Travail d'une Force

1. Travail élémentaire d'une force lors d'un déplacement (élémentaire) Travail d'une Force W Travail d'une Force T Énergie de mouvement Énergie cinétique : Ec V Énergie potentielle (qui peut créer le mouvement) : Ep E Énergie mécanique totale d'un système : E = T + V = Ec +Ep Le travail W est égal à la circulation de la Force le long du parcours M1M2

2. Travail en coordonnées cartésiennes: Le travail est une grandeur scalaire, sa valeur peut être considérée comme la somme des travaux effectués lors d'un déplacement quelconque décomposé en des trajets parrallèles aux axes x, y, z respectivement. Travail en coordonnées cylindriques:

3. C'est le travail fourni par unité de temps: Or : d'où Dans un référentiel d’inertie, on considère un point matériel de masse m animé d’une vitesse v. Son énergie cinétique est et sa dérivée par rapport au temps est : PUISSANCE INSTANTANEE Si la puissance est positive, la force est motrice, si la puissance est négative, la force est résistante. Si plusieurs forces sont appliquées à m, on a :

4. Soit : De l’équation différentielle on obtient la solution : où Exemple : Amortissement visqueux : À cause de la force de frottement visqueux, l’énergie cinétique décroît avec le temps.

5. TRAVAIL ELEMENTAIRE D'UN COUPLE (de Forces) d'où : c'est un produit mixte du type : Soit : d'où : Le travail d'un couple de forces est égal au produit de l'intensité C du couple par la variation de l'angle dq au cours de la rotation autour de O.

6. Théorème de l’énergie cinétique : La variation d’énergie cinétique d’un point matériel se déplaçant entre les points A et B s’écrit : La variation d’énergie cinétique d’un point matériel se déplaçant entre les points A et B est égale à la somme des travaux des forces appliquées effectués lors de ce déplacement.

7. Forces conservatives Une force est dite conservative si pour tous les points A et B le travail pour aller de A en B ne dépend pas du chemin suivi entre A et B et ne dépend que de ces points. Si la force est conservative on peut définir une fonction de l’espace V(x,y,z) qui ne dépend que du point (x,y,z) de l’espace considéré telle que : La fonction V(r) = V(x,y,z) est l’énergie potentielle au point M(x,y,z) La relation suivante n’est vraie que si la force F(r) est conservative

8. ENERGIE POTENTIELLE L'énergie potentielle est une fonction scalaireV(OM) ouEp(OM) qui ne dépend que de la position OM du point M telle que où A est le point de départ et B le point d'arrivée. La variation d'énergie potentielleDV sera la différence entre l'énergie potentielle à l'arrivée moins celle du départ : Si nous voulons définir l'énergie potentielle du point d'arrivée : Si le point de départ ou référence est toujours le même (surface de la Terre par exemple en mécanique, ou l'infini pour les forces électrostatiques) alors :VA = Cste = Vosoit : L'énergie potentielle du point B est égale à une constante moins le travail pour aller du point de référence au point B. On dit que l'énergie potentielle n'est définie qu'à une constante additive près.

9. > O Travail moteur, le système fourni du travail si VA > VB alors VB - VA < O = -  < O Travail résistant le système doit recevoir du travail pour aller de A à B.  Nous ne sommes intéressés que par les variations ou les différences d'énergie potentielle. Remarque : si VA < VB alors VB - VA > O Donc on peut donner ou prélever de l'énergie potentielle à un système. V est l'énergie en réserve que le système peut donner.

10. On peut écrire : - d'où Si V = V(xyz), alors : On écrit encore : (gradient de V, variation en fonction de la position) = dérivée partielle par rapport à x de V(xyz), y et z considérés constants. Le théorème de l'énergie cinétique T, permet d'écrire: Si les Forces sont conservatives, il existe une fonction énergie potentielleV telle que : Relation entre énergie potentielle V et Force Cette relation n'est vrai que si la force est conservative L'énergie mécanique se conserve (est constante) si les forces sont conservatives.

11. Ceci est une conséquence de . Multiplions scalairement par le vecteur vitesse Remarque :

12. Soit : Exemples de forces conservatives : Ressort : Si nous appelons (x-xo) = X = élongation du ressort, alors : Force de gravitation : ici la référence Vo = 0 est prise en A, soit rA = RT Si la référence est prise à l’infini, Vo=0 pour rA=

13. Force électrostatique : S’il n’y a pas de charge électrique à l’infini, on peut prendre r =  commepoint de référence. Alors :

14. Son énergie mécanique est alors : Exemple d’application de la conservation de l’énergie : Vitesse de libération d’un satellite : L’énergie potentielle gravitationnelle d’un satellite de masse m est : Pour que, lancé à partir de la surface de la Terre (r = RT), il arrive à l’infini avec une vitesse v nulle, sa vitesse de lancement vo doit satisfaire la relation : La vitesse de libération ne dépend pas de la masse de l’objet à libérer, elle est inversement proportionnelle à la distance du point de lancement au centre de la Terre.