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PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11. PROCESSI ALEATORI.

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PROCESSI ALEATORI

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Presentation Transcript

  1. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

  2. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.1 PROCESSI ALEATORI : VARIABILE ALEATORIA ASSOCIATA ALL’ ESPERIMENTO DOVE S=SPAZIO DEGLI EVENTI E P =PROBABILITA’. : E’ UNA FUNZIONE NUMERICA ASSOCIATA ALLE USCITE ELEMENTARI DELL’ ESPERIMENTO . UN PROCESSO ALEATORIO E’ UNA FAMIGLIA DI FUNZIONI DEL TEMPO, CIASCUNA ASSOCIATA AD UNA REALIZZAZIONE AD UN ISTANTE FISSATO ,IL PROCESSO ALEATORIO COINCIDE CON UNA VARIABILE ALEATORIA

  3. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.2 ESEMPIO : VARIABILE ALEATORIA, COSTANTE E’ UN PROCESSO ALEATORIO SE . LE COSINUSOIDI SONO TUTTE IN FASE, MA CON AMPIEZZE CHE DIPENDONO DALLE USCITE ELEMENTARI DELL’ ESPERIMENTO.

  4. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.3 ESEMPIO : SEQUENZA DI 0 E 1 EQUIPROBABILI E INDIPENDENTI (EQUIVALENTI A USCITA CONVERTITORE A/D). PROCESSO BINARIO SORGENTE DI BIT A T secSENZA MEMORIA ESPERIMENTO ESEGUITO INFINITE VOLTE T 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 INTERA SEQUENZA DI 0 E 1.

  5. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.4 ALTERNANZA DI 0 E 1 DIPENDENTE DA UNA DISTRIBUZIONE POISSONIANA. SE SI MANTIENE COSTANTE LA DENSITA’ DEI PUNTI E SI RIPETE L’ ESPERIMENTO OTTENGO FUNZIONI NEL TEMPO SIMILI CHE COSTITUISCONO UN PROCESSO ALEATORIO. T 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1

  6. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.5 STATISTICHE DEL IORDINE SE SI CONSIDERA UN ISTANTE DI TEMPO “GENERICO” , ALLORA SI PUO’ DEFINIRE LA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE DI PROBABLITA’ ; DA CUI SI PUO’ RICAVARE LA RELATIVA DENSITA’ (OPERAZIONE DI DERIVATA). IN PRATICA SI CONOSCETUTTA LA STATISTICA DEL I ORDINE (FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE E DENSITA’)

  7. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.6 STATISTICHE DEL IIORDINE SE SI CONSIDERANO DUE ISTANTI GENERICI , , ALLORA SI PUO’ DEFINIRE : CHE E’ LA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CONGIUNTA TRA 2 V.A. IN MODO ANALOGO SI POSSONO CALCOLARE LE STATISTICHE DI ORDINE SUPERIORE A N=2 IN MODO DA CARATTERIZZARE COMPLETAMENTE IL PROCESSO ALEATORIO. IN PRATICA, CI SI FERMA ALLA STATISTICA DI II ORDINE, OSSIA AL CALCOLO DEI PARAMETRI CHE LA DEFINISCONO.

  8. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.7 VALORE MEDIO VARIANZA FUNZIONE DI COVARIANZA FUNZIONE DI CORRELAZIONE (PROC. COMPLESSI) FUNZIONE DI CORRELAZIONE (PROC. REALI) SE I PROCESSI SONO COMPLESSI ALTRIMENTI

  9. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.8 STAZIONRIETA’ DI UN PROCESSO ALETORIO DEF : LE PROPRIETA’ STATISTICHE DEL PROCESSO SONO INVARIANTI ALLE TRASLAZIONI TEMPORALI. ALLORA, SE IL PROCESSO E’ STAZIONARIO : STAZIONARIETA’ IN SENSO STRETTO (S.S.S.) : OGNI STATISTICA E’ INVARIANTE ALLE TRASLAZIONI NEL TEMPO (DIPENDE SOLO DA ).

