Metoda Backtracking

Metoda Backtracking • Clasificarea metodelor de programare • Definiţie • Exemple de probleme • Problema celor N dame • Metoda • Implementarea

Clasificarea metodelor de programare • Algoritmi recursivi simpli • Algoritmi Backtracking • Algoritmi Divide et Impera • Algoritmide programare dinamică • Algoritmi Greedy • Algoritmi Branch and bound

Backtracking - definiţie • Să presupunem că trebuie să luaţi o serie de decizii, având mai multe variante de ales, unde • Nu aveţi destule informaţii pentru a şti ce alegeţi • Fiecare decizie ne conduce la un nou set de variante posibile • Unele succesiuni de variante (posibil mai multe decât una) poate fi soluţia problemei tale • Backtrackingeste o metodă ce încearcă diferite succesiuni de decizii, înainte de a găsi una care “merge”

Rezolvarea unui labirint • Într-un labirint de dimensiune m*n, gasiţi o cale de a – l parcurge de la început la sfârşit • La fiecare intersecţie trebuie să decideţi între 3 sau mai multe variante: • Să mergeţi înainte • Să mergeţi la stânga • Să mergeţi la dreapta • Nu aveţi destule informaţii pentru a alege corect • Fiecare alegere duce la un nou set de alegeri • Una sau mai multe secvenţe de variante poate (sau nu) să conducă la o soluţie • Multe tipuri de labirinturi se pot rezolva cu backtracking

Colorarea hărţii • Doriţi să coloraţi o hartă în 4 culori: • Roşu, galben, albastru şi verde • Oricare 2 ţări vecine trebuie să fie colorate în culori diferite • Nu aveţi destule informaţii pentru a şti ce culori alegeţi • Fiecare decizie ne conduce la un nou set de variante posibile • Una sau mai multe secvenţe de variante poate (sau nu) să conducă la o soluţie • Multe tipuri de colorări de hărţi se pot rezolva cu backtracking

Rezolvarea unui puzzle • În acest puzzle toate găurile înafară de una sunt colorate cu aceaşi culoare • Poţi sări doar de pe o gaură pe alta • Găurile pe care sari se elimină • Obiectul este de a elimina toate găurile inafară de una • Nu aveţi destule informaţii pentru a sări corect • Fiecare decizie ne conduce la un nou set de variante posibile • Una sau mai multe secvenţe de variante poate (sau nu) să conducă la o soluţie • Multe tipuri de puzzle-uri se pot rezolva cu backtracking

Utilizarea stivei • Acest capitol introducetipul de dată stivă. • Multe exemple de lucru cu stiva sunt prezentate în acest capitol. • Această prezentare arată utilizarea stivei în algoritmulbacktracking de rezolvare a problemei celor N-Dame.

Problema celor N-Dame • Presupune că ai 8 dame... • ...şi o tablă de şah

Problema celor N-Dame Se pot amplasa cele 8 dame pe tabla de şah astfel încât oricare 2 dame să nu se atace ?

Problema celor N-Dame Două dame să nu fie amplasate pe acelaşi rând...

Problema celor N-Dame Două dame să nu fie amplasate pe acelaşi rând sau pe aceiaşi coloană...

Problema celor N-Dame Două dame să nu fie amplasate pe acelaşi rând sau pe aceiaşi coloană sau pe aceiaşi diagonală.

Problema celor N-Dame Numărul damelor şi dimensiunea tablei de şah poate varia. N dame N coloane N rânduri

Problema celor N-Dame Vom scrie un program care va încerca să găsească soluţia de a plasa N regine pe N*N tablă de şah Dacă puteţi rularun ega or vga graphics, executaţi dublu click pe icoană

Cum lucrează programul Programul utilizează o stivă pentru a reţine poziţia fiecărei regine.

Cum lucrează programul De fiecare dată programul alege să aşeze o regină pe tablă, iar poziţia nouă este memorată într-o înregistrare care este aşezată în stivă RÂND 1, COL 1

Cum lucrează programul Deasemenea vom avea şi o variabilă care săreţină câte rânduri au fost utilizate RÂND 1, COL 1 1 OCUPATE

Cum lucrează programul De fiecare dată când vom încerca să aşezăm o nouă regină în rândul următor, vom începe prin a amplasa regina în prima coloană.... RÂND 2, COL 1 RÂND 1, COL 1 1 OCUPATE

Cum lucrează programul ...dacă este un conflict cu o altă regină atunci aşezăm noua regină pe coloana următoare RÂND 2, COL 2 RÂND 1, COL 1 1 OCUPATE

Cum lucrează programul Dacă apare un nou conflict atunci regina va fi mutată pe următoarea poziţie la dreapta RÂND 2, COL 3 RÂND 1, COL 1 1 OCUPATE

Cum lucrează programul Atunci când nu mai există conflicte programul se opreşte şi adăugăm o valoare la variabila care reţine nr. rândurilor RÂND 2, COL 3 RÂND 1, COL 1 2 OCUPATE

