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Netzwerke und Perkolation

Netzwerke und Perkolation. Christian Tutsch Physik, Würzburg. Netzwerkmodelle Metabolische Vernetzung Perkolation Evolution. Random Graph Theory. Paul Erdös, Alfréd Rényi um 1960 N Knoten i mit k i Bindungen. Barabási, Rev. Mod. Phys . 74 , 47 (2002).

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Netzwerke und Perkolation

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Presentation Transcript

  1. Netzwerke und Perkolation Christian Tutsch Physik, Würzburg • Netzwerkmodelle • Metabolische Vernetzung • Perkolation • Evolution

  2. Random Graph Theory Paul Erdös, Alfréd Rényi um 1960 N Knoten i mit ki Bindungen Barabási, Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002) Q: Eigenschaft des Graphen (existieren Dreiecke, Größe, …). für viele Q eine E

  3. Small World Modell Watts, Strogatz 1998 Start mit N Knoten, K Nachbarbindungen Ändere jede Bindung mit p Barabási, Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002) Skalierung der Pfadlängel Abkürzungen für große p kleine p: große p: Schwelle crossover-Länge

  4. Eigenschaften Exponentielle Abnahme der Verknüpfungshäufigkeit, keine hochvernetzten Strukturen statisch, kein Wachstum zufällige Verknüpfungen, keine Gewichtung der Knoten

  5. Beispiele Schauspieler Versorgungsnetze World Wide Web Scaling in nicht-menschlichen Netzen?

  6. Konstruktion eines realeren Netzes Starte mit m0 Knoten Wachstum: In jedem Zeitschritt 1 neuer Knoten -fach verlinken Bevorzugte Verknüpfung: Wichtung nach Verknüpfungszahl existierender Knoten

  7. reales (?) Netz • Ergebnis nach der Zeit t: • m0+t Knoten • m∙t Verknüpfungen • P(k) ~ k-g mit • = 2.9±0.1 skalenfreier, stationärer Zustand Barabási, Science286, 509 (1999)

  8. Simulationen Sind sowohl Wachstum wie auch bevorzugte Verknüpfung notwendige Kriterien? Modell A: Gleichverteilte Verknüpfungswkt. Ergebnis: Große Cluster treten nicht auf,

  9. Simulationen Modell B: Start mit N nichtverknüpften Knoten, dann Ergebnis: Anfangs Verhalten nach Potenzgesetz, dann Sättigung Wachstum und bevorzugte Verknüpfung sind notwendige Kriterien.

  10. Metabolische Vernetzung Funktionalität von biologischen Zellen: Modulierung in Untereinheiten (Organellen, Botenstoffe) Andererseits: Betrachtung als biochemisches Netzwerk mit Vielzahl von Wechselwirkungen, skalenfrei g = 2.2 hochvernetzte Knoten: Pyruvat, Coenzym A Barabási, Science297, 1551 (2002) Vereinbarkeit von Skalenfreiheit und Modularität?

  11. Clusterkoeffizient n: Anzahl der Verbindungen, die die nächsten Nachbarn von Knoten i direkt verknüpfen mittlerer Clusterkoeffizient als Maß für die Modularität eines Netzes 43 Organismen untersucht: eine Größenordnung höher unabhängig von Clustergröße

  12. Hierarchische Netze heuristische Lösung: hierarchisches Netz: skalenfrei, Cluster als Knoten unabhängig von der Größe, aber:

  13. Einführung Perkolation Anzahldichte von s-Clustern: Wahrsch.verteilug für Punkte: Momente der Verteilung: Besetzungswahrsch. mittlere Clustergröße Adami, Introduction To Artificial Life, Springer (1998)

  14. Experiment p = 0.50 p = 0.58 p = 0.59

  15. einige Größen Stärke des unendlichen Clusters Korrelationsfunktion Korrelationslänge implizite Definition

  16. Das Bethe-Gitter „Cayley-Baum“ l = 3 l = 2 Oberfläche, Volumen l = 1 Korrelationsfunktion Perkolationsschwelle Koordinationszahl z = 3

  17. Das Bethe-Gitter Perkolationswahrscheinlickeit l = 3 l = 2 l = 1 Koordinationszahl z = 3

  18. Scaling um pc Forderung: weitere Kenngrößen folgen Potenzgesetzen, Einführung universeller kritischer Exponenten. Umfang: Clusterdichte: für : Clustergröße: unabhängig von z

  19. RGT und Perkolation Cluster = Bäume größter Cluster Cluster = Fraktale skaliert mit einziger riesiger Cl. , größter Cl. riesiger Cl. mit komplexer Struktur, Schleifen unendlicher Cluster ist kompakt

  20. Evolution Hinweis auf Scaling in taxonomischen Verteilungen Evolution durch Perkolation auf Bethe-Gitter beschreibbar? Gen-Raum  euklidischer, hochdimensionaler Raum Abstand  Anzahl der benötigten 1-Schritt-Mutationen Anzahl nächster Nachbarn  Anzahl möglicher 1-Schritt-Mutationen Genome: Länge l, Alphabet D  Nachbarn

  21. Evolution l groß, keine Schleifen  Bethe-Gitter mit Wie groß ist die Besetzungswahrscheinlichkeit? Messung der Verteilung Abweichungen vom Potenzverhalten?

  22. Taxonomie Häufigkeitsverteilungen der Größe biologischer Gattungen Burlando, Journal of Theor. Biology146, 99 (1990)

  23. Fraktale Dimension Messungen der Größe von Fraktalen liefern unendliche Reihen bei Reduzierung der Skaleneinheit e Ergebnisse: Ähnliches D für gleiche Spezies Unterschied marin / kontinental

  24. Was wollte ich erreichen? Verschiedene Ansätze zum Verständnis von Netzen Vielversprechend: Dynamisches Modell Hierarchisches Modell Perkolation: Anderer Blickwinkel Evolution: Bethe – Perkolation, skalenfrei

  25. References Barabási, Science286, 509 (1999) Barabási, Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002) Barabási, Science297, 1551 (2002) Burlando, Journal of Theor. Biology146, 99 (1990) Adami, Introduction To Artificial Life, Springer (1998)

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