  10. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.9 STAZIONARIETA’ IN SENSO LATO (S.S.L.) : SE LA STATISTICA DEL I E DEL II ORDINE NON DIPENDONO DAL TEMPO t . SI CONSIDERANO SOLO PROCESSI ALEATORI DEL TIPO S.S.L

  11. AUTOCORRELAZIONE CROSS-CORRELAZIONE (1) Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.10 ESEMPIO 1 SI VERIFICHI SE IL PROCESSO , CON , V.A E’ S.S.L. V.A. GENERICA. V.A. CON DENSITA’ UNIFORME TRA E E INDIPENDENTI TRA LORO E’ IMPORTANTE L’ ORDINE DI (IN PARTICOLARE NEL CASO DI PROCESSI COMPLESSI) :

  12. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.11 NEL CASO DI PROCESSI REALI, SCAMBIANDO LE VARIABILI SI HA : CHE IN GENERE E’ DIVERSA DA (OSSIA NON E’ INVARIANTE RISPETTO ALLO SCAMBIO DI V.A.). NEL CASO DI PROCESSI COMPLESSI SI HA : SE SI SCAMBIANO GLI ISTANTI TEMPORALI, SI OTTIENE :

  13. POTENZA DEL PROCESSO Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.12 MA POICHE’ QUESTA E’ COMPLESSA CONIUGATA DELLA (1) , ALLORA : SE SI TIENE CONTO DEL SIGNIFICATO FISICO DI TALI FUNZIONI, ALLORA : 2 POTENZA MENO IL VALOR MEDIO AL QUADRATO

  14. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.13 INOLTRE SI NOTI CHE : • SEMPRE • SE SONO 2 V.A. , ALLORA PER CARATTERIZZARLE E’ NECESSARIO CONOSCERE : • VALOR MEDIO • VARIANZA • COVARIANZA

  15. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.14 SI DEFINISCE QUINDI IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE : DOVE : SI NOTI CHE, PER PROCESSI SSL, LA POTENZA DEL PROCESSO E’ COSTANTEMENTE PERI AL VALORE , QUINDI : E ANALOGAMENTE PER

  16. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.15 ESEMPIO 2 : PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE E’ LEGATO ALLA DISTRIBUZIONE POISSONIANA DEI PUNTI : RICORDO CHE E’ IL NUMERO MEDIO DI PUNTI SULL’ INTERVALLO UNITARIO t  E’ UNA DENSITA’. IN GENERALE : t

  17. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.16 E INDIPENDENTI SE GLI INTERVALLI NON SONO SOVRAPPOSTI. SI DEFINISCE PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE (PTC) DOVE E’ IL NUMERO DI PUNTI NELL’ INTERVALLO (0,t).

  18. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.17 +1 PARTENDO DA t=0 OVE x(t)=1, POICHE’ n(t)=0 E’ PARI, SI HANNO COMMUTAZIONI DA +1 A -1 E VICEVERSA OGNIQUALVOLTA E’ PRESENTE UN PUNTO. SE MANTANGO LA STESSA DENSITA’ E RIPETO L’ ESPERIMENTO OTTENGO UNA DIVERSA SEQUENZA. IL LORO INSIEME FORMA IL PROCESSO ALEATORIO. SI CALCOLI IL VALOR MEDIO : t -1

  19. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.18 DOVE, ESSENDO EVENTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI : ANALOGAMENTE :

  20. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.19 QUINDI : LA MEDIA E’ DIPENDENTE DAL TEMPO  PROCESSO NON STAZIONARIO. SI CALCOLI LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE.

  21. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.20 QUINDI (LEGGE DI BAYES) : DOVE MENTRE LA PROBABILITA’ CONDIZIONATA IMPLICA UN NUMERO PARI DI COMMUTAZIONI NELL’ INTERVALLO .

  22. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.21 ANALOGAMENTE SI OTTIENE (RICORDANDO CHE : E ).

  23. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.22 ESSENDO FUNZIONE PARI SI HA SE SI VUOLE RENDERE IL PROCESSO STAZIONARIO, ALLORA SI CONSIDERI :

  24. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.23 DOVE CON UGUAL PROBABILITA’ ED INDIPENDENTEMANTE DA x(t) ALLORA : POICHE’ IL VALOR MEDIO E’ ORA COSTANTE, MENTRE DATO CHE ORA IL PROCESSO E’ S.S.L. OSS : SI NOTI CHE ORA NON ESISTE PIU’ IL VALORE PREVILEGIATO +1 NELL’ ORIGINE DEI TEMPI.

