Sea V un espacio vectorial real es un producto escalar sobre V si : 1.- 2.- 3.- 4.- es un espacio vectorial euclídeo Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

5. -EJEMPLOS.- 1.-Producto escalar usual en Para vectores de definimos: 2.-Otro producto escalar en Para vectores de definimos: 3.-Producto escalar usual en Siendo Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

6. 4.-Producto escalar usual en Para definimos: 5.-Producto escalar usual en Para definimos: Siendo la traza de una matriz cuadrada la suma de los elementos de su diagonal principal. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

7. -OBSERVACIÓN.-Otra forma (más cómoda) de calcular el producto escalar usual de dos matrices cuadradas del mismo orden Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

8. 6.-Producto escalar usual en es el espacio vectorial de las funciones continuas en [a , b], y por tanto integrables en [a , b]. Algunas propiedades del producto escalar.- 1.- El único vector de un espacio vectorial euclídeo V que cumple que su producto escalar con todos los vectores de V es cero, es el vector nulo. 2.- 3.- Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

9. NORMA Y DISTANCIA EUCLÍDEAS Los conceptos geométricos de longitud, distancia y perpendicularidad, que son bien conocidos para y , se definen en este capítulo para y, en general, para cualquier espacio vectorial euclídeo V. Estos conceptos nos van a proporcionar herramientas geométricas potentes para resolver muchos problemas aplicados, incluidos los problemas de mínimos cuadrados que hemos mencionado en la introducción. Los tres conceptos se definen en términos del producto escalar, también denominado producto interior, de dos vectores. Sea unespacio vectorial euclídeo • Norma o longitud de un vector.- • Distancia entre dos vectores.- -OBSERVACIÓN.- Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

10. Propiedades de la norma.- 1.- 2.- 3.- 4.- Desigualdad de Schwarz* 5.- 6.- Desigualdad de Minkowski o desigualdad triangular Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

11. *Sobre la historia de la desigualdad Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky Se acredita a Cauchy1 la desigualdad para vectores y a Schwarz2 para los productos escalares con integrales. Sin embargo, fue Bunyakovsky3 quien demostró y publicó la desigualdad de Schwarz en una monografía, 25 años antes que Schwarz. 1 Augustin Louis Cauchy (1789-1857) nació en París y murió en una villa cercana a esa misma ciudad. Es autor de trabajos importantes sobre ecuaciones diferenciales, series infinitas, determinantes, probabilidad, grupos de permutación y de física matemática. En 1814 publicó una memoria que se convirtió en el fundamento de la teoría de las funciones complejas. Su trabajo se conoce por su rigor. Publicó 789 artículos y ocupó puestos en a Facultad de Ciencias, en el Colegio de Francia y en la Escuela Politécnica, todos en París. Ha muchos términos y teoremas que llevan su apellido. Fue un realista fiel y vivió en Suiza, Turín y Praga, después de rehusarse a jurar la alianza. Regresó a París en 1838 y recuperó su puesto en la Academia de Ciencias. En 1848 recuperó su lugar en la Sorbona, que mantuvo hasta su muerte. 2Karl Herman AmandusSchwarz (1843-1921) nació en Hermsdorf, Polonia (hoy Alemania), y murió en Berlín. Estudió química en Berlín, pero se cambió a matemáticas, obteniendo el doctorado. Desempeñó puestos académicos en Halle, Zurich y Göttingen. Reemplazó a Weierstrass en Berlín y enseñó alllí hasta 1917. Trabajó en cálculo de variaciones y en superficies mínimas. Su memoria en ocasión del 70 aniversario de Weierstrass contiene, entre otros temas importantes, la desigualdad para integrales que hoy se conoce como desigualdad de Schwarz. 3 Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1804-1889) nació en Bar, Ucrania, y murió en San Petersburgo, Rusia. Fue profesor en San Petersburgo de 1846 a 1880. Publicó más de 150 trabajos en matemáticas y mecánica. Fue autor de trabajos importantes en teoría de los números, y demostró y publicó la desigualdad de Schwarz en 1859, 25 años antes que Schwarz. También trabajó en geometría y en hidrostática. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

