MBA DE LOGÍSTICA | FCAP- UPE

1. MBA DE LOGÍSTICA | FCAP- UPE Métodos Quantitativos Aplicados a Logística Prof. Carlos Alberto Martins

2. - MÉTODOS QUANTITATIVOS -Programação linear aplicada à Logística Dado um sistema real,o modelo emprega símbolos matemáticos para representar as variáveis de decisão do sistema real. Essas variáveis são relacionadas por funções matemáticas que expressão o funcionamento do sistema. A solução consiste em encontrar valores adequados das variáveis de decisão que otimizem o desempenho do sistema, segundo o critério desejado. Modelos de programação linear são identificado pelas seguintes características: Uma função objetiva de (maximização ou minimização) que deve ser otimizada. Um conjunto de equações e/ou inequações lineares (restrições) As variáveis de decisão que são não negativas, ou seja,positivas ou nulas.

3. MÉTODOS QUANTITATIVOS -Programação linear aplicada à Logística – cont. Considere o modelo geral de programação linear Max.Z = c1x1 + c2x2 + .....+ cnxn, s.a a11x1 + a12x2 + ....+ a1n <= b1 a21x1 + a22x2 + .... + a2n <= b2 .............................................. am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <= bn x1.>= 0 ; x2>=0; .....;xn>=0 Onde: Xj = nível de produção do produto j. ( j =1,2,...,n ) incógnitas do problema Cj = lucro ou custo do produto j. bi = quantidade disponível do recurso i (bi >= 0) aij =quantidade de recurso i consumida na produção de uma unidade do produto j.

4. Programação linear aplicada à Logística – cont. construção de modelos Exercício1: A Cia forjas minas produz dois produtos A e B que utilizam os mesmos recursos produtivos:matéria-prima, forja e polimento. Cada unidade do produto A requer 4 horas de forjaria e 2 horas de polimento, enquanto que cada unidade do produto B exige 2 horas de forjaria e 3 horas de polimento.A capacidade produtiva equivalente diária é de 220 horas na seção de forjaria e 250 horas no polimento.O preço unitário de venda do produto A é de R$1.900,00 e do produto B é R$2.100,00 e toda a produção tem mercado garantido. Pede-se: • Formule o modelo matemático que maximize a receita da empresa; • Determine a solução pelo método gráfico. Solução – O ca e cb são respectivamente os preços de venda dos produtos A e B a11 , a12 , a21 e a22 são as horas de forjaria e polimento respectivamente. b1 e b2 são as capacidades diária produtiva de forjaria e polimento. Assim, o modelo tem o seguinte aspecto

5. Programação linear aplicada à Logística – cont. Máx Z = 1.900,00Xa + 2.100,00Xb , s.a 4 xa + 2 xb <= 220 2 xa + 3 xb <= 250 xa , xb > = 0 Exercício 2: Considere o seguinte problema: Uma empresa fabrica dois produtos, A e B. O lucro unitário do produto A é de R$ 1.000,00 e de B é R$1.500,00. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade do produto A e de 30 horas para fabricar uma unidade do produto B. O tempo anual de produção disponível é de 1.200 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram à decisão de que o montante do produto A produzido não deve ultrapassar 40 unidades anuais e o montante de B não deve ultrapassar 30 unidades anuais. A empresa deseja maximizar o lucro do ano. Solução: Máx Z = 1.000 xa + 1.500 xb , s.a 20xa + 30xb <= 1.200 xa <= 40 xb <= 30 xa , xb >= 0

6. Programação linear aplicada à Logística – cont. Solução Gráfica Exemplo1: Para conseguir fundo para a festa de  formatura, Jose, Carlos e izabel vão produzir 2 tipos brinquedos (A e B), cujos lucros por unidade são R$ 300,00 e R$ 400,00 respectivamente. Na linha de produção cada brinquedo passa por 3 etapas: Modelagem, Pintura e Acabamento. Jose , encarregado da modelagem , dispõe de 20 horas por semana , Carlos encarregado a pintura dispõe de 30 horas por semana e Izabel encarregado do acabamento dispõe de 16 horas semanais.Use os dados da tabela para determinar o lucro Maximo. x1 = n° de brinquedos do tipo A na semana x2 = n° de brinquedos do tipo B na semana

7. Programação linear aplicada à Logística – cont. Lucro (Max) = 300(4) +400(6) = R$ 3600,00 Lucro (Max) = 300(4) +400(6) = R$ 3600,00 Lucro (Max) = 300(4) +400(6) = R$ 3600,00

8. Programação linear aplicada à Logística – cont. Exemplo 2: As Caravanas Marco Polo Llda. usam dromedários (1 bossa) e camelos (2 bossas) para transportar figos secos de Bagda para Meca. Um camelo pode levar no máximo 1000 lbs e um dromedário 500 lbs. Durante a viagem um camelo consome 3 fardos de feno e 100 galões de água. Um dromedário consome 4 fardos de feno e 80 galões de água. As estações da Marco Polo, situadas em vários oásis ao longo do caminho, apenas têm disponíveis 1600 galões de água e 60 fardos de feno. Os camelos e os dromedários são alugados a um pastor perto de Bagda a 11 pazuzas por camelo e 5 pazuzas por dromedário. Se as Caravanas Marco Polo Llda. tiverem uma carga de 10000 lbs de figos para transportar, quantos camelos e dromedários devem ser usados para minimizar a renda a pagar ao pastor ? Variáveis de decisão : quantidade de camelos a usar (x1) quantidade de dromedários a usar (x2) Restrições : capacidade da caravana disponibilidade de feno disponibilidade de água

9. Programação linear aplicada à Logística – cont. • Minimizar Z = 11 x1 + 5 x2 (renda) sujeito a • 1 000 x1 + 500 x2 ≥ 10 000 (capacidade) • 3 x1 + 4 x2 ≤ 60 (feno) • 100 x1 + 80 x2 ≤ 1 600 (água) • x1, x2 ≥ 0 (não negatividade)

10. Programação linear aplicada à Logística – cont.

11. Programação linear aplicada à Logística – cont. Solução Algébrica - Método Simplex O método simplex é um método interativo (algoritmo) utilizado para encontrar Algebricamente, a solução ótima de um problema de PL. • PASSOS DO SIMPLEX • Achar uma solução básica inicial; • Verificar se a solução é ótima. Se for pare.caso contrario, siga para o passo 3 • Determinar a variável não básica que deve entra na base. • Determinar a variável básica que deve sair da base; • Achar a nova solução compatível básica e voltar ao passo 2. Seja o Problema Máximizar z = 3x1 + 2x2 + 5x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 <= 430 3x1 + 2x3 <= 460 x1 + 4x2 <= 420 x1, x2, x3 >= 0

12. Programação linear aplicada à Logística – cont. Primeiro passo: Transformar o sistema de M desigualdades lineares restritivas Em um sistema de M equações lineares. Assim; x1 + 2x2 + x3 + x4 = 430 3x1+ 2x2 + x5 = 460 x1+ 4x2 + x6 = 420 Segundo passo: Colocar as equações em forma de tabela Z – 3x1 - 2x2 – 5x3 = 0 x1 + 2x2 + x3 + x4 = 430 3x1 + 2x3 x5 = 460 x1 + 4x2 + x6 = 420

13. Programação linear aplicada à Logística – cont. Terceiro passo: Determinar uma solução inicial viável X1=x2=x3=0 X4 =430; x5 = 460; x6 = 420

14. Programação linear aplicada à Logística – cont. Quarto passo: Verificar se a solução é ótima A solução não é ótima,porque as variáveis x1,x2 e x3 assume valor zero. Quinto passo:Determinar a variável que entra xi , e Sexto passo: Determinar a variável que saí xi

15. Programação linear aplicada à Logística – cont. No caso, entra x3 e sai x5. A intercessão x3 ^ x5 é o pivô Sétimo passo: Calcular a nova matriz de coeficientes, executando as operações convenientes nas linhas da matriz.

16. Programação linear aplicada à Logística – cont. Oitavo passo: Repetir todos os passos, do 4 ao 7, tantas vezes quanto forem Necessárias, até que a solução ótima seja encontrada. O máximo de z é 1350, para x2 = 100, x3 =230 e x6 = 20

17. Programação linear aplicada à Logística – cont. Método simplex – Casos especiais Serão estudados em seguida alguns casos que podem ocorrer nos modelos de programação linear e que não foram considerados anteriormente. 1) Problemas de Minimização Foram resolvidos, até agora, modelos com função objetiva a ser maximizadas. Quando a função objetivo for de minimização pode-se fazer duas coisas: • Inverter o teste de otimização e o critério de entrada na base. • Transformar o problema de minimização num problema de maximização.por exemplo, Min W = 2x1 + 3x2 - 5x3 equivale a: Máx Z = -2x1 - 3x2 + 5x3 e na solução final fazer W = - Z 2) Empate na entrada Quando houver empate na escolha da variável que entra na base, deve-se escolher a variável arbitrariamente. A única implicação envolvida na escolha é um caminho mais longo ou mais curto para se obter a solução ótima.

18. Programação linear aplicada à Logística – cont. 3) Empate na saída – Degeneração Como no caso anterior, a decisão deve ser arbitraria. Apresenta-se um exemplo para analise das implicações desse empate. Máx Z = 5x1 + 2x2 s.a x1 <= 3 x2 <= 4 4x1 + 3x2 <= 12 x1 , x2 >= 0

19. Programação linear aplicada à Logística – cont. Escolhendo a variável que saí,vem: linha 1 : x1 <= 3/1 = 3 linha 2 : x1 <= 4/0 = ind linha 3 : x1 <= 12/4 = 3 Obs:Note que a variável básica x5 é nula. Isso sempre ocorrerá quando houver um empate na saída. Neste caso, as variáveis x3 e x5 se anularam ao mesmo tempo. Quando isso ocorrer diz-se que a solução fatível básica é degenerada.

20. Programação linear aplicada à Logística – cont. A próxima tabela será: Obs: Se na ocasião do empate fosse escolhido x5 em vez de x3, para sair da base, obter-se-ia:

21. Programação linear aplicada à Logística – cont. Obs: Neste caso conseguiu-se chegar à solução ótima com uma interação a menos. Problemas Propostos: 1) Máx Z = 2x1 + 3x2 , s.a -x1 + 2x2 <= 4 x1 + x2 <= 6 x1 + 3x2 <= 9 x1, x2 >=0 Achar a solução gráfica. 2) Máx Z = 7x1 + 9x2 , s.a x1 - x2 >= - 2 3x1 + 5x2 <= 15 5x1 + 4x2 <= 20 x1, x2 >= 0 achar a solução gráfica

22. Programação linear aplicada à Logística – cont. 3) Máx z = 3x1 + x2 + 5x3 , s.a x1 - 2x2 + 4x3 + x4 = 12 2x1 + x2 + 3x3 + x5 = 15 x1, x2, x3, x4, x5 >= 0 • Qual a solução básica inicial óbvia e qual o valor de Z? • Supor que a variável x3 passe de 0 a 1, mantidos x1 = x2 = 0. Qual o valor resultante de x4, x5 e de Z? Casos de Dificuldades Suponha que todos os bj sejam >=0. Haverá dificuldade quando o modelo apresentar uma restrição do tipo >=. Nesses casos, usa-se o processo da função objetiva artificial ou método de duas fases. A fase I consiste em abandonar ou não a função objetiva e trabalhar com a função objetivo artificial, formada pela variável artificial. Se o modelo requerer mais de uma variável artificial para completar a base inicial, a função objetiva Z será igual a soma dessas variáveis artificiais. Assim, o objetivo na fase I é fazer com que a ou as variáveis artificiais sejam igual a zero, excluindo-se da base a função artificial, antes de se passar para a II fase. Seja o problema de programação linear.

23. Programação linear aplicada à Logística – cont. Min Z = - x1 + 2x2 , s.a 6x1 + 5x2 >= 90 - x1 + x2 <= 8 2x1 - x2 <= 20 x1, x2 >= 0 Resolver pelo simplex.

