LEI NORMAL: a rainha das leis do acaso

1. LEI NORMAL: a rainha das leis do acaso Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra Lição Delfos, 14 de Abril de 2007

2. Plano da exposição • Lei normal: fotografia e assinatura • Lei normal ou lei dos erros • A lei dos grandes números • O teorema central do limite de de Moivre-Laplace • Aplicação aos estudos de opinião • O teorema central do limite de Laplace • Aplicação ao controlo de qualidade

3. Observações que seguem a lei normal

4. Média a desvio-padrão de uma amostra Observações

5. Observações que seguem a lei normal

6. Observações que seguem a lei normal N(8.7,3.3)

7. Observações que seguem a lei normal

8. Observações que seguem a lei normal N(1000.2,9.6)

9. Observações que seguem a lei normal Área =~ Proporção de pacotes com peso entre 995 e 1005 gramas

10. Observações que seguem a lei normal

11. Observações que seguem a lei normal N(1010.1,20.0)

12. Observações que seguem a lei normal Área =~ Proporção de pacotes com peso entre 995 e 1005 gramas

13. A lei normal: fotografia e assinatura média desvio-padrão

14. A lei normal: fotografia e assinatura

15. A lei normal: fotografia e assinatura

16. Regra 68-95-99.7

17. Lei normal ou lei dos erros O matemático Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) tem o seu nome ligado à lei normal.

18. Lei normal ou lei dos erros Grandeza observada = Grandeza verdadeira + Erro Erro = Grandeza observada - Grandeza verdadeira

19. Lei normal ou lei dos erros Erro = Peso observado -1000

20. Lei normal ou lei dos erros Antes de Gauss era assumido que a distribuição do erro era: 1) Simétrica relativamente à origem; 2) Unimodais; 3) Suporte finito

21. Lei normal ou lei dos erros As distribuições de erro habitualmente consideradas não permitiam justificar teoricamente a prática corrente de tomar a média das observações como estimativa do verdadeiro valor da grandeza desconhecida.

22. Lei normal ou lei dos erros Em 1809 Gauss determina a forma que deve ter a distribuição dos erros de modo que a média das observações seja o estimador teórico da grandeza desconhecida:

23. Lei dos grandes números de Jacques Bernoulli (1645-1705) Para uma qualquer experiência aleatória, quando o número de repetições desta é elevado, a proporção de ocorrências desse acontecimento aproxima-se, tanto quanto queiramos, da probabilidade desse acontecimento (1713). dado1.xls dado2.xls

24. Distribuição da proporção amostral

25. Teorema central do limite de de Moivre (1667-1754) – Laplace (1749-1827) Quando o tamanho da amostra é grande, a proporção amostral é aproximadamente normal: onde é a probabilidade do acontecimento em causa (1733, 1812).

26. Teorema central do limite de de Moivre (1667-1754) – Laplace (1749-1827) Quando p=1/3 e n=10:

27. Teorema central do limite de de Moivre (1667-1754) – Laplace (1749-1827) Quando p=1/3 e n=40:

28. Uma aplicação aos estudos de opinião +

29. Uma aplicação aos estudos de opinião

30. Uma aplicação aos estudos de opinião Para aproximadamente 95% das amostras:

31. Uma aplicação aos estudos de opinião Para a amostra anterior: No caso do PS temos: + Margem de erro: +

32. Uma aplicação aos estudos de opinião Intervalo de confiança a 95%:

33. Distribuição da média amostral A proporção amostral é uma média: com Será a aproximação normal válida para uma qualquer média?

34. Distribuição da média amostral

35. Distribuição da média amostral

36. Distribuição da média amostral

37. Distribuição da média amostral

38. Distribuição da média amostral

39. Distribuição da média amostral

40. Distribuição da média amostral

41. Distribuição da média amostral

42. Distribuição da média amostral

43. Distribuição da média amostral

44. Distribuição da média amostral

45. Distribuição da média amostral

46. Distribuição da média amostral

47. Teorema central do limite de Laplace(1749-1827) Se é calculada a partir de observações independentes com média e desvio-padrão , então para grande (1812).

48. Aplicação ao controlo de qualidade Um processo de empacotamento de açúcar está conforme se o peso médio dos pacotes for de 1000 gramas com uma variabilidade de 7 gramas:

49. Aplicação ao controlo de qualidade

50. Aplicação ao controlo de qualidade Para aproximadamente 99,7% das amostras Para obtemos