12. Desigualdad de Schwarz Definición de ángulo entre dos vectores no nulos.- Es el correspondiente al arco dado por: Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

13. EXPRESIÓN MATRICIAL DEL PRODUCTO ESCALAR Si V es un espacio vectorial euclídeo de dimensión n y es una base de V, entonces: Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

14. :matriz de Gram, o matriz del producto escalar dado, en la base B. • G es simétrica. • Los elementos de la diagonal principal de G son estrictamente positivos. • G es regular. • : expresión matricial del producto escalar dado en la base B. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

15. ORTOGONALIDAD • Definición de vectores ortogonales.- -EJEMPLOS.-En ( p.e.usual) comprobar que los vectores son ortogonales. ¿Son ortogonales estos vectores con el producto escalar • es el único vector de V ortogonal a todos los vectores de V IMPORTANTE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

16. Definición de subconjuntos ortogonales.- Dos subconjuntosA y B de V son ortogonales (), cuando • Sea Ssubespacio vectorial de V y una base de S. Entonces: -EJEMPLO.-Comprobar que los subconjuntos son ortogonales en ( p.e. usual) Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

17. -EJEMPLO.-Hallar el subespacio vectorial formado por todos los vectores ortogonales al subespacio: utilizando el producto escalar usual en . Según la definición de , será: siendo B una base de S. • Primero encontramos una base de S. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

18. SISTEMAS ORTOGONALES Y ORTONORMALES. PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT En este apartado describiremos un método muy importante, llamado proceso de Gram-Schmidt*. El proceso de Gram-Schmidt es un algoritmo sencillo para producir una base ortogonal u ortonormal para cualquier subespacio vectorial, de un espacio vectorial euclídeo. • es unsistema ortogonalde vectores si • es unsistema ortonormalde vectores si Es decir, un sistema ortonormal es un sistema ortogonal formado por vectores unitarios Vectores unitarios En honor del matemático y actuario danés Jörgen Pedersen Gram (1850-1916) y Erhard Schmidt, matemático alemán (1876-1959). Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

19. -EJEMPLOS.- 1.-En(p.e. usual) • el sistema es ortogonal, pues: pero no es ortonormal pues: • el sistema es ortonormal, pues: 2.-Encon el producto escalar ¿Son ortogonales los vectores ? Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

20. IMPORTANTE Propiedades de los sistemas ortogonales.- a)s.ortogonal de vectores no nulos del e.v. euclídeo V, entonces: b)s.ortogonal, entonces: -OBSERVACIÓN.-Para r = 2 En con el producto escalar usual: Teorema de Pitágoras Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

21. Proyección ortogonal de un vector.-La proyección ortogonal de sobre es el vector: -OBSERVACIÓN.- -EJEMPLO.-En con el p.e. usual la proyección ortogonal del vector sobre es: Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

22. Si es un s. libre de un espacio vectorial euclídeo V, entonces: Todo espacio vectorial euclídeo de dimensión finita n admite bases ortogonales y ortonormales s.ortogonal y ¿Cómo se hallan estas bases? s.ortonormal tales que: Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt: Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

23. ¿Cómo se construye una base ortogonal BO(ortonormal BON) de un espacio vectorial euclídeo S? 1.-Hallar una base B de S: 2.-Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt: 3.-Normalizar los vectores del paso 2.-: Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

24. -OBSERVACIONES.- 1.-No es necesario partir de una base B de S, basta con partir de un sistema generador de S. El proceso de Gram-Schmidt detectará si el sistema es libre o ligado. • Utilizando el p.e. usual hallar una base ortogonal del s.v. engendrado por los vectores: 2.-Suele resultar conveniente calcular los productos escalares de los diversos vectores de la base o s.g. de S y “reordenarlos” escribiendo en primer lugar aquellos vectores que sean ortogonales entre si. • Utilizando el p.e. usual hallar una base ortogonal del s.v. engendrado por los vectores: Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

25. APROXIMACIÓN LINEAL EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS En este apartado vamos resolver el siguiente problema: • espacio vectorial euclídeo • Ssubespacio de V con base de S Se trata de encontrar tal que: sea mínima Este problema admite solución y es única. se denomina mejor aproximación de en S. -OBSERVACIÓN.-Si , entonces Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

