METODE PEMBUKTIAN

METODE PEMBUKTIAN Bahan Kuliah Matematika Diskrit

Langkah-langkah Pembuktian (1) • Tulis teorema yang akan dibuktikan. • Tandai permulaan pembuktian dengan kata “Bukti”. • Buktikan secara lengkap dan menyeluruh. • Tulis variabel dan tipenya yang akan digunakan. • Bila ada sifat dari variabel yang digunakan, tulis sifat tersebut dengan lengkap dan jelas.

Langkah-langkah Pembuktian (1) • Bila menggunakan sifat – sifat tertentu seperti sifat komutatif maka tuliskan sifat tersebut. • Jika ditengah pembuktian dijumpai suatu ekspresi, misal r + s maka singkat ekspresi tersebut, misal dinyatakan dengan k. • Tandai akhir dari pembuktian.

Kesalahan yg sering dilakukan • Menyimpulkan dari satu atau beberapa contoh. • Simbol yang sama untuk dua hal berbeda. • Melompat ke kesimpulan padahal belum. • mengasumsikan apa yg akan dibuktikan.

Metode Pembuktian (1) • Pembuktian Langsung • Metode pengecekan satu per satu. • Pembuktian berdasarkan kasus – kasus • Pembuktian dengan eliminasi kasus • Pembuktian dengan ekuivalensi

Metode Pembuktian (2) • Pembuktian Tidak Langsung • Pembuktian dengan kontradiksi dilakukan dengan ingkaran kalimat-nya dan buktikan salah • Pembuktian dengan kontraposisi dilakukan dengan membuktikan kebenaran kontraposisinya

Contoh • Metode Pembuktian Langsung Buktikan bahwa untuk semua bilangan genap n antara 4 dan 30, n dapat dinyatakan sebagai jumlahan bilangan prima. Penyelesaian: dengan pengecekan satu persatu, maka: 4=2+2; 6=3+3; 8=3+5; 10=5+5; 12=5+7; 14=11+3; 16=11+5; 18=11+7; 20=13+7; 22=17+5; 24=19+5; 26=19+7; 28=17+11; 30=19+11

Contoh: Buktikan bahwa jumlah 2 bilangan genap adalah genap Bukti: Ambil sembarang 2 bilangan genap, misal m dan n. Akan dibuktikan bahwa (m+n) juga bilangan genap. Karena m dan n adalah bilangan-bilangan genap, maka m=2r dan n=2s untuk bilangan-bilangan bulat r dan s, sehingga: m+n = 2r + 2s = 2 (r+s). = 2 k (misalkan k= r+s)

Contoh Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat a, b, dan c berlakulah: Jika a adalah faktor dari b dan b adalah faktor dari c, maka a adalah faktor dari c.

Contoh Bukti: Misal a, b, dan c bilangan-bilangan bulat yang memenuhi sifat: a adalah faktor dari b dan b adalah faktor dari c a faktor dari b berarti b=ka untuk suatu bil bul k b faktor dari c berarti c=nb untuk suatu bil bul n Didapat: c = nb = n (ka) = (nk) a

Contoh Untuk sembarang bilangan riil x, buktikan bahwa jika |x|>4, maka x2 > 16. Bukti: Misal x bilangan riil yang memenuhi |x|>4 Akan dibuktikan bahwa x2 > 16 |x|> 4 berarti bahwa x > 4 atau x < -4 Jika x > 4 maka x2 > 42 = 16 Jika x< -4 berarti –x > 4, sehingga (-x)2 > 42 atau x2 >16 Jadi, baik x > 4 maupun x < -4, x2 > 16.

Contoh Buktikan bahwa jika p adalah sembarang bilangan prima yang ganjil maka p = 6n+1 atau p = 6n+5 atau p = 3 untuk suatu bilangan bulat n.

Contoh Bukti: Ambil sembarang bilangan prima ganjil p. Jika p dibagi 6, maka kemungkinan sisanya adalah 0, 1, 2, 3, 4 atau 5. Ini berarti bahwa p = 6n atau p = 6n+1 atau p = 6n+2 atau p = 6n+3 atau p = 6n+4 atau p = 6n+5 untuk suatu bilangan bulat n.

Contoh Untuk kasus p = 6n = 2 (3n) Misal s = 3n. Karena n adalah bilangan bulat, maka s juga bilangan bulat sehingga p = 2s untuk suatu bilangan bulat s. Karena p merupakan kelipatan 2, maka p merupakan bilangan genap sehingga bisa dieliminasi dari kasus.

Contoh Untuk kasus p = 6n + 2 = 2 (3n+1) Misal k = 3n+1. Karena n adalah bilangan bulat, maka k juga merupakan bilangan bulat sehingga p = 2k untuk suatu bilangan bulat k. karena p merupakan kelipatan 2, maka p merupakan bilangan genap sehingga bisa dieliminasi dari kasus.

Contoh Untuk kasus p = 6n + 4 = 2 (3n+2) Misalkan r = 3n+2. Karena n adalah bilangan bulat, maka r juga merupakan bilangan bulat, sehingga p = 2r untuk suatu bilangan bulat r. Karena p merupakan kelipatan 2, maka p merupakan bilangan genap sehingga bisa dieliminasi dari kasus.

Contoh Untuk kasus p = 6n+3 = 3 (2n+1) Misalkan m = 2n+1. Karena n adalah bilangan bulat, maka m juga merupakan bilangan bulat sehingga p = 3m untuk suatu bilangan bulat m. Ini berarti p habis dibagi 3, sehingga p bukan bilangan prima, kecuali untuk m = 1 (n=0) yang menghasilkan p = 3.

