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Proporciones inversas. O de lo que pasa cuando el producto de dos variables es igual a una constante. Ricardo Ramírez Martínez y Alberto Rojas Hernández Trimestre 05P Junio de 2005. Proporciones inversas Definición. Se tienen dos variables o propiedades p y q.
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Proporciones inversas O de lo que pasa cuando el producto de dos variables es igual a una constante Ricardo Ramírez Martínez y Alberto Rojas Hernández Trimestre 05P Junio de 2005
Proporciones inversas Definición Se tienen dos variables o propiedades p y q. Se dice que la relación entre ambas es de proporcionalidad inversa –o que p es inversamente proporcional a q– si su producto es una constante, sin importar la magnitud que tengan p y q.
Proporciones inversas Definición operacional Para expresar algebraicamente la relación anterior sólo hay que escribir: (1) k es llamada constante de proporcionalidad inversa entre p y q.
Proporciones inversas Expresión equivalente Si se despeja p de la ecuación (1) es posible obtener la ecuación (2) Si se le dan diferentes valores a q para un valor dado de k, es posible obtener los valores correspondientes de p y construir una tabla. Después es posible obtener la representación gráfica de estos valores.
Proporciones inversas Cambio de variable (u 1/q) Si se define u 1/q; esto es como el inverso multiplicativo o recíproco de q, es posible obtener las ecuaciones y (3) Esto indica que existe una relación directamente proporcional entre p, u, con constante de proporcionalidad k. Tal vez es por esta razón que a la ecuación (1) se le llama “relación inversamente proporcional de p con q”.
Proporciones inversas Representaciones gráficas Gráfica de p = f(q) Gráfica de p = f(u) con u 1/q En ninguna de las dos representaciones gráficas las relaciones están definidas para q o u iguales a cero.
Proporciones inversas Análisis de la gráfica p = f(q) De la gráfica es posible obtener las siguientes conclusiones: * Las gráficas de relaciones inversamente proporcionales entre dos variables representan hipérbolas con asíntotas en los ejes. * Cuando la constante de proporcionalidad inversa es positiva: si la variable independiente (q) es positiva y crece entonces la variable dependiente (p) decrece asíntoticamente hacia 0 (cuando q tiende a ). k representa entonces una “tasa de disminución”. * Cuando la constante de proporcionalidad inversa es negativa: si la variable independiente (q) es positiva y crece entonces la variable dependiente (p) aumenta asintóticamente hacia 0 (cuando q tiende a ). k representa entonces una “tasa de aumento”.
Proporciones inversas Análisis de la gráfica p = f(u) con u 1/q De la gráfica es posible obtener las siguientes conclusiones: * Las gráficas de relaciones inversamente proporcionales entre dos variables (p,u con u 1/q) representan rectas que parecen pasar por el origen (punto (0,0) del plano cartesiano de puntos (u,p)). [Pero el punto (0,0) no forma parte del dominio de la relación.] * Cuando la constante de proporcionalidad inversa es positiva: si la variable independiente (q) crece entonces la variable (u) disminuye y la variable dependiente (p) también disminuye. k representa entonces una “tasa de disminución”. * Cuando la constante de proporcionalidad inversa es negativa: si la variable independiente (q) crece entonces la variable (u) aumenta y la variable dependiente (p) también aumenta. k representa entonces una “tasa de aumento”. * El cociente de proporcionalidad (k) indica la “inclinación” de la recta en esta representación gráfica.
Proporciones inversas Ejemplo geométrico Rectángulos de igual área. Si se tienen rectángulos de altura (a) y base (b) diferentes, pero de igual área (A), al aumentar uno de sus lados el otro debe disminuir en forma inversamente proporcional (para que el área pueda permanecer constante).
a1 b1 b1 a2 a1 a2 b2 b2 Proporciones inversas Ejemplo geométrico (representación gráfica hiperbólica)
a1 b1 b1 a2 u1 u2 b2 b2 Proporciones inversas Ejemplo geométrico con el cambio de variable u 1/a (representación gráfica lineal)
Proporciones inversas Ejemplo físicoquímico Ley de Boyle La relación entre la presión (P) y el volumen (V) de un gas ideal, a temperatura y cantidad de sustancia del gas constantes, es inversamente proporcional.
Vf , Pf Vo Vf Po Pf Proporciones inversas Ejemplo físicoquímico (representación gráfica hiperbólica) Se consideran 2 moles de un gas ideal a 25oC. Vo , Po
Vf , Pf Vo Vf uf uo Proporciones inversas Ejemplo físicoquímico con el cambio de variable u 1/P (representación gráfica lineal) Se consideran 2 moles de un gas ideal a 25oC. Vo , Po
Proporciones inversas Otro ejemplo fisicoquímico El caso de una dilución. Si se toma un volumen (Vo) de una disolución que contiene a X en concentración de cantidad de sustancia (Co) y se aumenta el volumen del sistema a un volumen final (Vf) aumentando la cantidad de disolvente, la concentración final de X (Cf) disminuye con respecto a la inicial porque la cantidad de sustancia de X en el sistema es la misma (nX).
Co Cf Vo Vf Proporciones inversas Otro ejemplo físicoquímico (representación gráfica hiperbólica) Se toma un sistema que contiene 0.2 mol en 250 mL que al agregar el disolvente alcanza un volumen de 1000 mL
Co Cf uf uo Proporciones inversas Otro ejemplo físicoquímico con el cambio de variable u 1/V (representación gráfica lineal) Se toma un sistema que contiene 0.2 mol en 250 mL que al agregar el disolvente alcanza un volumen de 1000 mL
Proporciones inversas Algo para investigar * ¿Se puede decir que la relación entre la frecuencia de las notas musicales y la longitud de la cuerda en un instrumento de ese tipo (de cuerdas) es inversamente porporcional?¿Por qué?
