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14ª aula

14ª aula. Propriedades dos métodos numéricos. Qual é o melhor método?. Se o erro de truncatura fosse o único indicador seria Crank-Nicholson, com diferenças centrais! Mas não é o único. Temos também que ver a consistência com os processos que estamos a estudar.

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Presentation Transcript

  1. 14ª aula Propriedades dos métodos numéricos.

  2. Qual é o melhor método? • Se o erro de truncatura fosse o único indicador seria Crank-Nicholson, com diferenças centrais! • Mas não é o único. Temos também que ver a consistência com os processos que estamos a estudar. • Como se faz fisicamente a Advecção (propriedade transportiva) e a Difusão? • O método upwind respeita transportividade.

  3. Difusão numérica e estabilidade de um método numérico. Ilustração das hipóteses físicas violadas no cálculo.

  4. Ci Ci+1 Ci-1 Problema unidimensional

  5. Explícito, Upwind, Cr = 1, Dif=0 Cr=(Espaço percorrido num intervalo de tempo)/(passo espacial) Cr=1, implica uma célula por passo => a aolução é exacta

  6. Explícito, Upwind, Cr= 0.5, Dif=0 Temos difusão numérica. A mancha espalha-se. Porquê? Porque violámos a definição de concentração. Como se resolve?

  7. O que aconteceu? O modelo é estável: os erros que aparecem diminuem no tempo. O modelo tem difusão numérica: a concentração vai baixando apesar de a difusão física ser nula.

  8. Explícito, Upwind, Cr=2 Temos um modelo instável: os erros aparecem e crescem. Porquê? Num modelo explícito Cr≤1. Os coeficientes têm que ser positivos.

  9. As instabilidades são consequências da violação de princípios físicos • Quando as propriedades aumentam num instante, nos instantes seguintes também só podem aumentar. • Quando Cr>1 o coeficiente de Cifica negativo e por isso quanto maior for a concentração no instante t menor vai ser em t+dt, o que iria contra a afirmação anterior. • Neste caso, durante um intervalo de tempo o volume que sai de uma célula é maior do que o que lá estava no início(Usando volumes finitos é fácil ver que isso é a causa do problema). • (verPatankar, Fluid Flow)

  10. 1D explicit central differences Courant=1 Modelo Instável. Porquê? Há um dos coeficientes que é sempre negativo. Propriedade transportiva violada. Como se resolve?

  11. Porque é instável? • Por advecção (ou por difusão) quando as propriedades aumentam num ponto, nos pontos vizinhos só podem aumentar também. • Isso implica que os coeficientes que multiplicam as concentrações nos pontos vizinhos têm que ser positivos. • Só adicionando difusão é que isso pode acontecer….

  12. Condição de estabilidade para diferenças centrais explícitas Porque é que adicionando difusão o método fica estável? Porque é que excesso de difusão torna o modelo instável?

  13. Sumário • Séries de Taylor e erro de truncatura, • Estabilidade e crescimento do erro, • Positividade dos coeficientes, • Nº de Courant e Nº de difusão. • Difusão numérica, e Passo Espacial • Propriedade Transportiva e Upwind, • Diferenças Centrais e Reynolds da Malha, • Conservação da massa. • Métodos implícitos e explícitos. • Será isto suficiente para percebermos o que estamos a fazer?

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