Solución de problemas que involucran campos aleatorios de conductividad hidráulica

1. Solución de problemas que involucran campos aleatorios de conductividad hidráulica

2. Capitulo 7.7.5

3. Capitulo 7.7.5 • El método de Monte Carlo es un método no deterministico ó estadístico numérico usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud.

4. Las características estadísticas del campo de conductividad hidráulica son conocidas. Por conveniencia asumimos que el campo es homogéneo, estacionario e isótropo. Capitulo 7.7.5 Bajo esta suposición se requiere que la media y la desviación estándar sean constantes en el espacio y que la covarianza en dos lugares dependa solamente de ellas

5. Capitulo 7.7.5 • En la aproximación Monte Carlo, una muestra de valores de conductividad hidráulica, una para cada nodo de la malla numérica, se dibuja de un conjunto de valores consistentes con la estadística del campo. A tal conjunto de valores se le llama una valoración

6. Capitulo 7.7.5 • El valor calculado de la variable de estado constituye una valoración de la variable de estado del campo aleatorio.

7. Capitulo 7.7.5 • El procedimiento se repite para valoraciones adicionales de la estadística de los parámetros del campo y de los registros de las simulaciones de la variable de estado. Obteniendo suficientes valoraciones, la estadística resultante de la variable de estado, debe ser consistente con la descripción estadística del campo del parámetro.

8. La pregunta que surge es, como se puede generar una serie de valoraciones del campo de parámetros, en nuestro caso valores de la conductividad hidráulica, que sean consistentes con la estadística del parámetro conocido. simulación secuencial gausiana. método turning bands latin hypercube sampling descomposición LU Capitulo 7.7.5

9. Definiciones • The popular turning bands method (TBM) generates realizations of two- or three-dimensional Gaussian random fields from appropriately summed line processes. • The statistical method of Latin hypercube sampling (LHS) was developed to generate a distribution of plausible collections of parameter values from a multidimensional distribution. The sampling method is often applied in uncertainty analysis.

10. Capitulo 7.7.5 • Una carga constante de 500m se ubica en el centro del cuadrado. En cada esquina del cuadrado se define una carga de 0m. los lados del cuadrado representan fronteras de no-flujo y no- difusión. La malla consiste de 27 bloques de lado donde cada bloque es de 100m X 100m. en el centro del cuadrado se localiza una fuente constante de concentración 10. el campo de flujo es tal que el agua con una concentración de 10 entra a través del pozo de inyección en el centro del cuadrado y sale por las esquinas.

11. Capitulo 7.7.5

12. Capitulo 7.7.5 • La conductividad hidráulica se distribuye logaritmicamente normalizada con una media del ln K de 5 y la varianza de 1. la relación para la covarianza es. Donde cov es la covarianza de dos puntos separados por una distancia r, rx y ry,es la distancia entre los puntos a lo largo del eje x y del eje y, respectivamente, (100m entre puntos vecinos para este ejemplo), l son las correlacionasen las direcciones x y y respectivamente (224m en cada dirección).

13. Capitulo 7.7.5 • El primer paso para resolver este problema es hacer una valoración del campo aleatorio de la conductividad hidráulica. Para esto, se examina la distribución normal de los valores de ln K.

14. Capitulo 7.7.5

15. Capitulo 7.7.5 • la fuente de tales distribuciones en cada ubicación nodal podría ser obtenida con el algoritmo de kriging. En la aproximación LHS la función de densidad de probabilidad en cada localización nodal, es dividida en áreas iguales. Por tanto la probabilidad de seleccionar un valor de ln K es la misma en cada intervalo.

16. Capitulo 7.7.5 • ln Ki • Distribución lognormal

17. Capitulo 7.7.5 • Supóngase que se harán 10 simulaciones monte carlo, de forma tal que se necesitaran 10 valoraciones del campo aleatorio, cada una conteniendo cuatro valores de la conductividad hidráulica ( una para cada uno de los cuatro elementos).