  25. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.24 ESEMPIO 3 : DISTRIBUZIONE POISSONIANA (PROCESSO TELEGRAFICO) SI CONSIDERI LA DISTRIBUZIONE DI POISSON : DOVE E’ LA DENSITA’, CIOE’ IL NUMERO MEDIO DI ATTRAVERSAMENTI PER LO ZERO NELL’ UNITA’ DI TEMPO. LA PROBABILITA’ DI AVERE PUNTI IN E IN , CON E NON SONO SOVRAPPOSTI E INDIPENDENTI. IL PROCESSO ALEATORIO SI OTTIENE FACENDO VARIARE UN SEGNALE TEMPORALE IN RELAZIONE A TALE DISTRIBUZIONE.

  26. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.25 LA DISTRIBUZIONE DI POISSON E’ LEGATA A PROBLEMI FISICI COME I CONTEGGI DELLE CHIAMATE TELEFONICHE, LE EMISSIONI RADIOATTIVE,CODE. LA STATISTICA DI TALE PROCESSO x(t) E’ DATA DA : DATO CHE PER PROCESSI REALI : VALORE MEDIO

  27. MA SE ALLORA : Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.26 OSS : VA A ZERO TANTO PIU’ RAPIDAMENTE QUANTO E’ MAGGIORE, OSSIA POCA “MAMORIA” SE GRANDE. OSS : SE IL PROCESSO E’ REALE E SSL LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE E’ PARI SE IL PROCESSO E’ SSL ALLORA NON VARIA SE INCREMENTO L’ ISTANTE t DI UNA QUANTITA’ ARBITRARIA c .

  28. MA ALLORA Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.27 PROPRIETA’ DEI PROCESSI S.S.L. REALI DIM :

  29. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.28 • POTENZA DEL PROCESSO (attenzione alle unita’ di misurax(t) si può vedere come tensione su una resistenza di 1ohm : potenza [watt]=[volt]2 /[ohm]). LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE ESPRIME IL LEGAME CHE C’E’ TRA 2 CAMPIONI (LEGAME DI COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE) . INFATTI, SE ALLORA :

  30. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.29 QUESTA E’ LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE NORMALIZZATA INFATTI, DATE 2 V.A. x E y , IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE VALE: ALLORA SE E SI HA CHE :

  31. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.30 OSSIA : CHE SINTETIZZA LA RELAZIONE ESISTENTE TRA 2 CAMPIONI DEL SEGNALE NEL CASO CHE , RAPPRESENTA LA MEMORIA DEL SEGNALE NELL’ ULTIMO ESEMPIO, SI NOTI CHE LA MEMORIA SI PERDE DOPO CIRCA QUINDI MAGGIORI LE COMMUTAZIONI NELL’ UNITA’ DI TEMPO ( ALTO) MINORE E’ LA MEMORIA DEL PROCESSO.

  32. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.31 ESEMPIO :PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE SI CONSIDERI UN PTC SIFFATTO : TALE PROCESSO y(t) E’ IN RELAZIONE COL PRECEDENTE x(t) MEDIANTE: ALLORA : y(t) 1 t +1 -1

  33. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.32 INOLTRE : IN GENERALE, SE SI HANNO 2 PROCESSI CON E ALLORA E

  34. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.33 ESEMPIO : PROCESSO ALETORIO COSINUSOIDALE SI CONSIDERI : IL PROCESSO E’ PERIODICO, INFATTI CON QUINDI : V.A. QUALUNQUE V.A. CON DENSITA’ UNIFORMA TRA 0 E 2 E t t

  35. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.34 CIOE’ LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE DI PROCESSI PERIODICI E’ PERIODICA DI PERIODO UGUALE A QUELLO DEL PROCESSO. QUINDI :MEMORIA PERIODICA  COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE PERIODICO   ”MEMORIA STRUTTURALE”

  36. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.35 RUMORE BIANCO E’ UN PARTICOLARE PROCESSO ALEATORIO DOVE : CHE NEL CASO STAZIONARIO DIVENTA : • LA CORRELAZIONE TRA 2 CAMPIONI IN E E’ SEMPRE 0 (CAMPIONI SCORRELATI SE )

  37. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.36 • NON E’ POSSIBILE STABILIRE CON CERTEZZA LA POTENZA DEL PROCESSO ( ) • SE ALLORA TALE PROCESSO SI CHIAMA RUMORE BIANCO • UN PROCESSO SI DICE NORMALE O GAUSSIANO SE I SUOI CAMPIONI PRESI AD ISTANTI ARBITRARI, SONO V.A. CONGIUNTAMENTE GAUSSIANE.

