5. Analiza circuitelor electrice

1. 5. Analiza circuitelor electrice • Utilizarea MATLABului pentru rezolvarea circuitelor electrice poate fi văzuta ca o metoda alternativa sau ca o soluţie simultana pentru rezolvarea ecuaţiilor care le definesc. • Prin scrierea unor programe, ca fişiere script sau function, si prin utilizarea funcţiilor MATLAB, cum ar fi: ode, diff, fplot, plot, global etc, se pot calcula si vizualiza diferiţi parametrii (curentul, tensiunea, puterea etc) care caracterizeaza functionarea circuitului respectiv, atat in regim staţionar cat si in regim tranzitoriu. • Variaţia parametrilor unui circuit poate fi studiata prin aplicarea teoremelor si legilor din electrotehnica (Teoremele lui Kirchoff, Legea lui Ohm etc). Teoremele lui Kirchoff reprezintă, de fapt, relaţiile fundamentale pentru calculul circuitelor electrice.

2. 5.1. Circuite electrice de curent continuu • Circuitele electrice de curent continuu sunt circuitele aflate in regim electrocinetic staţionar. Ele sunt formate dintr-un ansamblu de surse electrice (tensiune, curent), rezistoare, bobine si /sau condensatoare. • Calculul unui circuit electric se poate face pe baza schemei electrice a acestuia in care intervin doar parametrii elementelor de circuit. • In analiza circuitelor electrice in regim staţionar intervin diferite conexiuni de rezistoare si surse de tensiune si / sau curent.

3. Analiza circuitelor in regim stationar • Ex. 44: Se da circuitul rezistiv din figura. Cunoscandu-se parametrii R1 = 100 Ω, R2 = 100 Ω, Us = 5V. • Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic curentul (I) prin circuit si tensiunea (U) la bornele rezistentei de sarcina (R2) a circuitului. • Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic transferul maxim de putere (puterea disipata pe rezistenta de sarcina), ştiind ca U = 10 V, R1 = 10 kΩ, rezistenta de sarcina se modifica in plaja R2 = (0-50) kΩ, cu pasul de 1 kΩ. • Solutie: Marimea de intrareeste tensiunea sursei (Us), iar parametrii de iesire sunt curentul (I) si tensiunea (U). • Aplicandu-se Teorema lui Kirchoff pentru tensiuni (teorema a doua) se obtine:

4. Pentru a face legatura intre parametrii tuturor secventelor function, se utilizeaza functia global: • 2) Se scrie un fisier function cu numele L2, utilizand functia global: function I=L2(u) global r1 r2 us=5; I=u / r2; function I=L1(u) global r1 r2 us=5; I=(us-u) / r1; • De asemenea, se mai scrie un fisier script cu numele „TestL1”, care trebuie apelat dupa rularea fisierul function L2, cu urmatoarea secventa, global r1 r2 r1 = 100; r2 = 100; u=0:0.01:5; I1=L1(u); I2=L2(u); figure, subplot(121), plot(u, I1), grid,subplot(122), plot(u, I2), grid • Se scrie un fisier function cu numele L1 care conţine urmatoarea secventa: function I=L1(u) r1=100; r2=100;us=5; I=(us-u)/r1; function I=L2(u) r1=100; r2=100; us=5; I=u / r2; • Dupa rularea fisierului L1, se tasteaza urmatoarea comanda, in fereastra de comenzi (command window), subplot(121), fplot('L1',[0,5]), grid, subplot(122), fplot('L2', [0,5]), grid • In fisierul function L1 de mai sus trebuie declarate valorile numerice ale celor doua rezistente in definirea fiecarei functii. Daca avem mai mult de doua astfel de functii programul poate deveni dificil iar timpul de rulare poate fi suficient de mare.