24. Programação linear aplicada à Logística – cont.

25. Programação linear aplicada à Logística – cont. Solução Final: X1 = 190/16 X2 = 30/8 X3 = 0 X4 = 258/16 X5 = 0 A1 = 0 Z = - x1 + 2x2 Z = -190/16 + 2.30/8 = - 70/16 Resolução de problemas de programação Linear utilizando Excel através da ferramenta “Solver”

26. Resolução de PL usando a ferramenta solver O software Excel resolve problemas de Programação linear através da ferramenta “Solver”. Seja o problema de programação Linear: Maximizar o lucro Z = x1 + 1.5 x2, s.a 2 x1 + 2 x2 <= 160 x1 + 2 x2 <= 120 4 x1 + 2 x2 <= 280 x1, x2 >= 0 Para resolver qualquer problema de PL utilizando o Excel, deve-se montar a seguinte planilha:

27. Resolução de PL usando a ferramenta solver

28. Resolução de PL usando a ferramenta solver Na célula D2 é digitada a seguinte fórmula: =SOMARPRODUTO(B2:C2;$B$6:$C$6), idem para as células D3, D4,D5. uma vez adicionadas estas fórmulas à planilha pode-se alterar os valores das células B6 e C6 que correspondem aos valores de x1 e x2 e verifica-se que os valores das células D2, D3,D4 e D5 (coluna total) são alterados automaticamente. Agora, a planilha esta pronta para utilizar a ferramenta “solver”, que irá resolver o problema de programação linear. Para ativar o comando Solver deve-se clicar sobre a célula D5, que corresponde ao valor da função objetivo, e após em ferramentas solver. A janela “parâmetros do solver “então irá aparecer sobre a planilha. A figura mostra a planilha neste estágio. Nesta janela o campo “definir célula de destino“ aparece o valor $D$5, correspondente ao valor da função objetivo. O campo “células variáveis” corresponde aos valores de x1 e x2. Assim,seleciona-se com o mouse as células (B6 e C6).

29. Resolução de PL usando a ferramenta solver Após a seleção das células B6 e C6,deve-se clicar na caixa “adicionar” para inserir as restrições. Em seguida clicar na caixa “adicionar” onde irá aparecer outra janela denominada “adicionar restrição”. Nesta janela o campo “referencia de célula”, deve-se selecionar as células D2, D3 e D4 e no campo “restrição deve-se selecionar as células F2, F3 e F4 conforme mostra a figura.

30. Resolução de PL usando a ferramenta solver Após estas seleções deve-se clicar na caixa “opções” na janela “parâmetros do solver” e verificar se o campo “presumir modelo linear”bem como “presumir não negativos”. Retornando a janela “parâmetros do solver” clica-se na caixa “resolver”, que irá então resolver o PL. A figura abaixo mostra a planilha com o resultado ótimo.

31. Resolução de PL usando a ferramenta solver Como pode-se observar, os valores das células B6 e C6 são iguais a 40 (valores ótimos). A célula D5, com valor igual a 100 correspondendo ao valor da função objetiva.

32. Problemas do transporte aplicado à logística Introdução O modelo de transporte tem como objetivo minimizar o custo total do transporte necessário para abastecer n centros consumidores(destinos) a partir de m centros fornecedores (origens). O modelo tem o seguinte aspecto:

33. Problemas do transporte aplicado à logística Exemplo1: considere situação onde há 3 fábricas produzindo o mesmo produto e 4 depósitos onde estes produtos são estocados para posterior venda. As produções nas fábricas são:a1 = 40, a2 = 80, a3 = 110. Nos depósitos devem ser atendidas as seguintes demandas:b1 = 20, b2 = 30, b3 = 100, b4 = 80. Os custos unitários de transporte do produto são dados por: Achar um modelo de PL para determinar o programa de entregas do produto com mínimo custo de transporte.

34. Problemas do transporte aplicado à logística Regra do canto esquerdo ou canto Noroeste: Consiste em, iniciando pelo arco (1, 1) ou trajeto O1D1 associado ao canto superior esquerdo da tabela usada pelo algoritmo, e através de deslocamentos sucessivos para a direita e para baixo, atingir o canto inferior direito da tabela, distribuindo a produção disponível nas origens pelos arcos (chamados arcos básicos) de forma a atender as demandas nos destinos. Nota:Uma linha (ou coluna) é explorada até que a produção (ou demanda) desta linha (ou coluna) seja esgotada (ou atendida). Em cada arco deve-se alocar a maior quantidade de produto possível. Custo da solução: 20.10 + 20.5 + 10.0 + 70.1 + 30.14 + 80.6 = 1270.

