ManTa Fundamentación

1. ManTa Fundamentación Rodrigo Cardoso Universidad de los Andes Depto. de Ing. de Sistemas y Computación

2. Contenido 1 TADs ecuacionales 2 Semántica 3 Variantes de definición 4 Prueba de teoremas sobre TADs 5 Implantación abstracta 6 Implantación concreta ManTa: Fundamentación

3. 1 TADs ecuacionales • Un Tipo Abstracto de Datos ( TAD) es una estructura algebraica heterogénea • TAD =  Signatura , Axiomas  • La signatura es una declaración de operaciones o funciones y sus funcionalidades • Los axiomas son predicados que condicionan las operaciones del TAD. • En un TAD ecuacional,todos los axiomas son ecuaciones. ManTa: Fundamentación

4. TAD Cola [ X ] * vac :  Cola * ins : Cola x X  Cola esvac : Cola  bool prim : Cola  X ati : Cola  Cola Axiomas [ev1] esvac ( vac ) = true [ev2] esvac ( ins ( c, x ) ) = false [pr1] prim ( vac ) =  [pr2] prim ( ins ( c, x ) ) = if esvac ( c ) then x else prim ( c ) fi [at1] ati ( vac ) = vac [at2] ati ( ins ( c, x ) ) = if esvac ( c ) then vac else ins( ati ( c ), x ) fi DAT ManTa: Fundamentación

5. generadoras selectoras Notación para TADs TDI Tipos primitivos TAD Y [ X1, X2, …, Xn ] … * g j : A j x Yp jY … … s k : A k x YpkZ … Axiomas … s k ( a k , y1) = … s k ( a k , y2) = … … DAT A i = X i1 x X i2 x … x X ir pi 0 Z  { X1, X2, …, Xn, Y} ManTa: Fundamentación

6. Iniciales ( m = 0, Z = Y ) • [ vac ] Generadoras • Constructoras ( m > 0, Z = Y ) • [ ins ] Funciones • Simplificadoras ( m  0, Z = Y ) • [ ati ] Selectoras • Analizadoras ( m > 0, Z = Xik ) • [ prim ] Clasificación de operaciones Típicamente: f : Xi1 x Xi2 x … x Xi2 x YmZ ManTa: Fundamentación

7. El lenguaje del TAD • La signatura determina el lenguaje del TAD. • Se definen términos y axiomas. • Los términos sirven para denotar objetos. • Cada término tiene un tipo asociado. • Hay TADs parámetros dados (v.gr., nat, bool, …) • Los axiomas establecen relaciones de igualdad entre términos del mismo tipo, i.e., entre denotaciones de objetos. ManTa: Fundamentación

8. Términos • Un término atómico es una constante primitiva, una variable o indefinido. • Una constante primitivaes unelemento de un TAD parámetro. • El tipo de una constante es el TAD al que pertenece. • Las variables son tomadas de un conjunto enumerable. • El tipo de una variable depende del contexto en que aparezca. • El término indefinido (  ) representa valores de error. • El tipo {  } se considera incluido en todo TAD. • Un término compuesto( de tipo Z ) tiene la forma • f ( t1,…, tr ) • donde f : A1 x … x Ar Z es un símbolo de función • ti es término de tipo Ai ManTa: Fundamentación

9. Términos (cont.) • Un término condicional ( de tipo Z ) tiene la forma • if término de tipo bool then término de tipo Z  • else término de tipo Z  • fi • Un término ( de tipo Z ) es uno atómico, compuesto o condicional, de tipo Z. • Cualquier término que hace parte de otro es un subtérmino. • Un término es básico si no contiene variables ni subtérminos indefinidos. ManTa: Fundamentación

10. Axiomas • Los axiomas tienen la forma • L I = L D • donde: • L I es un término compuesto f ( t1,…, tr ) que no contiene subtérminos condicionales. • L D es un término • Los tipos de L I y L D coinciden • Las variables: • tienen alcance local a los axiomas • se consideran cuantificadas universalmente • su tipo es determinable unívocamente del contexto en que aparecen ManTa: Fundamentación

11. El tipo de interés ( TDI ) Se define el TDI: Ytérminos atómicos generados porG y variables, más el elemento  (indefinido) v.gr. Cola = { , vac, ins ( vac, x1 ), ins ( vac, x2 ), ..., ins ( ins ( vac, x1 ), x1 ), ... } ManTa: Fundamentación

12. Reducción de términos • Los axiomas pueden utilizarse para reescribirtérminos • Se usan de izquierda a derecha • Definen una relación de reducibilidad ( .  . ) • Por ejemplo: • ins ( ati ( vac ), x )  ins ( vac, x ) • ya que • ati ( vac ) = vac Notación: • e1 e2 ssi Hay un axioma aplicable a e1 y el resultado es e2 • e1 e2 ssi e1 = u1  ... ur = e2 ( r  0 ) • e1 e2 ssi e1 e2 ó e2 e1 • e1 e2 ssi e1 = u1  ... ur = e2 ( r  0 ) • ( r - equivalencia) ManTa: Fundamentación

13. Semántica de un TAD Y • Un término representa un objeto (real o ya entendido) • e1 e2 : “e2 es más simple que e1” • “valen ( significan ) lo mismo” • e1 e2 : “e1 y e2 significan lo mismo” • Se deberían preferir las expresiones simples ( reducidas ) • Así: para averiguar el valor de un término, se busca reducirlo a otro • equivalente • más simple • ojalá ya entendido ManTa: Fundamentación

14. Elegir una forma normal como significado ( o valor ) de e e puede no tener formas normales e puede tener varias formas normales e puede tener formas normales que se desearía reducir ( ! ) Significado de los términos • e es irreducible si no se puede reescribir • Por ejemplo: • vac, x, ins ( vac, x ) • e es una forma normal de e’ si • e es irreducible • e’ e ManTa: Fundamentación

15. Cuándo es “buena” la definición de un TAD ? Dos criterios: • Sintáctico : completitud suficiente • Conseguible por construcción, siguiendo una metodología • Semántico : distinguibilidad de objetos • Dependiente de las intenciones del diseñador ManTa: Fundamentación

16. Completitud suficiente • Y [ X1, …, Xn ] es suficientemente completo si todo término e de tipo Xi reduce a un elemento x de Xi , i.e., e x • Por ejemplo: e = prim ( ins ( ati ( vac ), x ) )  if esv ( vac ) then x else prim ( vac ) fi   if true then x else … fi   x ManTa: Fundamentación

17. Para qué un TAD suficientemente completo ? • e x , x  Xi • x es una forma normal para e • En un TAD suficientemente completo: • Todo término de tipo primitivo evalúa a un objeto primitivo , i.e., • Todo término de tipo primitivo tiene significado conocido • Ejemplo: • Si en TAD Cola [ X ] se omitiera el axioma • ati ( vac ) = vac • e = prim ( ins ( ati ( vac ), x ) ) •  if esv ( ati ( vac ) ) then x • else prim ( ati ( vac ) ) • fi • que es irreducible. • No habría significado “natural”. ManTa: Fundamentación

18. Distinguibilidad • Si dos objetos son distinguibles, sus nombres deben ser diferenciables • Objetos distinguibles Hay una característica que los diferencia • Nombres diferenciables Hay una selectora que los diferencia • Si ninguna selectora diferencia los nombres de dos objetos diferentes, faltan selectoras • En caso contrario, se dirá que el TAD es discriminante. ManTa: Fundamentación

19.  a a b Qué pasa si no hay distinguibilidad ? Se sabe que: Los nombres correspondientes son: e1 = ins ( vac , a ) e2 = ins ( ins ( vac , a ), b ) Nótese que: esv ( e1 ) = esv ( e2 ) prim ( e1 ) = prim ( e2 ) Pero: ati ( e1 ) = ins ( vac , b ) ati ( e2 ) = vac Y puesto que: esv ( ins ( vac, b ) ) = false  true = esv ( vac ) También: e1  e2 ManTa: Fundamentación

20. Igualdad definida • Deseable: definir una operación de igualdad • eq-Y : Y  Y bool • eq-Y es una congruencia para el álgebra de términos del TAD, i.e., es compatible con la reescritura. • Variante: definición implícita mediante funciones caracterizadoras. • ManTa permite definición implícita de igualdades, pero no comprueba que lo sean. ManTa: Fundamentación

21. Interpretación del TAD Y • Todo término básico debe tener exactamente una forma normal. • Un término básico se interpreta como su forma normal. • La reescritura es el mecanismo de cálculo de significado de los términos. • Los axiomas deben definir comportamientos funcionales para las operaciones. • Más que completitud suficiente, el comportamiento funcional conlleva completitud. • ManTa ayuda a verificar la unicidad de los significados, pero no la terminación del proceso de reescritura. • No hay medidas de complejidad de los términos. • El modelo definido es el modelo inicial de la estructura algebraica. ManTa: Fundamentación

22. 3 Variantes de definición • Instanciación • TAD W [ X1 ]  Y [ X1 , X2 ] DAT • Producto cartesiano • TAD W [ X1, X2 ]  Y1 [ X1 ]  Y2 [ X2 ] DAT • Sumas • TAD W [ X1, X2 ]  Y1 [ X1 ]  Y2 [ X2 ] DAT • Restricción • TAD W [ X ]  ( Y [ X ] : restr ) • restr : Y bool • ... • DAT ManTa: Fundamentación

23. Semántica de las variantes de definición • Siempre expresable en términos de la semántica estándar. • Detalles adicionales en algunas de ellas • v.gr., en productos cartesianos, definición de proyecciones. • Los TADs definidos por variantes deben heredar características de aquellos en los que su definición se apoya. • ManTa no sobrecarga operadores ( no maneja herencia en el sentido de POO ). • Falta poder definir TADs que dependen de parámetros que no son TADs, sino objetos, v.gr., • TAD Intervalo ( m , n ) = m .. n DAT • TAD Zn DAT ManTa: Fundamentación

24. 4 Prueba de teoremas sobre TADs • ManTa sólo prueba teoremas expresables como ecuaciones. • Para probar un teorema M = N se procede así: • [ 1 ] Normalizar • Reducir M y N a sus formas normales M* y N*. • Si M*  N* , responder afirmativamente. • [ 2 ] Inducción estructural • Sobre las variables del TDI, usar esquemas de inducción. • Si hay éxito, responder afirmativamente. • Si no, intentar generalización. • [ 3 ] Prueba semántica • Si eq-Y( M* , N*) *true , responder afirmativamente. • En otro caso, responder “no se sabe”. ManTa: Fundamentación

25. Más sobre la prueba de teoremas ... • Las pruebas siguen un esquema similar al del probador de Boyer & Moore. • Es adecuado ( eficiente ) el orden del procedimiento de prueba ? • ManTa no aprovecha lemas ya demostrados para otras pruebas. • Cómo manejar los lemas no orientables ? ManTa: Fundamentación

26. f f Y Y Y X    p p W W W 5 Implantación abstracta • Una implementación(  , P ) de TAD Y ( fuente )en TAD W ( objeto ) consta de: • [ a ]  : W  Y ( representación ) • función recursiva, parcial, sobre • [ b ] Para cada Y-función f, un W-programa p que la interpreta. • P es el conjunto de estos programas • Esquemáticamente, se tienen situaciones como: ManTa: Fundamentación

27. Representación  • La función de representación •  : W  Y •  es definida recursivamente sobre la construcción de Y ( LFN ! ). • Así se garantiza que sea sobre. • O sea: •  se explica haciendo corresponder a cada Y-generadora un W-programa que calcula su representación • v.gr., • empty =  ( vac ) • push (  ( c ) , x ) =  ( ins ( c , x ) ) • Una implementación queda descrita al indicar qué W-programa interpreta cada Y-función ManTa: Fundamentación

28. ImpTAD Stack [ X ]  Cola [ X ] :  [SCem] empty =  ( vac ) [SCpu] push (  ( c ) , x ) =  ( ins ( c , x ) ) [SCpo] pop (  ( c ) ) =  ( ant ( c ) ) [SCto] top (  ( c ) ) = ult ( c ) [SCie] isempty (  ( c ) ) = esv ( c ) [SCsz] size (  ( c ) ) = tam ( c ) [SCeq] eq-stack (  ( c1 ) ,  ( c2 ) ) = eq-cola ( c1, c2 ) Operaciones auxiliares ant : Cola  Cola ult : Cola  X Axiomas auxiliares [an1] ant ( vac ) = vac [an2] ant ( ins ( c , x ) ) = c [ul1] ult ( vac ) =  [ul2] ult ( ins ( c , x ) ) = x DATpmI ManTa: Fundamentación