5. b) Puterea disipata pe rezistenta de sarcina se poate calcula cu următoarea secvenţa, utilizând ecuaţia (29): • %acest fişier script calculează %transferul maxim de putere %disipata pe rezistenta de sarcina us=10; r1=10e3; r2=0:1e3:50e3; k = length(r2); %componentele vectorului r2 • %Secventa următoare va calcula puterea disipata pe R2 for i=1:k p2(i)=((us/(r1+r2(i)))^2)*r2(i); end plot(r2, p2, r2, p2,’o’), title(’Puterea disipata pe rezistenta de sarcina’); xlabel(’R_2 (W)’), ylabel(’P_2 (W)’)

6. Calculul tensiunilor si curenţilor intr-un circuit electric Rezolvarea circuitelor electrice se poate face prin: • Aplicarea teoremelor lui Kirchoff si legea lui Ohm ; I = inv(Z)*V sau I = Z \ U • Utilizarea Teoremei curentilor ciclici (de contur). Prin aceasta metoda se pot calcula curentii din ochiurile de retea a circuitului respectiv. • Teorema potentialelor la noduri. Prin aplicarea aceastei metode, daca circuitul respectiv conţine N noduri si noi selectam unul dintre ele ca referinta, vor rezulta N-1 ecuatii din care putem calcula tensiunea intre nodurile circuitului respectiv.

7. Ex. 45: Sa se calculeze tensiunile si curentii pentru circuitul din figura, stiind ca: RL = 2Ω; • Solutie: Aplicand teoremele lui Kirchoff si legea lui Ohm putem scrie urmatoarele ecuatii pentru curentii si tensiunile circuitului electric din figura: • U1 = 5, U1-U2 = 50 I1, U2-U3 = 100 I2, U2 = 300 I3, U3 = 2 I2, I1 = I2+I3 • Ansamblul ecuatiilor valorilor necunoscute ale tensiunilor si curentilor are forma matriciala (A): • Construim un vector coloana UI, cu primele trei componente reprezentand tensiunea (U1, U2, U3) iar urmatoarele trei componente se refera la curentii din circuit (I1, I2, I3). Dupa care scriem un fisier script cu urmatoarea secventa: • A=[1 0 0 0 0 0;1 -1 0 -50 0 0;0 1 -1 0 -100 0;0 1 0 0 0 -300;0 0 1 0 -2 0;0 0 0 1 -1 -1]; Us=[5;0;0;0;0;0];UI=A \ Us; UI =5.0000 3.0178 0.0592 0.0396 0.0296 0.0101

8. Rezolvarea circuitelor cu Teorema curentilor de contur (ciclici) • Ex. 46: Utilizând teorema curenţilor de contur sa se calculeze curentul (I) care trece prin rezistenta R4 a circuitului din figura si puterea (P) furnizata de sursa de tensiune (us = 10 V), ştiind ca R = 10 Ω, R1 = 30 Ω, R2 = 15 Ω si R3 = 30 Ω: • Solutie: Utilizând teorema curenţilor de contur si alegând sensurile acestora ca in figura se poate observa ca puterea furnizata de sursa de tensiune este P = 10 I1 iar curentul care trece prin rezistenta R4 este I = I3 – I2. • Se scriu ecuaţiile corespunzătoare fiecărui ochi de reţea:

9. In forma matriciala ecuatiile (37) - (39) devin: • Programul MATLAB pentru calcularea curentilor I1, I2 si I3 si I si a puterii P poate fi scris intr-un fisier script: Z=[40 -10 -30; -10 30 -5; -30 -5 65]; U=[10 0 0]‘; I=inv(Z)*U; Ir4=I(3)–I(2);%curentul prin rezistenta R4 fprintf('Curentul prin rezistorul R4 este: %8.3f A \n', Ir4') P = I(1)*10; %puterea furnizata de sursa de tensiune • fprintf('Puterea furnizata de o sursa de tensiune de 10V este: %8.4f W\n ‘,P) • MATLABul genereaza urmatorul raspuns: Curentul prin rezistorul R4 este: 0.037 A Puterea furnizata de o sursa de tensiune de 10V este: 4.7531 W

10. Rezolvarea circuitelor cu Teorema potentialelor la noduri • Ex. 47: Pentru circuitul din figura 38, sa se gaseasca tensiunea intre nodurile 1, 2 si 3 (U1, U2 si U3). • Solutie: Utilizand teorema lui Kirchoff si luand in considerare regula conform careia curentii care ies dintr-un nod sunt pozitivi, vor rezulta urmatoarele ecuatii pentru fiecare nod:

11. In forma matriciala ecuatiile 44-46 devin: • Fişierul script care calculează sistemul matricial de ecuaţii si care generează valorile tensiunilor la noduri are forma: %Acest fişier calculează tensiunile la noduri U1, U2 si U3 Y=[0.15 -0.1 -0.05; -0.1 0.145 -0.025; -0.05 -0.025 0.075]; I=[5; 0; 2]; fprintf(‘Tensiunile la noduri U1, U2 si U3 sunt: \n') U=inv(Y)*I • Se returnează următorul rezultat: Tensiunile la noduri U1, U2 si U3 sunt: U = 404.2857 350.0000 412.8571

12. Circuite electrice in regim tranzitoriu • Calculul mărimilor circuitelor electrice in regim tranzitoriu se refera la circuitele cu caracter capacitiv si / sau inductiv • Se rezolva cu ajutorul Teoremelor lui Kirchoff, metoda transformatei Laplace (metoda operationala), Teorema curentilor de contur sau Teorema potentialelor la noduri, Teorema conditiilor initiale, Teoremele generatoarelor echivalente (Teorema lui Tevenin si Teorema lui Norton) sau cu ajutorul marimilor de stare (MM - ISI).;

13. Circuite electrice in regim tranzitoriu • Pentru analiza circuitelor de curent continuu in regim tranzitoriu se considera circuitul RC descris in figura • Studiul acestui circuit se poate face cu ajutorul Teoremei lui Kirchoff pentru curent; • Daca condensatorul este initial neincarcat, u(t) = 0 la t=0 (conditii initiale), atunci solutia ecuatiei este data de relatia: • u(t) reprezinta raspunsul in domeniu timp a unui circuit RC, sau iesirea unui circuit care are ca intrare o tensiune continua constanta, iar RC reprezinta constanta de timp a circuitului.

14. Circuite electrice in regim tranzitoriu - Exemple • Ex. 48: Sa se reprezinte grafic tensiunea (u(t)) la bornele unui condensator, stiind ca C = 10 µF, daca rezistenta R = 1 kΩ, R = 10 kΩ si R = 0.1 kΩ. • Solutie: Se scrie un fisier script cu urmatorul continut: %incarcarea unui circuit RC c=10e-6;r1=1e3;tau1=c*r1; t =0:0.002:0.05; u1=10*(1-exp(-t/tau1)); r2=10e3;tau2=c*r2; u2=10*(1-exp(-t/tau2)); r3=0.1e3;tau3=c*r3; u3=10*(1-exp(-t/tau3)); plot(t,u1,t,u2,t,u3), title(’Incarcarea unui condensator cu trei constante de timp’); axis([0 0.06 0 12]); xlabel(’Timpul (s)’), ylabel(’Tensiunea pe condensator (V)’)

15. Ex. 49: Pentru o tensiune de intrare dreptunghiulara (us) cu amplitudinea de 5V si latimea pulsului de 0.5sec si un condensator C = 10 µF, sa se reprezinte grafic tensiunea la bornele condensatorului u(t) pentru o rezistenta de 2.5 kΩ si apoi pentru una de 10 kΩ. • Solutie: Se scrie un fisierfunction cu numele rceval care va conţine secventa: function [v, t] = rceval(r, c) tau = r*c; for i = 1:50 t(i)=i/100; v(i)=5*(1-exp(-t(i)/tau)); end vmax=v(50); for i=51:100 t(i)=i/100;v(i)=vmax*exp(-t(i-50)/tau); end • Si un fisier script cu numele testrceval, care va apela fisierul functionrceval, si care conţine secventa : c=10.0e-6;r1=2500; [v1,t1]=rceval(r1,c);r2=10000; [v2,t2]=rceval(r2,c); figure,plot(t1,v1,t1,v1,'*b',t2,v2,t2,v2,'og'), axis([0 1 0 6]) title('Raspunsul unui circuit RC pentru un semnal de intrare dreptunghiular') xlabel('Timpul (s)'), ylabel('Tensiunea pe condensator (V)')

16. Transformata Laplace • Una din cele mai simple modalitati ale MATLABului de a calcula si de-a reprezenta grafic curentul si tensiunea unui circuit RLC, pentru studiul diferitelor regimuri tranzitorii, este utilizarea transformatei Laplace. • Un sistem de ecuaţii, care defineşte funcţionarea unui circuit RLC, conţine ecuaţii diferenţiale care pot fi convertite foarte simplu in ecuaţii algebrice cu ajutorul Transformatei Laplace. • Necunoscutele circuitului (tensiunea sau curentul) vor fi calculate in acest caz in domeniul operational (s). • De asemenea, utilizând Transformata Laplace inversa, soluţia unei ecuaţii poate fi exprimata in domeniul timp.

17. Ex. 51: Sa se determine tensiunea u(t) la bornele unui condensator pentru circuitul RLC paralel din figura 45, ştiind ca R = 10 Ω, L = 1 / 32 H, C = 50 µF, Is = 2 A. • La t < 0, tensiunea la bornele condensatorului este uC(0) = 2 * 10 = 20V si curentul prin bobina iL = 0; • La t > 0, comutatorul se închide si toate cele patru elemente sunt in paralel. • Utilizând Teorema lui Kirchoff va rezulta ecuaţia: • Aplicând Transformata Laplace ecuaţiei (57) vom obţine:

18. Se scrie un fisierfunction, cu numele diff2, cu solutia ecuatiei diferentiale si un fisier script principal care apeleaza fisierul function si care reprezinta grafic tensiunea la bornele condensatorului utilizandfunctia MATLAB ode23 si Transformata Laplace: %Fisierul function cu Solutia unei ecuatii diferentiale de ordinul 2 function xderivat = diff2(t,x) is=2;C=50e-6;L=1/32;R=10;k1=1/C; k2=1/L; k3=1/(R*C); xderivat = [0 k2; -k1 -k3]*[x]+[0; k1*is]; %Fisierul script principal pentru analiza regimurilor tranzitorii a unui circuit RLC paralel %utilizand functia ode (solutie numerica) si Transformata Laplace %Analiza reg. tranzitoriu cu functia ode23 t0=0; tf=30e-3;tspan=[t0 tf]; x0=[0 20]; % conditiile initiale [t, x] = ode23('diff2',tspan,x0); subplot(211), plot(t, x(:,2)); %coloana 2-a a matricii x reprezinta tensiunea pe condensator xlabel('Timpul, s'), ylabel('Tensiunea pe condensator, V'); %Analiza reg. tranzitoriu utilizand Transformata Laplace t2=0:1e-3:30e-3; ut=-6.667*exp(-1600*t2)+26.667*exp(-400*t2); subplot(212),plot(t2, ut); xlabel('Timpul (s)'),ylabel('Tensiunea pe condensator (V)');

20. Circuite electrice de curent alternativ • Conceptual nu exista nici o diferenţa intre studiul circuitelor electrice pur rezistive, in regim staţionar (permanent sinusoidal), si studiul circuitelor electrice inductive si capacitive, daca scriem ecuaţiile circuitelor in forma matriciala sau le înlocuim cu fazori. Singura diferenţa, fata de circuitele rezistive, consta in faptul ca matricele conţin ca elemente numere complexe si impedanţa acestor circuite depinde de frecventa. • Relaţiile fazoriale tensiune – curent pentru rezistor, bobina si condensator sunt: • Si in acest caz pentru studiul diferitelor regimuri de funcţionare se utilizează Teoremele lui Kirchoff, Teorema potenţialelor la noduri, Teorema curenţilor ciclici (de contur) etc. • MATLABul utilizează funcţii de integrare numerica (quad, quad8) pentru a obţine valorile efective, medii sau instantanee ale diferiţilor parametrii, cum ar fi curentul, tensiunea sau puterea. • Circuitele trifazate pot fi analizate prin conversia in domeniul frecventa • Daca se cunoaşte funcţia de transfer (fdt) a unui circuit, librăria de funcţii MATLAB conţine funcţii dedicate care pot evalua fdt la o anumita frecventa, sau pot calcula polii si zerourile funcţiei respective

21. Analiza circuitelor electrice de c.a. in regim stationar • MATLABul conţine doua functii pentru integrarea numerica, quad si quad8, a circuitelor electrice. • Ex. 52: Pentru circuitul din figura se cunosc valorile instantanee ale tensiunii si curentului. Sa se determine puterea medie, valoarea efectiva a tensiunii si factorul de putere utilizand • a) metoda analitica • b) metoda numerica.