18. Capitulo 7.7.5

19. Capitulo 7.7.5 Posteriormente hágase una descomposición cholesky tanto para R como para R*; esto es, obtener los factores Q y Q’ tal que QQ’=R y P P’ tal que PP’=R*. Ahora calcúlese una nueva matriz K’=K(PQ-1)’ es, en cierto sentido, una estimación de los valores necesarios para las valoraciones. Su matriz de correlación se muestra en la tabla 7.7. una comparación entre esta matriz de correlación y la matriz de correlación R* prueba que K’ tiene la misma matriz de correlación que la target

20. Capitulo 7.7.5 Hay dos aspectos a considerar: • Esta serie de valores tiene la estructura de correlación completa. • No así para los valores originalmente mostrados para las cuatro distribuciones de probabilidad de los ln K. • Para darle la vuelta a este problema re-acomodamos los valores correctos (matriz K ) y la fabricada (matriz K’) en la forma mostrada en las tablas 7.8 y en 7.9.

21. Capitulo 7.7.5 Por ejemplo en la columna uno el valor mas pequeño es 3.355 y su correspondiente en la columna rango es 1. el valor mas grande en la columna izquierda tiene un valor de 6.935 y su correspondiente en la columna rango es 10. • Los valores en la columna etiquetada rank en esta tabla indica la magnitud relativa en los números en la columna de la izquierda.

22. Capitulo 7.7.5 Finalmente, re-arreglamos las valoraciones en la matriz K usando los rangos en la matriz K’. en otras palabras, los valores en K se re-arreglan de forma tal que el orden de su rango sea el mismo que el de K’. la nueva matriz D es formada como se muestra en la tabla 7.10.

23. Capitulo 7.7.5 Cada fila de la matriz D forma un conjunto de valoraciones del LHS. La matriz de correlación de D formada por el re-acomodo de los valores se muestra en la tabla 7.11. Es muy parecida a la matriz de correlación target . Ahora se tiene un conjunto de muestras que tienen los valores correctos de la distribución y casi la correlación correcta.

24. Capitulo 7.7.5 Para efectuar la simulación montecarlo, resolveríamos los 4 elementos del problema de flujo de agua subterránea diez veces, usando una fila de la matriz D para cada simulación. Registraríamos los valores asociados con cada una de las corridas y de cada una de estas calcular la estadística de la variable de estado.

25. Capitulo 7.7.5 Regresando al problema definido en la figura 7.22, se muestra en la figura 7.24 una valoración del campo aleatorio para este problema generado usando la técnica LHS.

26. Capitulo 7.7.5 La solución para los valores de la media de la carga hidráulica se muestran en la figura.

27. Capitulo 7.7.5 La varianza de los valores de la carga se muestran en la figura.

28. Capitulo 7.7.5 Para cada valoración de el ln K se calcula un valor de la carga del campo. De la ecuación de Darcy, se calcula una velocidad del campo.

29. Capitulo 7.7.5 La media de la concentración del campo para el problema de los cinco puntos se muestra en la figura

30. Capitulo 7.7.5 La varianza respectiva se muestra en la figura

31. Capitulo 7.7.5 • Que tan bien funciona el método monte carlo con los distintos esquemas usados para generar valoraciones? En otras palabras, si se usan los cuatro métodos principales para valoraciones, cual es la razón de convergencia relativa de la solución de monte carlo a la solución correcta conforme el numero de valoraciones se incrementa. • A causa de la manera en que el LHS se calculo, no hay errores en el calculo de la media de las valoraciones. Sin embargo, el calculo de la covarianza es mas difícil de obtener de acuerdo a lo visto previamente. • Debido a esto, hay que considerar una comparación de la covariaza calculada tanto con LHS como con simulación gausiana.

32. Capitulo 7.7.5 En la figura se muestra una estimación del error entre los valores calculados y los exactos de la correlación para los dos métodos usando la raíz media cuadrática del error. Se observa que ambos métodos convergen al valor correcto de la solución conforme el numero de valoraciones se incrementa. Sin embargo, en este ultimo ejemplo, el LHS converge mas rápidamente, llegando al valor mas preciso haciendo 800 valoraciones.

33. Capitulo 7.7.5 Ahora examinemos que tan rápido se aproximan al valor correcto el calculo de la covarianza de la concentración obtenido haciendo uso de la aproximación a la ecuación de flujo y transporte. En este caso no hay solución conocida de forma tal que se hará uso de una solución inexacta como referencia. Se ha elegido como solución después de 900 valoraciones.