Cum lucrează programul Să privim rândul nr. 3. Pe prima poziţie pe care o încercăm este conflict..... RÂND 3, COL 1 R ÂND 2, COL 3 R ÂND 1, COL 1 2 OCUPATE

Cum lucrează programul ... Atunci trecem pe coloana 2, dar şi aici este un conflict...... RÂND 3, COL 2 R ÂND 2, COL 3 RÂND 1, COL 1 2 OCUPATE

Cum lucrează programul ...şi vom trece pe pe a treia coloană unde este un nou conflict... RÂND 3, COL 3 RÂND 2, COL 3 RÂND 1, COL 1 2 OCUPATE

Cum lucrează programul ...se trece atunci în coloana 4, unde din cauza unui nou conflict, vom încerca să trecem într-o coloană la stânga... RÂND 3, COL 4 RÂND 2, COL 3 RÂND 1, COL 1 2 OCUPATE

Cum lucrează programul ...dar aici nu avem cum să ne ducem. RÂND 3, COL 4 RÂND 2, COL 3 RÂND 1, COL 1 2 OCUPATE

Cum lucrează programul Când ieşim de pe tablă pe rândul respectiv: • Coborâm în stivă, • Reducem rândul cu 1 • Şi continuăm să lucrăm în acest rând RÂND 2, COL 3 RÂND 1, COL 1 1 OCUPATE

Cum lucrează programul Acum continuăm să lucrăm pe rândul 2 deplasând regina la dreapta. RÂND 2, COL 4 RÂND 1, COL 1 1 OCUPATE

Cum lucrează programul Aici nu avem conflicte şi atunci incrementăm variabila cu 1 şi trecem la rândul 3. RÂND 2, COL 4 RÂND 1, COL 1 2 OCUPATE

Cum lucrează programul În acest rând începem cu prima coloană. RÂND 3, COL 1 RÂND 2, COL 4 RÂND 1, COL 1 2 OCUPATE

Descrierea metodei Transformările care pot fi aplicate unei configuraţii sunt: • Atribuie şi avansează • mai există valori neconsumate, • valoarea aleasă respectă condiţiile de continuitate • valoarea se atribuie vectorului soluţie • se avansează la următoarea componenta xk+1 • Încercare eşuată • mai există valori neconsumate • valoarea aleasă nu respectă condiţiile de continuitate • valoarea se consumă • nu se avansează la următoarea componenta • Revenire • toate valorile au fost consumate • se revine la componenta anterioară xk-1 • se încearcă atribuirea unei noi valori acestei componente • pentru componenta xk se încearcă din nou toate valorile posibile • Revenire după construirea unei soluţii • toate componentele vectorului au primit valori care satisfac condiţille interne (s-a găsit o soluţie) • se revine la ultima componentă xn • se atribuie acesteia o nouă valoare • caz particular al revenirii • Terminarea algoritmului are loc atunci când: • toate valorile pentru prima componentă s-au consumat • se încearcă o revenire, lucru care este imposibil (k=0) • nici una din cele 4 transformări nu mai poate fi apicată • încercarea de trecere pe poziţia (k=0) este utilizată ca şi condiţie de terminare a algoritmului

procedure Retsol;// listează soluţia determinată • pentru i=1, n • scrie x[i] • function Cont(k): boolean;//verifică dacă s-au determinat toate elementele din mulţime ce constituie vectorul soluţie • Cont←True // iniţializare optimistă • pentru i=1, k-1 // se alege k-1 pentru a evita situaţia de a ajunge la n+1 • daca x[i]=x[k] sau abs(k-i)=abs(x[k]-x[i]) • atunci // condiţiile interne (de continuitate) • Cont←False • procedure back; • k←1 • pentru i=1, n // se construieşte configuraţia iniţială • x[i] ← 0 • cât timp k>0 // k=0 înseamnă terminarea căutării • dacă k=n+1 atunci // configuraţia este de tip soluţie • Retsol; // reţine soluţia • k←k-1; // revenire după soluţie (T4) • alltfel • dacă x[k]<n atunci // mai există valori neconsumate • x[k] ←x[k]+1 // se alege o nouă valoare din mulţime, valoarea fiind considerată astfel consumată • dacă Cont(k) atunci // se verifică condiţiile de continuitate • k←k+1 //atribuie şi avansează (T1) • altfel// nu face nimic //încercare eşuată (T2) • altfel //revenire (T3) • x[k] ←0; • k←k-1; • Programul principal: • start • citeşte n //citeşte nr. de elemente al mulţimii A • pentru i=1, n //citeşte elementele mulţimii A • citeşte a[i] • back; • stop

Watching the program work Puteţi da dublu clik pe icoana de mai jos pentru a vedea din nou programul cum funcţionează:

Recapitulare • Aplicaţia pe care am văzut-o este backtracking. • Cheia după care funcţionează backtracking –ul este: fiecare posibilitate se memorează pe stivă • Când s-au consumat toate posibilităţile pentru soluţia respectivă, se coboară în stivă şi se aleg alte posibilităţi pentru acestă soluţie.

Metoda Backtracking