29. ° Y  W  Z Composición de implantaciones Supónganse dos implantaciones (  , P ), ( , Q ) Y  W :   W  Z :  Entonces: Y  Z : ° es una implantación ( ° , P°Q) , donde • °( z ) =  (( z ) ) • P°Q = { fWZ | f Y-función, fWZ interp. fW en Z } ManTa: Fundamentación

30. Verificación de implementación • Los axiomas del TAD fuente deben ser verificados por la representación • Por ejemplo: isempty ( empty ) = isempty (  ( vac ) ) , por [ SCem ] = esv ( vac ) , por [ SCie ] = true , por [ ev1 ] isempty ( push ( s, x ) ) = isempty ( push (  ( c ) , x ) , porque  es sobre = isempty (  ( ins ( c , x ) ) ) , por [ SCpu ] = esv ( ins ( c , x ) ) , por [ SCie ] = false , por [ ev2 ] ManTa: Fundamentación

31. Verificar  Demostrar teoremas • Caso general: verificar un axioma corresponde a demostrar un teorema en el TAD que representa • Los teoremas son siempre ecuaciones • Como  es sobre, las variables del TAD fuente se pueden remplazar por -imágenes de variables del TAD objeto, v.gr., F ( c ) en lugar de s. • Métodos de demostración de teoremas: • Sintácticos • Reducción a términos equivalentes • Inducción sobre la construcción • Semánticos • Chequeo de igualdad ManTa: Fundamentación

32. Reducción a términos equivalentes Para demostrar e1 = e2 se usan: • Programas definidos en la implementación • Axiomas del TAD que representa como reglas de reescritura v.gr.: isempty ( empty ) = isempty (  ( vac ) ) , por [ SCem ] = esv ( vac ) , por [ SCie ] = true , por [ ev1 ] ManTa: Fundamentación

33. Y W1 W2 ... Wn EC 6 Implementación concreta • La composición de implementaciones es una implementación • El último TAD puede ser una estructura computacional EC , i.e., objetos y operaciones que manipula un lenguaje de programación ManTa: Fundamentación

34. El paso a lo concreto • El paso Y  EC se dificulta, porque usualmente no se cuenta con una descripción axiomática de la EC. • La definición de la implementación varía según el lenguaje de programación que manipule EC, v.gr., • un lenguaje funcional ( Lisp, Scheme, CAML , ... ) • un lenguaje imperativo ( Pascal , C , ... ) • etc. ManTa: Fundamentación

35. Implementación en un lenguaje funcional • No es difícil: Si los axiomas del TAD describen funciones recursivas, éstas son casi directamente programables en el lenguaje funcional objeto • Es fácil construir prototipos funcionales para TADs ( y con ellos, constatar experimentalmente la adecuación a la realidad, la corrección, etc. ) ManTa: Fundamentación

36. Ejemplo: Cola [ nat ]  Lisp :  vac =  [ nil ] ins (  [ lista ] , n ) =  [ ( cons n lista ) ] esv (  [ lista ] ) = ( null lista ) prim (  [ lista ] ) = ( priml lista ) donde: ( priml lista )  ( cond ( ( null lista ) “indefinido” ) ( ( null ( cdr lista ) ) ( car lista ) ) ( t ( priml (cdr lista ) ) ) ) La definición de priml se deriva “naturalmente” de los axiomas de prim ManTa: Fundamentación

37. Implementación en un lenguaje imperativo • Un lenguaje imperativo es usualmente eficiente • Preferible usar procedimientos que cambian argumentos que pasan por referencia • Método: • Representar elementos del TDI mediante estructuras de datos del lenguaje de programación • v.gr., arreglos , apuntadores a estructuras dinámicas, etc. • Para cada función, derivar de los axiomas una pre- y una poscondición • Programar cumpliendo la especificación ManTa: Fundamentación

38. Implementación automática en ManTa • ManTa ha funcionado con prototipos funcionales ( Lisp ) e imperativos ( C ). • ManTa 3.0 genera prototipos C y un “banco de pruebas” para experimentar con la implantación concreta. • Parece fácil generar prototipos CAML. • Línea de acción: desarrollo de herramientas y métodos de transformación de programas que mantengan la semántica y mejoren la eficiencia. ManTa: Fundamentación