Contoh Dengan elininasi tersebut, kasus yang tersisa adalah p = 6n+1 atau p = 6n+5 atau p = 3. Jadi terbuktilah bahwa jika p adalah bilangan prima ganjil, maka p = 6n+1 atau p = 6n+5 atau p = 3 untuk suatu bilangan bulat n.

Contoh Buktikan ekuivalensi di bawah ini: Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan bulat. a dan b mempunyai sisa yang sama jika dibagi dengan bilangan positif n bila dan hanya bila (a-b) habis dibagi n.

Contoh Harus dibuktikan 2 hal: Jika a dan b mempunyai sisa yang sama bila dibagi dengan bilangan positif n, maka (a-b) habis dibagi n. Jika (a-b) habis dibagi n, maka a dan b mempunyai sisa yang sama bila dibagi dengan bilangan positif n.

Contoh Misalkan a dan b adalah bil2 bulat yang mempunyai sisa sama (misal s) bila dibagi dengan n. Akan dibuktikan bahwa (a-b) habis dibagi n a=kn+s dan b=jn+s dengan 0<s<n; k dan j bil bulat a-b = (kn+s)-(jn+s) = (kn-jn) = (k-j)n Misal p=k-j. Karena k dan j bil bulat, maka p bil bulat. Sehingga a-b = pn untuk suatu bil bul p Ini berarti bahwa (a-b) habis dibagi n.

Contoh Misalkan a dan b bil2 bulat sedemikian hingga (a-b) habis dibagi n. Akan dibuktikan bahwa a dan b mempunyai sisa yang sama bila dibagi dengan n. Misalkan s1 adalah sisa yang terjadi bila a dibagi n dan s2 adalah sisa yang terjadi bila b dibagi n. Jadi a=kn+s1 dengan 0<s1<n b=jn+s2 dengan 0<s2<n Akan ditunjukkan bahwa s1=s2

Contoh Diketahui bahwa (a-b) habis dibagi n, berarti a-b = pn untuk suatu bilangan bulat p a = b + pn = (jn + s2) + pn = (j+p) n + s2 Misal r = j+p. karena j dan p adalah bil2 bulat, maka r juga bilangan bulat sehingga: a = r n + s2 dengan 0<s2<n Akan tetapi jika a dibagi dengan n, maka pastilah hasil dan sisanya merupakan bil tunggal. Ini berarti s1=s2 dan r=k.

Contoh • Metode Pembuktian Tak Langsung Pembuktian dengan kontradiksi: Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat yang terbesar.

Contoh Bukti: Misalkan negasi dari pernyataan tersebut benar. Jadi andaikan ada bilangan bulat yang terbesar (sebutlah N). Karena N terbesar, maka N  n untuk semua bilangan bulat n. Ambil M = N+1. Karena N adalah bilangan bulat, maka M juga bilangan bulat. Di samping itu, jelas bahwa N < M (karena M = N+1). Didapat: N  n untuk semua bilangan bulat n N < M untuk bilangan bulat M (krn M=N+1) Keduanya kontradiksi

Contoh Buktikan bahwa hasil kali 2 bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.

Contoh Bukti: Ambil sembarang 2 buah bilangan ganjil m dan n. Andaikan hasil kalinya (m.n) adalah genap. Karena m dan n bilangan ganjil, maka m=2k+1 dan n=2s+1 untuk bilangan-bilangan bulat k dan s. mn=(2k+1)(2s+1)= 4ks+2s+2k=2(2ks+s+k)+1 Misal p=2ks+s+k. Maka p bilangan bulat karena k dan s bilangan bulat. mn=2p+1 untuk bil bul p. mn ganjil, kontradiksi dengan pengandaian.

Contoh Pembuktian dengan kontraposisi Buktikan bahwa untuk bilangan-bilangan bulat m dan n: Jika m+n  73, maka m  37 atau n  37

Contoh Bukti: Jika p adalah pernyataan m+n  73 q adalah pernyataan m  37 r adalah pernyataan n  37 Maka kalimat tsb dapat dinyatakan sbg: p(qr) Kontraposisinya adalah –(qr) -p atau (-q-r) -p Dengan demikian, untuk membuktikan pernyataan mula-mula, cukup dibuktikan kebenaran pernyataan:

Contoh Jika m<37 dan n<37 maka m+n < 73 Ambil 2 bilangan bulat m dan n dengan sifat m<37 dan n<37 m<37 berarti m 36 dan n<37 berarti n 36, Sehingga m+n  36+36 m+n  72 m+n < 73 Terbukti bahwa jika m<37 dan n<37 maka m+n < 73 Dengan terbuktinya kontraposisi, terbukti pula kebenaran pernyataan mula-mula.

Latihan Buktikanpernyataan-pernyataanberikutini: • Untuksetiapbilanganbulat n, jika n adalahbilangangenap, maka n adalahbilangangenap. • Untuksetiapbilangan-bilanganbulat m dan n, jikam.n=1 maka m=1 dan n=1. • Untuksetiapbilanganbulat a, jika (a-2) habisdibagi 3, maka (a-1) habisdibagi 3 juga. • Untuksetiapbilanganbulat a, jika (a-1) mod 3=0 atau (a-2) mod 3=0, maka (a-1) mod 3=0. • Jika a dan b adalah bil2 ganjil, makaa+bbilgenap • Jika a mod 10=2 dan b mod 10=8, mka+bhbsdibagi

SELAMAT BELAJAR

METODE PEMBUKTIAN