26. Mejor aproximación de en S.- Si es una base ortogonal de S, la mejor aproximación de en S es: Coeficientes de Fourier. Suma de Fourier.- Si es una base ortogonal de S: • se denominan coeficientes de Fourier. • se llama suma de Fourier. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

27. ¿Cómo encontrar la mejor aproximación de un vector de un espacio vectorial V en un subespacio SdeV? 1.-Comprobar que 2.-Hallar una base B de S: 3.-Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt aplicado a B: BO base ortogonal de S 4.-Suma de Fourier ( ) de respecto de la base ortogonal BO encontrada en el paso 3.-: 5.-Comprobar el resultado: HAY QUE TRABAJAR CON EL PRODUCTO ESCALAR DEL PROBLEMA Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

28. -EJERCICIO.-Consideremos el producto escalar usual en a.-Encontrar la mejor aproximación de en el subespacio vectorial S y hallar la norma del error cometido. Solución 1.-Comprobamos que 2.-Hallamos una base BS de S 3.-Aplicamos el proceso de Gram-Schmidt a la base BS de S para conseguir una base ortogonal BO de S: Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

29. 4.-Suma de las proyecciones ortogonales de sobre los vectores de la base ortogonal BO de S: 5.-Comprobar el resultado: • Norma del error cometido b.-Utilizando el producto escalar usual encontrar la mejor aproximación de en el subespacio vectorial: y hallar la norma del error cometido. Solución Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

30. SOLUCIÓN APROXIMADA DE UNA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES INCOMPATIBLE.(MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS) El ejemplo introductorio del capítulo describe un gigantesco problemaA · x=bque no tenía solución. Los sistemas inconsistentes surgen con frecuencia en las aplicaciones, aunque generalmente no con una matriz de coeficientes tan enorme. Cuando se necesita una solución y no existe alguna, lo mejor que se puede hacer es encontrar una x que haga A · xtan cercana a b como sea posible. Pensemos en A · xcomo una aproximación de b. Cuanto más corta sea la distancia entre b y A · x, dada por b – A · xmejor será la aproximación. El problema general de mínimos cuadrados es encontrar un x que haga b – A · xtan pequeña como sea posible. El término de mínimos cuadrados surge del hecho de que b – A · xes la raíz cuadrada de una suma de cuadrados, pues estamos utilizando el producto escalar usual en . Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

31. ¿Cómo resolver de forma aproximada un sistema de ecuaciones lineales incompatible? 1.-Expresar vectorialmente el sistema: 2.-Hallar mejor aproximación de en S. Utilizar el esquema del apartado anterior HAY QUE TRABAJAR CON EL PRODUCTO ESCALAR USUAL 3.-Resolver el sistema: La solución del sistema () es la solución aproximada del sistema incompatible (1). Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

32. -EJERCICIO.-Resolver de forma aproximada el sistema de ecuaciones lineales dado por: Solución 1.-Comprobamos que el sistema es incompatible: 2.-Escribimos el sistema en forma vectorial: Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

33. 3.-Hallamos la mejor aproximación de en S: 3.1.- Encontrar una base BS de S 3.2.- Aplicar el proceso de Gram-Schmidt a la base BS de S para conseguir una base ortogonal BO de S: 3.3.- Hallar la suma de las proyecciones ortogonales de sobre los vectores de la base ortogonal BO de S: Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

34. 4.-Resolver el sistema: Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

35. Cálculo alternativo de una solución por mínimos cuadrados. El siguiente teorema proporciona un criterio útil para cuando existe una solución por mínimos cuadrados de A · x= b. La matriz AT · A es invertible si y sólo si las columnas de A son linealmente independientes. En este caso, la ecuación A · x= b tiene solamente una solución por mínimos cuadrados y viene dada por: Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

36. Producto escalar CONCEPTOS PROPIEDADES Ejemplos Expresión matricial Teoría de aproximación lineal Espacio vectorial euclídeo Características Objetivo Planteamiento Propiedades Ortogonalidad Ortonormalidad Coeficientes de Fourier Suma de Fourier Norma Distancia Ángulo entre dos vectores Vectores Subconjuntos Proyección ortogonal Método de Gram-Schmidt Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería