1 / 28

1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH

Bab 1: Mantik. 1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH. SISTEM MATEMATIK. AKSIOM (AXIOMS). TAKRIF (DEFINITIONS). BENDA TDK DPT DITAKRIFKAN (UNDEFINED TERMS). Teorem yang selalu dijangkakan BENAR, digunakan & diterima tanpa bukti. “Hasil darab 2 Z + menghasilkan Z + (ini merupakan 1aksiom).

etana
Download Presentation

1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Bab 1: Mantik 1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH SISTEM MATEMATIK AKSIOM (AXIOMS) TAKRIF (DEFINITIONS) BENDA TDK DPT DITAKRIFKAN (UNDEFINED TERMS) • Teorem yang selalu • dijangkakan BENAR, digunakan & diterima • tanpa bukti. • “Hasil darab 2 Z+ • menghasilkan Z+ • (ini merupakan 1aksiom) • Digunakan utk mencipta • Konsep baru berdsrkan • Konsep yang sedia ada. • Sesetgh istilah tidak didefinisikan secara eksplisit (jelas) tetapi didefinisikan secara implisit oleh aksiom.

  2. Bab 1: Mantik 1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH (~Sambungan) • Daripada sistem bermatematik ini, teorem-teorem boleh dihasilkan atau diterbitkan. • Beberapa jenis teorem yang istimewa dirujuk sebagai: • lemmas (lema) dan • corrolary (korolari – akibat).  Lemmas • Merupakan teorem yang pada kebiasaannya tidak terlalu diminati pada dirinya sendiri tetapi berguna dalam membuktikan teorem lain. • Teorem kecil yang gunanya untuk buktikan teorem selepasnya.

  3. Bab 1: Mantik 1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH (~Sambungan) Corrollary : • Merupakan hasil teorem yang mengikuti secara berturutan daripada teorem lain • cth teorem: tiada integer antara 0 dan 1 melainkan 0 dan 1 sendiri • corollary: tiada integer antara b dan b+1 melainkan b dan b+1 sendiri

  4. Bab 1: Mantik 1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH (~Sambungan) Teorem  -Merupakan hasil pernyataan yang perlu dibuktikan benar. - Pernyataan ini terdiri daripada apa yang dibuktikan dengan menggunakan: • sifat-sifat asas (fundamental properties) • pernyataan sebelumnya yang telah dibuktikan kesahihannya • kaedah-kaedah mantik (rules of logic)

  5. Bab 1: Mantik 1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH (~Sambungan) -Pembuktian ialah penghujahan (argument) yang membuktikan/menghasilkan kebenaran sesuatu teorem.  -Teorem selalu dinyatakan dalam bentuk rumus: pq (implikasi 1) -Dimana: p : Hipotesis q : Kesimpulan Untuk menerima teorem yang berbentuk pq ini, ia mesti dibuktikan Benar.

  6. Bab 1: Mantik 1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH (~Sambungan) Terdapat dua cara pembuktian sifat-sifat teorem ini iaitu : • secara langsung • secara tidak langsung.

  7. Bab 1: Mantik 1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH (~Sambungan) 1.12.1 Pembuktian Secara Langsung (Direct Proof) Dilakukan dengan : i. menganggap p sebagai hipotesis atau pernyataan yang diketahui ii. seterusnya dapatkan kesimpulan pernyataan q.  pq, Jika p maka q Tunjukkan jika p Benar maka q mesti Benar Oleh itu, pq dibuktikan teoremnya boleh diterima

  8. Bab 1: Mantik 1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH (~Sambungan) 1.12.2 Pembuktian Secara Tidak Langsung (Indirect Proof) Terbahagi kepada dua: i. Kontrapositif -Bentuk kontrapositif pernyataan asal pq tadi ditukar menjadi q  p -Kemudian buktikan q  p   dengan secara langsung. Pernyataan asal : pq Kontrapositif : q  p Buktikan q  p secara langsung

  9. Bab 1: Mantik 1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH (~Sambungan) Contoh: Jika 3n+2 ganjil, maka n ganjil p : 3n+2 ganjil q : n ganjil Ditulis sebagai p  q Kontrapositif : q  p  Jika n genap maka 3n+2 genap.

  10. Bab 1: Mantik 1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH (~Sambungan)  ii. Percanggahan Anggap p Benar dan q Palsu, kemudian dengan menggunakan p dan q, terbitkan percanggahan ( p  p ) Contoh:  Jika 3n+2 ganjil, maka nganjil p : 3n+2 ganjil (dianggap BENAR) q : n ganjil (q PALSU) q : n genap n = 2k

  11. Bab 1: Mantik 1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH (~Sambungan) Sebelum ini didapati bahawa n = 2k dan p : 3n+2 Maka, 3(2k)+2 = 6k+2 = 2(3k+1)  genap maka p Sekarang diperoleh percanggahan: p ganjil dan p genap ( p  p )

  12. Bab 1: Mantik 1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH (~Sambungan) Contoh (jangan anggap semua teorem boleh dibuktikan dengan cara yang berbeza-beza) JIKA g integer genap maka g+7 ganjil 1.Pembuktian secara LANGSUNG • Oleh kerana g genap, maka g = 2a dengan a suatu integer. Maka g+7 = 2a+7 = 2a+6+1 = 2(a+3)+1 Oleh kerana a+3 suatu integer maka g+7 ganjil. (2 x integer =genap dan genap+1=ganjil)

  13. Bab 1: Mantik 1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH (~Sambungan) 2. Pembuktian secara KONTRAPOSITIF 1. Anggap g+7 tidak ganjil, iaitu genap, maka g+7=2b, untuk suatu integer b. Kemudian, Maka b-4 juga integer. Maka g ganjil. (2 x integer =genap dan genap+1=ganjil)

  14. Bab 1: Mantik 1.12 PEMBUKTIAN & HUJAH (~Sambungan) 3. Pembuktian secara PERCANGGAHAN 1. Anggap g genap dan g+7 genap. g+7=2c, c adalah integer Maka g = 2c-7 = 2c-8+1 = 2(c-4)+1 c -4 juga integer. Maka g ganjil. Sekarang diperoleh percanggahan: g genap dan g ganjil. Maka g+7 genap tidak benar maka anggapan g+7 genap adalah palsu.  g+7 adalah ganjil.

  15. Bab 1: Mantik 1.13 PENGHUJAHAN/PENAAKULAN -Beberapa pernyataan (hipotesis atau premis) beserta kesimpulan disebut hujah. Contoh 1: Jono tidak akan dapat A kecuali dia rajin, Jono tidak rajin Jono tidak akan dapat A

  16. Bab 1: Mantik 1.13 PENGHUJAHAN/PENAAKULAN~Samb. -Penghujahan (penaakulan) ialah proses mendapat kesimpulan daripada premis yang diberi. Terdapat 2 jenis penghujahan: • Penghujahan deduksi • Penghujahan induksi (aruhan)  * penghujahan aruhan ini tidak sama dengan aruhan matematik.

  17. Bab 1: Mantik 1.13 PENGHUJAHAN/PENAAKULAN~Samb. • Aruhan - premis tidak menyokong secara mutlak (tidak 100%) kesimpulan. – dapat kesimpulan secara umum melalui pemerhatian yang terhad. • Deduksi - pengambilan keputusan dijamin secara mutlak oleh premis atau hipotesis. – dapat kesimpulan berdasarkan semua hipotesis yang benar . - 100% dijamin oleh premis.

  18. Bab 1: Mantik 1.13 PENGHUJAHAN/PENAAKULAN~Samb. Contoh 2: 90% Jono akan dapat A jika dia rajin Jono rajin Jono mungkin dapat A • Penghujahan yang dibincangkan dalam matematik dan sains komputer ialah penghujahan deduksi. • Peranan mantik dalam penghujahan ini ialah menilai keabsahan (validity) bentuk hujah tersebut. • Penghujahan yang absah ialah jika semua premisnya benar maka akan menghasilkan kesimpulan yang benar.

  19. Bab 1: Mantik 1.13 PENGHUJAHAN/PENAAKULAN~Samb. Dari Contoh 1: Jono tidak akan dapat A kecuali dia rajin, Jono tidak rajin Jono tidak akan dapat A dengan p: Jono tidak rajin (contoh) q: Jono tidak dapat A (contoh) Penghujahan di atas berbentuk pq p q

  20. Bab 1: Mantik 1.13 PENGHUJAHAN/PENAAKULAN~Samb. Contoh 3: Kalau Rani Mukerje kuat makan Rani Mukerji gemuk Rani Mukerje kuat makan Rani Mukerje gemuk dengan p: Rani Mukerje kuat makan (contoh) q: Rani Mukerje gemuk (contoh) Penghujahan di atas berbentuk pq p q

  21. Bab 1: Mantik 1.13 PENGHUJAHAN/PENAAKULAN~Samb. Contoh 4: Sekiranya hari ini banjir kita tidak akan pergi menangkap ikan hari ini. Sekiranya kita tidak pergi menangkap ikan hari ini kita akan pergi menangkap ikan esok. Oleh itu, sekiranya hari ini banjir kita akan pergi menangkap ikan esok. dengan p: Hari ini banjir q: Kita pergi menangkap ikan hari ini. r : Kita pergi menangkap ikan esok. Penghujahan di atas berbentuk:

  22. Bab 1: Mantik 1.14 KEABSAHAN MENGGUNAKAN JADUAL KEBENARAN • Keabsahan dinilai pada bentukbukan pada contoh. • Salah satu kaedah untuk menentukan keabsahan sesuatu hujah ialah dengan menggunakan jadual kebenaran. • Kalau terdapat satu baris dalam jadual kebenaran yang semua premisnya benar menghasilkan kesimpulan yang palsu maka hujah tersebut tidak absah.

  23. Bab 1: Mantik 1.14 KEABSAHAN MENGGUNAKAN JADUAL KEBENARAN Dari contoh 1 tadi: Tidak ada kesimpulan palsu dihasilkan oleh semua premis yang benar, maka penghujahan ini absah PREMIS KESMPLN

  24. Bab 1: Mantik 1.14 KEABSAHAN MENGGUNAKAN JADUAL KEBENARAN~Samb. Contoh 1: Apakah penghujahan berikut absah? ( p  q )  ( p  q ) ( p  q )  ( q  p ) Boleh juga ditulis seperti ( p  q )  ( p  q ) ,( p  q ) /  ( q  p )

  25. Bab 1: Mantik 1.14 KEABSAHAN MENGGUNAKAN JADUAL KEBENARAN~Samb. Jadual kebenaran ! PREMIS KESMPLN Maka, Penghujahan ini absah!

  26. Bab 1: Mantik 1.14 KEABSAHAN MENGGUNAKAN JADUAL KEBENARAN~Samb. Contoh 2: Adakah penghujahan berikut absah? q  ( pr ), ( pq )  ( pr ) /  ( pr )  ( pq ) Apakah jadual kebenarannya?

  27. Bab 1: Mantik 1.14 KEABSAHAN MENGGUNAKAN JADUAL KEBENARAN~Samb. Jadual kebenaran Adakah ia absah?

  28. Bab 1: Mantik 1.14 KEABSAHAN MENGGUNAKAN JADUAL KEBENARAN~Samb. Soalan: Apakah penghujahan berikut absah? p  q , ( p  q )  p , ( p  q )  ( q  p )  ( p  q )  p

More Related