22. Solutie: Se scrie fisierul script cu urmatorul continut, care va apela si un fisier function („Tensiunea”) creat pentru a defini tensiunea, curentul si puterea: • %Acest fisier calculeaza puterea medie si efectiva si factorul de putere • %utilizand functia MATLAB de integrare numerica quad %Calcul numeric T=2*pi/(220*pi);%perioada formei de unda sinusoidale a =0;b=T; %limitele de integrare x =0:0.02:1; t=x.*b; Uint=quad('Tensiunea',a,b); Uef=sqrt(Uint/b); %tensiunea efectiva Iint=quad('Curentul',a,b); Ief=sqrt(Iint/b);%Valoarea efectiva a curentului Pint=quad('Putereainstantanee',a,b); Pmedie=Pint/b; %puterea medie k =Pmedie/(Ief*Uef); %factorul de putere %Solutia analitica: P_amedie=(60/2)*cos(30*pi/180); U_aef=10/sqrt(2);k_a=cos(30*pi/180);

23. fprintf('Puterea medie analitica %f\n Puterea medie numerica: %f\n',P_amedie,Pmedie) • fprintf('Tensiunea efectiva analitica %f\n Tensiunea efectiva numerica: %f\n',U_aef,Uef) • fprintf('Factorul de putere analitic %f\n Factorul de putere numeric: %f\n',k_a,k) • Fisierul function Tensiunea are următorul conţinut: function Usq=Tensiunea(t) %aceasta functie este utilizata pt. a defini tensiunea instantanee Usq=(10*cos(220*pi*t+60*pi/180)).^2; function Isq=Curentul(t) %Aceasta functie defineste curentul instantaneu Isq=(6*cos(220*pi*t+30*pi/180)).^2; function Pt=Putereainstantanee(t) %aceasta functie defineste puterea instantanee It=6*cos(220*pi*t+30*pi/180); Ut=10*cos(220*pi*t+60*pi/180); Pt=It.*Ut;

24. Circuite de curent alternativ RC, RL si RLC • Rezolvarea circuitelor de curent alternativ (studiul diferitelor conditii de functionare), cu ajutorul MATLABului, se poate face prin metode analitice si prin metode numerice iterative. • In inginerie electrica se apeleaza de multe ori la ecuatii diferentiale pentru studiul diferitelor probleme tehnice, cum ar fi rezolvarea circuitelor electrice. • Se scriu ecuatiile unui astfel de circuit aplicand, de exemplu Legea lui Ohm sau Teoremele lui Kirchoff, dupa care se rescriu ecuatiile intr-o forma diferentiala simplificata de ordinul 1 sau 2, in functie de elementele componente ale circuitului respectiv (bobine, condensatoare).

25. Ex. 53: Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic tensiunea la bornele condensatorului (tensiunea de iesire) pentru circuitul RC din figura, pentru intervalul de timp 0<=t<=6, stiind ca tensiunea de alimentare (tensiunea de intrare) este un semnal sinusoidal (u=sin(t)). • Ecuatia diferentiala care descrie tensiunea pe condensator a circuitului din figura este data de relatia: • Ecuatia (71) poate fi rescrisa sub forma simplificata: • Solutie: Inlocuind ecuatia (73) in ecuatia diferentiala (72) a circuitului RC va rezulta solutia ecuatiei diferentiale de ordinul 1 (Tensiunea pe condensator):

26. Considerând a=1 / 2π, se scrie fişierul script care va calcula si reprezenta grafic tensiunea pe condensator (uC(t)): • %Reprezentarea grafica a tensiunii pe condensator pt. un circuit de c.a. RC tin=0;tfin=6; t =linspace(tin,tfin,3000); %genereaza un vector linie cu 3000 de puncte intre tin si tfin N=length(t); %dimensiunea vectorului timp y =zeros(1, N);dt=(tfin-tin)/(N-1); u =sin(t); %semnalul de intrare a =(1/(2*pi))*ones(1,N); %a=RC b =ones(1,N); y(1)=0; %conditie initiala D(1)=(1/a(1))*(u(1)-b(1)*y(1)); for k=2:N y(k)=((2*a(k)/dt+b(k))^(-1))*(2*a(k)*y(k-1)/dt+a(k)*D(k-1)+u(k)); %tensiunea pe condensator D(k)=(2/dt)*(y(k)-y(k-1))-D(k-1); end plot(t,y,t,u,'--'), xlabel('Timpul'), ylabel('Tensiunea'), title('Tensiunea pe condensator si tensiunea de intrare a unui circuit RC'), grid

28. Exemplul urmator va descrie rezolvarea unui circuit RLC cu ajutorul MATLABului utilizand o metoda iterativa de ordinul 2 si o metoda de integrare numerica ode. • Ex. 54: Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic tensiunea pe condensator in functie de timp pentru circuitul RLC din figura 50, pe intervalul , stiind ca LC=1, RC=3 si ω=1. • Ecuatia care calculeaza tensiunea pe condensator a circuitului RLC din figura este: • Ecuatia diferentiala de ordinul 2 se poate scrie sub forma: • In care a=LC, b=RC si c=1 sunt constantele de timp ale circuitului. • Solutia ec. diferentiale este data de relatia:

29. Solutie 1: Pentru conditiile initiale y(t=0)=y’(t=0)=0 se scrie un fisier script cu urmatoarea secventa : • %Reprezentarea grafica a tensiunii pe condensator pt. un circuit de c.a. RLC tin=0;tfin=16*pi; t=linspace(tin,tfin,2000);%genereaza un vector linie cu 2000 de puncte intre tin si tfin a =1;b=3;c=1; w=1; %a=LC, b=RC, c=1 N=length(t); %dimensiunea vectorului timp y =zeros(1,N);dt=(tfin-tin)/(N-1); u =sin(w*t);%semnalul de intrare y(1)=0; D(1)=0; D2(1)=(1/a)*(-b*D(1)-c*y(1)+u(1)); for k=2:N y(k)=((4*a/dt^2+2*b/dt+c)^(-1))*(y(k-1)*(4*a/dt^2+2*b/dt)+D(k-1)*(4*a/dt+b)+a*D2(k-1)+u(k)); %tensiunea pe condensator D(k)=(2/dt)*(y(k)-y(k-1))-D(k-1); D2(k)=(4/dt^2)*(y(k)-y(k-1))-(4/dt)*D(k-1)-D2(k-1); end plot(t,y,t,u,'--'), xlabel('Timpul'), ylabel('Tensiunea'),title('Tensiunea pe condensator si tensiunea de intrare a unui circuit RC'),axis([0 50 -1 1])

30. Solutie 2: Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic tensiunea pe condensator pentru circuitul RLC din figura 50, utilizand metoda de integrare numerica ode45 (Runge-Kutta) si sa se compare graficul rezultant cu cel obtinut anterior. • Se scrie un fisier function cu numele RLC.m care va include sistemul de ecuatii, dupa care se va scrie un fisier script „test RLC” care-l va include (apela) pe cel function: function zp=RLC(t,z) %Acest fisier function reprezinta grafic tensiunea pe condensator intr-un %circ RLC cu metoda ode45(Runge-Kutta) si include sistemul de ecuatii a =1;b=3;c=1;zp(1,1)=z(2,1); zp(2,1)=(1/a)*(sin(t)–b*z(2,1)–c*z(1,1)); %Acest fisier script reprezinta grafic tensiunea pe condensator intr-un %circ RLC cu metoda ode45(Runge-Kutta) si acceseaza fisierul function RLC tspan=[0 16*pi]; zin=[0;0]; [t,z]=ode45('RLC',tspan,zin); plot(t,z(:,1),t,sin(t)),axis([0 50 -1 1]), xlabel('Timpul'),title('Comparatie intre Tensiunea pe condensator intr-un circuit RLC si Tensiunea sursei de alimentare')

32. Răspunsul in domeniul timp si frecventa • Răspunsul în domeniul timp: - furnizează informaţii despre regimul tranzitoriu al modelelor liniare invariante în timp, pentru diferite tipuri de semnale de intrare şi perturbaţii; - permite determinarea unor caracteristici şi parametri (indicatori) ai sistemului respectiv, necesare în proiectare, cum ar fi: timpul de creştere, timpul de răspuns, timpul de reglare sau eroarea de regim staţionar. • Răspunsul în domeniul frecvenţă/pulsaţie a unui sistem reprezintă diferenţa amplitudinii şi fazei unui semnal sinusoidal de la intrarea şi ieşirea acestuia.

