Números Complexos

1. Números Complexos Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y) (1) sujeito às regras e leis de operações dadas a seguir (2) a (5). (2) (x, 0) = x  Existe uma correspondência biunívoca entre o par (x, 0) e os reais. Assim, (x, 0) é identificado como o número real x;

2. (0, 1) = i é chamado de unidade imaginária; (x, y) representam a parte real e a parte imaginária, isto é, R(z) = x e Y(z) = y. (3) (x1, y1) = (x2, y2) <=> x1= x2 e y1= y2 Se z1= (x1, y1) e z2 = (x2, y2) então (4) z1+ z2 = (x1+ x2 , y1 + y2) = (x1, y1) + (x2, y2) (5) z1z2 = (x1y1) x (x2y2) = (x1x2- y1y2, x1y2 +x2y1)

3. (6) Cada número complexo (não real) pode ser escrito como a soma de um número real e um número complexo puro z= (x, y) = x+ yi Como consequência da equação (6), pode se escrever a fórmula (5) como: (x1+ y1i) x (x2+ y2i) = x1x2- y1y2 + (x1y2 +x2y1)i

4. Exemplo: Dados os números z1 = (2,1) e z2 = (3, 0) Calcular z1 + z2 , z1 x z2 e z12 Solução: z1 + z2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1) z1 z2 = (2, 1) x (3, 0) = (2 x 3 - 1 x 0, 2x0+3x1) = (6, 3) z12 = (2, 1) x (2, 1) = (2 x 2 - 1 x 1, 2x1+2x1) = (3, 4)

5. 2 - Propriedades Subtração (inverso da adição) z1- z2 = z3 z1 =z2 + z3 ou (x2, y2) +(x3, y3) = (x1, y1) Assim, z1- z2 = (x1 - x2, y1- y2) = (x1 - x2) + (y1- y2)i Divisão (inversa da multiplicação) (z1/ z2) = z3 se z1= z2z3, (z2 0) ou (x2x3- y2y3, x2y3 + x3y2) = (x1, y1)

6. Logo, igualando os pontos correspondentes e resolvendo em relação a x3, y3, temos: z1/ z2= (x1x2+ y1y2)/ (x22+y22 ) +(x2y1- x1y2)i / (x22+y22 ), z2 0. Assim z1/ z2= z1(1/ z2), 1/(z2z3) = (1/z2) (1/z3), (z2 0z3 0) Exemplo: Determine o valor da expressão: [(-1+3i)(1+2i) / (2-i)] + 2i = [(-1- 6+i) / (2 - i) ]+ 2i= [(-7 + i) / (2 -i)] +2i = [(- 14 -1) / (4 +1)] + [(2 -7)i /5] + 2i = -3 +i

7. 3 - Leis para adição e subtração: a) z1 + z2= z2+ z1 (comutativa) b) z1 + (z2+ z3) = (z1 + z2)+ z3 (associativa) c) z1 (z2z3) = (z1z2)z3 (associativa) d) z1 (z2 + z3) = z1z2+ z1z3 (distributiva)

8. 4 - Módulos Se x e y são reais, chama-se módulo de um número complexo z = x + yi ao real não negativo Assim,

9. 5 - Conjugados complexos Chama-se conjugado do número complexo z = (x, y) = x + yi ao complexo z = x - yi = (x, -y) Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2), então z1 + z2 = x1+ x2 - (y1 + y2)i = (x1- y1i) + (x2 - y2i) = z1 + z2 Ou seja o conjugado da soma é igual a soma dos conjugados. - ------- -- --

10. Associado a cada número complexo z há 3 números reais já definidos |z|, R(z) e I(z) que resultam |z|2 = |R(z)|2 + |I(z)|2 e as condições |z| |R(z)| R(z) e |z| |I(z)|  I(z) e que zz = x2+ y2= |z|2,|z| = |z|,|z1z2| = |z1| |z2| |z1/ z2| = |z1| / |z2|, z2 0 e as desigualdades |z1+ z2|  |z1| + |z2| |z1- z2| | |z1| - |z2| | _ __

11. 6 - Representação gráfica Cada número complexo corresponde a um único ponto, e reciprocamente, no plano cartesiano xy. Exemplo: O número z = -2 + i é representado por

12. Soma: lei do paralelogramo, Igual que vetores em 2 dimensões. Produto diferente, por que? y z1+z2 z2 z1 z1.z2 x y 1+2 z2 2 z1 1 x

13. E também valem: z1- z2= z1- z2 z1z2= z1z2 (z1 / z2) = z1 / z2e ainda: z + z = 2x = 2R(z) -- a soma de um complexo com o seu conjugado é um real; z - z = 2yi = 2I(z)i -- a diferença entre um complexo e seu conjugado é um imaginário puro; _____ __ __ ____ _ _ ____ __ __ _ _

14. 7 - Forma polar Sejam r e  as coordenadas polares do ponto representado z, Figura a seguir, onde r  0. Então x = rcos  e y = rsen  e z pode ser escrito como z = r (cos  + i sen ) onde Isto é r = |z| e  é o argumento de z denotado por argz. Quando z  0,  pode ser determinado por tg  = y/ x.

15. Exemplo: Seja Então:

16. 8 - Produto, Potência e Quociente O produto de dois números complexos z1 = r1 (cos 1 + i sen 1) e z2 = r2 (cos 2 + i sen 2) é z1z2= r1r2 [cos (1+2 )+ i sen (1 +2 )]. Logo, arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) Assim, z1z2...zn= r1r2...rn [cos (1+2 +...+n ) + + i sen (1+2 +...+n)].

17. Se z = r (cos  + i sen ) e n  Z+, zn= r n (cos n + i sen n). Se r = 1 temos o Teorema De Moivre (cos + i sen) n = cos n + i sen n. O quociente de dois números complexos é dado por (z1/ z2) = (r 1/ r2) [cos (1- 2) + i sen (1- 2)], r2  0. Que pode ser obtida pelo inverso da multiplicação (1/ z) = (1/ r) [cos (- ) + i sen (- )] = (1/ r) [cos () - i sen ()] (caso particular). Logo z-n = (1/ z)n = (1/ rn) [cos (-n) + i sen (-n)]

18. 9 - Extração de raízes Extrair as raízes n-ésimasz1/n de um complexo z é resolver a equação zon= z. Podemos escrever z0 = r0(cos 0 + isen 0) ou r0n(cos no + isenn0) = r(cos  + i sen ) Se os ângulos são dados em radianos,

19. Onde k = 0, 1, ...(n-1), e zosão os valores de z1/n. Exemplo: Calcular as raízes cúbicas de 8. Neste caso temos os valores z = 8, n = 3 e  = 0. Para k = 0, z0= 81/3 (cos 0 +i sen 0) = 2 k = 1, z0= 81/3 [cos (2/3) +i sen (2/3)] = -1 + 31/2i k=2, z0= 81/3 [cos (4/3) +i sen (4/3)] = 1 - 31/2i