35. Problemas do transporte aplicado à logística Casos especiais Ofertas e demandas desbalanceadas Podem ocorrer duas situações: Obs:Custos de transporte nos trajetos fictícios são nulos. Em seguida, aplica-se o método do canto noroeste normalmente. Exemplo2:Resolva o seguinte problema de transporte Custo total: 20*6 + 10*4 + 10*50 + 10*0 + 10*0 = 660

36. Problemas do transporte aplicado à logística Regra do Custo Mínimo Este processo fornece uma solução inícial que depende não só dos valores das ofertas e das demandas, como também,dos custos dos transportes, objetivando obter uma solução mais próxima da ótima. Os seguintes passos devem ser seguidos nos quadros de soluções: • Localize no quadro de custos o menor cij que não tenha oferta ou demanda nula; • Aloque na célula correspondente do quadro de soluções a maior quantidade permitida pela oferta e demanda correspondente; • Atualize os valores da oferta e da demanda que foram modificados pelo passo 2 e volte ao passo 1; • Este processo se repete até esgotar-se todas as origens e suprimirem todos os destinos. Exercício: Resolver o problema dado no exemplo 1.

37. Problemas do transporte aplicado à logística Custo total = 13*20 +11*30 + 14*20 + 6*40 + 80*1 + 40*4 = 1.350

38. Problemas de Designação aplicado à logística Problema de designação Partindo do principio de que o problema de transporte tem como modelo: Então, fazendo bj = 1, j=1,2,...,n e ai = 1 i=1,2,...,m podemos garantir Que os somatórios acima só terão um xij = 1 para cada par (i,j). Esse fluxo Unitário estabelece a ligação entre uma única origem a um único destino. Esse caso particular de problema de transporte é conhecido como problema de designação, pois designa cada origem a um único destino

39. Problemas de Designação aplicado à logística Dessa forma o problema toma o seguinte aspecto: • O método consiste dos seguintes passos: • Subtrair o menor elemento de cada linha dos elementos restantes dessa linha; • Subtrair o menor elemento de cada coluna dos outros elementos dessa mesma • Coluna; • Testar se a solução é ótima. • i)Traça-se o número mínimo de retas que cubra todos os zeros do quadro de soluções (horizontal ou vertical); • ii) Se o número de retas for igual a m, número de linhas ou colunas, pode-se fazer uma atribuição ótima. Vá para o passo 6, caso contrario, vá para o passo 4.

40. Problemas de Designação aplicado à logística 4) Procura-se o menor elemento não coberto pelas linhas e subtraia esse elemento dos demais não coberto. Some depois esse elemento (o menor não coberto) aos elementos que estão na interseção das retas. Todos os demais elementos devem permanecer inalterados. Vá para o passo 3. 5) Faça uma atribuição ótima. Esta atribuição é feita achando-se onde os zeros estão situados no quadro final. OBS: • O problema de designação exige uma matriz m x n. • Se o número de linhas é menor que o número de colunas a matriz é completada com linhas com elementos nulos, é equivalente a dizer que alguns dos pretendentes não serão designado. • Se o número de colunas é menor que o número de linhas acrescenta-se colunas fictícias e isso significa que alguns dos elementos não serão designados. Considere o exemplo: Uma fábrica possui quatro locais, designados por (1,2,3,4) para receber três máquinas novas (A,B,C) o local 4 não é permitido à máquina A por restrições físicas. O custo de manuseio de materiais, em $/hora, envolvendo cada máquina com a respectiva posição, é dado no quadro abaixo.

41. Problemas de Designação aplicado à logística (1) (1) (2)

42. Problemas de Designação aplicado à logística (2) Designação ótima:

43. Problemas de Designação aplicado à logística Problemas Propostos: 1)Quatro construções A, B, C e D devem ser levantadas em um campus universitário por quatro empreiteiras 1, 2, 3, e 4. Cada uma delas deve construir um edifício. As propostas financeira das construtoras estão indicadas no quadro abaixo. 2)Resolver o seguinte problema de designação: Caminhões devem se deslocar para cidades cujas distancias são dadas na tabela abaixo. Designe cada caminhão de forma que a quilometragem seja mínima.

44. Problemas de Designação aplicado à logística Resposta:Temos duas atribuições, a 1 é.