33. Raspunsul in domeniul timp • Dacă se doreşte să se reprezinte grafic răspunsul în domeniul timp pentru un semnal treaptă şi impuls, se utilizează comenzile step(sys) şi impulse(sys).

34. Locul geometric al radacinilor si alocarea polilor • Functia MATLAB pt. alocarea polilor:pzmap • Iar pt. locul geometric al radacinilorrlocus;

35. Răspunsul in frecventa • Răspunsul în frecvenţă sau diagrama Bode, alături de algoritmii de reglare ai regulatoarelor de tip proporţional-integrator-derivativ (RG-PID), sunt cele mai utilizate metode de proiectare ale sistemelor de conducere utilizate în industrie. • Mărimea de ieşire a unui sistem liniar, având ca mărime de intrare un semnal sinusoidal, este tot o sinusoidă de aceeaşi frecvenţă, dar de amplitudine şi fază diferite. • Se poate aplica sistemelor de tip SISO sau MIMO, considerând sistemul respectiv liniar. • Este utilizat pentru proiectarea sistemelor de conducere, acordarea parametrilor unor regulatoare sau pentru proiectarea diferitelor filtre electronice/filtre de reţea etc.

36. Reprezentarea grafica a raspunsului in domeniul frecventa • Dacă se doreşte reprezentarea grafică a răspunsului sistemului în domeniul frecvenţă, se utilizează funcţia bode(sys), sau bodemag(sys) care reprezintă grafic doar amplitudinea diagramei Bode.

37. Funcţii dedicate creării şi conversiei modelelor liniare • Biblioteca Control System furnizează şi un set de funcţii (tf, ss, zpk, frd) pentru crearea a patru tipuri de modele liniare, invariante în timp (Linear Time Invariant-LTI), şi pentru conversia dintr-un model în altul

38. Conversia modelelor • Funcţia c2d realizează conversia modelelor continue în modele discrete echivalente, implementate prin tf, zpk şi ss; • Se poate realiza şi conversia inversă, utilizând funcţia d2c; • Metodele care realizează această conversie (discretizarea sistemelor liniare) sunt: zero-order-hold, first-order-hold, Tustin biliniar approximation (metoda trapezului), Tustin with frequency prewarping şi matched poles and zeros. • Aceste funcţii pot fi apelate cu următoarele sintaxe: sysd=c2d(sysc, Ts, Metoda) Sysc=d2c(sysd, Metoda) • Dacă nu se specifică metoda de discretizare, atunci MATLABul va realiza conversia, utilizând metoda zoh (zero-order-hold). • O funcţie similară, cu cele de mai sus, este d2d, care poate fi utilizată atunci când se doreşte discretizarea modelului cu un alt pas de eşantionare decât cel precedent.

39. Parametrii si caracteristici de baza pt. proiectarea SRA • Eroarea de regim staţionar caracterizează precizia de funcţionare a SRA în regim staţionar. • Suprareglajul este un indice de calitate al SRA în regim tranzitoriu, provocat de o variaţie a mărimii de intrare, şi reprezintă depăşirea maximă de către mărimea de ieşire a valorii staţionare. • Gradul de amortizare este tot un indice de calitate al regimului tranzitoriu şi reprezintă diferenţa dintre unitate şi raportul amplitudinilor a două semioscilaţii succesive ale mărimii de ieşire, raportate la valoarea de regim staţionar. • Timpul de creştere, timpul atingerii primului maxim şi timpul primei atingeri a valorii staţionare sunt indici de calitate care caracterizează rapiditatea răspunsului tranzitoriu al SRA. • Timpul de răspuns al SRA reprezintă timpul măsurat de la începutul procesului tranzitoriu până când, diferenţa dintre mărimea de ieşire şi valoarea sa staţionară scade sub o anumită limită (de ex. 5 %).