  38. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.37 PROCESSO BINARIO SEMICASUALE SI CONSIDERI UN PROCESSO BINARIO SIFFATTO : • LE COMMUTAZIONI AVVENGONO A INTERVALLI FISSI DI LUNGHEZZA T. • I DUE VALORI SONO ASSUNTI CON UGUAL PROBABILITA’. • L’ ORIGINE DEI TEMPI COINCIDE CON UNA COMMUTAZIONE (PER TUTTE LE REALIZZAZIONI). • IL PROCESSO E’ SENZA MEMORIA (OSSIA COMMUTAZIONI INDIPENDENTI TRA LORO).

  39. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.38 ESEMPIO : LANCIO RIPETUTO DELLA MONETA (+V0=TESTA, -V0=CROCE).

  40. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.39 SE SI CONSIDERA UN PROCESSO x(t) SIFFATTO, ALLORA : E LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE SI CONSIDERI E DIVIDIAMO IN DUE CASI : 1) INTERVALLI DI COMMUTAZIONE DIVERSI  INDIPENDENTI

  41. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.40 2) SI SCELGA E (NEL CASO COMPLETAMENTE ARBITRARIO, SARA’ SEMPRE POSSIBILE SCRIVERE ) QUINDI DISTA DA E DI CONSEGUENZA PUO’ TROVARSI NELLO STESSO INTERVALLO DI COMMUTAZIONE OPPURE IN QUELLO SUCCESSIVO. 0 T 2T 3T t

  42. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.41 • SE E SONO NELLO STESSO INTERVALLO, ALLORA : • SE E SONO IN INTERVALLI ADIACENTI, ALLORA : ALLORA LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE NON DIPENDE DA , MA ANCHE DALLA POSIZIONE DI  PROCESSO NON STAZIONARIO.

  43. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.42 ESEMPIO : PROCESSO BINARIO CASUALE PROCESSO BINARIO SIMILE A QUELLO PSEUDOCASUALE : • CADENZA FISSA T. • 2 VALORI EQUIPROBABILI • FASE CASUALE, CIOE’ LA DISTANZA DEL PIU’ VICINO ISTANTE DI COMMUTAZIONE DALL’ ORIGINE DEI TEMPI E’ ALEATORIA (CON DENSITA’ UNIFORME). • ASSENZA DI MEMORIA TRA INTERVALLI SUCCESSIVI

  44. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.43 DATA L’ IPOTESI DI PROCESSO S.S.L., SI CALCOLI IL VALOR MEDIO E LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE. OSSIA SI DEVONO MEDIARE I VALORI CHE IL PROCESSO ASSUME IN TUTTE LE REALIZZAZIONI PER UN ISTANTE GENERICO. • FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE MEDIA DI INSIEME DATA L’ EQUIPROBABILITA’ DI

  45. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.44 IL PRODOTTO PUO’ VALERE OPPURE , ALLORA MA SE E APPARTENGONO ALLO STESSO INTERVALLO, ALLORA IL PRODOTTO VALE SE E NON APPARTENGONO ALLO STESSO INTERVALLO, ALLORA SI DEVONO CONSIDERARE LE POSSIBILITA’ CONDIZIONALI (NOTARE CHE GLI IMPULSI SONO TRA LORO INDIPENDENTI).

  46. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.45 SI RICORDA CHE : DOVE : E QUINDI : ….. ….. …..

  47. E PERCHE’ LA PROBABILITA’ DI AVERE O E’ PARI A 1/2 . Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.46 SI SUPPONGA : ALLORA E  INTERVALLI DIVERSI  IN QUANTO

  48. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.47 EQUIVALE A TENER FISSA L’ ORIGINE E SCEGLIERE A CASO t NELL’ INTERVALLO T (CASUALITA’ DELL’ ORIGINE). ALLORA E  STESSO INTERVALLO SE t E’ NEL SOTTOINTERVALLO T- ////////////

  49. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.48 MA : ( CON UGUAL PROBABILITA’)

  50. Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.49 QUINDI : SI RICORDI CHE, PER UN PROCESSO A VALOR MEDIO NULLO, IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE TRA DUE CAMPIONI VALE : OSSIA SI PUO’ FARE PREVISIONE SUL CAMPIONE CORRENTE A PARTIRE DA UNO NOTO SE IL CORRENTE DISTA MENO DI T DAL CAMPIONE NOTO.

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