40. Conceptul de instabilitate a unui sistem în buclă închisă (RG+plant) este definit de marginea/rezerva de stabilitate. În acest sens, diagrama Bode furnizează doi parametrii: marginea de amplitudine (gain margin-GM) şi marginea/rezerva de fază (phase margin-PM), după cum descrie figura din dreapta. • Un SRA liniar este stabil dacă marginea de fază (PM) şi marginea de amplitudine (GM) sunt pozitive. Dacă PM=0 sistemul se află la limita de stabilitate, iar dacă unul din cei doi parametri este negativ sistemul liniar este instabil.

41. Diagrama Nyquist • Diagrama Nyquist este utilizată, în tandem cu diagrama Bode, la estimarea performanţelor sistemelor de reglare automată, în buclă închisă (cu buclă de reglare/reacţie), pe baza proprietăţilor sistemului fără buclă de reglare, folosind fdt a acestuia, atunci când diagrama Bode oferă informaţii confuze despre stabilitatea sistemului în buclă deschisă. • Criteriul Nyquist este cel mai important criteriu de apreciere a stabilităţii SRA, în timp continuu. • De asemenea, diagrama Nyquist poate fi utilizată pentru a găsi domeniul de variaţie al factorului de amplificare (gain) al regulatorului, pentru care sistemul în buclă închisă este stabil. • Funcţia MATLAB, pentru reprezentarea grafică a diagramei Nyquist, este: nyquist(num, den)

42. Diagrama Nyquist - Exemplu nyquist(50,[1 9 30 40]) După cum rezultă din figura sistemul modelat prin fdt este stabil, deoarece diagrama Nyquist nu conţine nici o încercuire (suprapunere) a celor două axe în jurul valorii de -1 (punctul critic). Acest lucru se datorează faptului că, polii fdt ai sistemului nu sunt alocaţi în semiplanul drept. Utilizarea diagramei Nyquist permite vizualizarea intuitivă şi aprecierea gradului de stabilitate a sistemului şi a influenţei modificării unor parametrii ai acestuia asupra stabilităţii.

43. Diagrama Nyquist - Exemplu

44. Analiza circuitelor electrice utilizând răspunsul în frecvenţă • Să se calculeze şi să se reprezinte grafic răspunsul în frecvenţă al circuitului RLC din figura ştiind că: • R=10 kΩ, C=1,12 µF şi L = 5H • ce se întâmplă dacă rezistenţa se modifică la valoarea R = 100 Ω în timp ce L şi C rămân neschimbate?

45. Soluţie: Se scrie fişierul script (raspunsulfrecventaRLC.m) cu următoarea secvenţă: • L=5; C=1.25e-6; R1=10000; R2=100; %parametrii circuitului • num1=[R1 / L 0]; den1=[1 R1/L 1/(L*C)];%numărătorul şi numitorul fdt • w=logspace(1, 4); f=w / (2*pi); h1=freqs(num1, den1,w); • mag1=abs(h1);phase1=angle(h1)*180 / pi; • num2=[R2/L 0]; den2=[1 R2/L 1/(L*C)]; • h2=freqs(num2,den2,w); mag2=abs(h2);phase2=angle(h2)*180/pi; • subplot(221),loglog(f,mag1,'+'),title('Raspunsul amplitudine pt. R=10k'),ylabel('Amplitudinea') • subplot(222),loglog(f,mag2,'--'),title('Raspunsul amplitudine pt. R=0.1k'),ylabel('Amplitudinea') • subplot(223),semilogx(f,phase1,'--'),title('Raspunsul faza pt. R = 10k'), • xlabel('Frecventa (Hz)'),ylabel('Unghiul de faza (grade)') • subplot(224),semilogx(f,phase2),title('Raspunsul faza pt. R = 0.1k'), • xlabel('Frecventa (Hz)'),ylabel('Unghiul de faza (grade)')

46. Fig. arata ca, deoarece rezistenta rezistorului R2 scade de la 10k la 0.1k, latimea de banda a raspunsului in domeniul frecventa scade si totodata factorul (indicatorul) de calitate al circuitului creste.