روش عناصر محدود (برای دوره کارشناسی ارشد مکانیک سنگ) Finite Element Procedures

2. روش عناصر محدود (برای دوره کارشناسی ارشد مکانیک سنگ) Finite Element Procedures کریم عابدی

3. فصل دوم مباني رياضي روش عناصر محدود

4. 1- مقدمه 1- مدل پارامتر متمركز (Lumped parameter model‌) يا مدل گسسته سيستم (Discrete system model) 2- مدل مبتني بر مكانيك محيط پيوسته (Continuum mechanics-based model) يا مدل پيوسته سيستم ( Continues system) مدل هاي رياضي: • در يك مدل رياضي پارامتر متمركز يا گسسته سيستم: • پاسخ واقعي سيستم مستقيما به وسيله حل تعداد محدودي متغير حالت (State Variable) توصيف مي گردد (بحثی در مورد متغیر حالت). • براي يافتن متغيرهاي حالت مجهول، مجموعه اي از معادلات جبري بدست مي آيند. • در يك مدل رياضي پيوسته سيستم : • پاسخ واقعي سيستم به وسيله بينهايت متغير حالت توصيف مي گردد. • براي يافتن متغيرهاي حالت مجهول، به جاي يك مجموعه از معادلات جبري، معادلات ديفرانسيل بر پاسخ سيستم حاكم مي باشد.

5. 2- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: براي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم دو روش اساسي مورد استفاده قرار مي گيرد: - روش مستقيم (Direct method) - روش وردشي (Variational method) الف) روش مستقیم در روش مستقيم انجام مراحل زير ضروري است: 1- ايده آل سازي سيستم (System idealization): سيستم واقعي به عنوان مجموعه همبسته عناصر محدود ايده آل سازي مي شود. 2- تعادل عناصر(Equilibrium of elements): شرايط تعادل هر عنصر بر حسب متغيرهاي حالت ايجاد مي شوند. 3- سوار كردن عناصر (Element assemblage): شرايط اتصال متقابل عناصر مورد استفاده قرار مي گيرند تا مجموعه اي از معادلات همزمان بر حسب متغيرهاي حالت مجهول ايجاد شود. 4- محاسبه پاسخ: معادلات همزمان جهت پيدا كردن متغيرهاي حالت حل مي شوند و با استفاده از شرايط تعادل عناصر پاسخ هر عنصري محاسبه مي گردد.

6. 2- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: مثال:شكل زير يك سيستم متشكل از 3 گاري صلب را در صفحه افقي نشان مي دهد كه به وسيله سيستمي از فنرهاي ارتجاعي خطي به همديگر اتصال يافته اند. تغييرمكان هاي گاري ها را محاسبه نموده و نيروهاي موجود در فنرها را براي بارگذاري نشان داده شده محاسبه كنيد. آرايش فيزيكي حل:تحليل را با دنبال نمودن مراحل 1 تا 4 انجام مي دهيم. تغييرمكان هاي U1 ، U2، U3 را به عنوان متغيرهاي حالت كه پاسخ سيستم را مشخص مي نمايند انتخاب مي كنيم. تغييرمكان هاي مذكور از موقعيت اوليه گاري ها اندازه گرفته مي شوند كه در آن فنرها در حالت آزاد و بدون كشش مي باشند. عناصر انفرادي فنري و شرايط تعادل آنها در شكل هاي بعدي نشان داده مي شوند.

7. 2- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: روابط تعادل عناصر Fi(j)= نیرویی که به فنرj در اثر تغییرمکان Ui وارد می شود. براي ايجاد معادلات حاكم به ازاي متغيرهاي حالت، شرايط اتصال متقابل عناصر مورد استفاده قرار مي گيرند كه متناظر با تعادل ايستايي هر يك از سه گاري مي باشند:

8. 2- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: حال مي توان نيروهاي انتهايي عنصري Fi(j)، j =1, 2,…, 5 و i =1, 2, 3‌ را با استفاده از شرايط تعادل عناصر كه در شكل (ب) نشان داده شده است، جايگذاري نمود. در اين جا متناظر با مولفه هاي تغييرمكان U1 ،U2 ، U3مي توان براي عنصر شماره 1 نوشت: يا براي عنصر شماره 2: به همین ترتیب برای سایر عناصر این مرحله را انجام می دهیم.

9. 2- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: بنابراين شرايط اتصال متقابل عناصر به صورت رو به رو در مي آيد: اين نكته بايد يادآوري شود كه ماتريس ضريب K را مي توان با استفاده از رابطه زير بدست آورد: كه در آن K(i) ماتريس هاي سختي عنصري اند. به فرآيند جمع براي يافتن ماتريس سختي كل سازه در رابطه بالا با استفاده از جمع مستقيم ماتريس هاي سختي عناصر، روش مستقيم سختی اطلاق مي شود.

10. 2- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: بحثی مقدماتی در مورد ویژگی های ماتریس سختی: 1- ماتریس سختی، یک ماتریس متقارن می باشد، 2- اعضای قطر اصلی ماتریس سختی، همگی کمیت هایی عددی مثبت می باشند، 3- با توجه به این نکته که برای یافتن بردار تغییرمکان، لازم است که معکوس ماتریس سختی تعیین شود و با توجه به تعریف معکوس ماتریس سختی به صورت زیر، دترمینان ماتریس مخالف صفر است:

11. 2- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: ب) روش وردشی (Variational method) - معادلات تعادل حاکم بر یک مدل ریاضی گسسته سیستم را می توان بر حسب متغیرهای حالت با استفاده از فرمول بندی اکسترمم یا وردشی بدست آورد. یک مساله اکسترموم، شامل تعیین مجموعه ای از مقادیر متغیرهای حالت Ui و i=1,…,n است که به ازای آنها یک تابعک(Functional) داده شده ماکزیمم، مینیمم یا یک نقطه زینی (Saddle point) است. در تحلیل سازه ها هنگامی که تغییرمکان های تعمیم یافته به عنوان متغیرهای حالت مورد استفاده قرار می گیرند، پتانسیل کلی ( یا تابعک انرژی پتانسیل کلی ) می باشد، یعنی: U =انرژی کرنشی سیستم W = پتانسیل کلی بارها

12. 2- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: - در فرمول بندی اکسترموم یا وردشی مسائل سازه ای از اصل موضوع(Axiom) زیر استفاده می شود: اصل موضوع: مساوی صفر بودن مشتق تابعک انرژی پتانسیل کلی (Total Potential Energy) نسبت به یک متغیر حالت ( یا متغیرهای حالت)، شرط لازم و کافی برای تعادل یک سیستم سازه ای است. (Stationary requirement)شرط مانا بودن معادلات تعادل بر حسب متغیرهای حالت بدست می آیند.

13. 2- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: مثال: یک فنر ساده با سختی K و بار وارده R را در نظر بگیرید و با استفاده از روش وردشی معادله تعادل را بدست آورید. معادله تعادل لازم به ذکر است که حسن استفاده از روش وردشی برای ایجاد معادلات تعادل آن است که با استفاده از شرط مانا بودن به طور خودکار شرایط اتصال متقابل عناصر تامین می شود.

14. 2- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: مثال: شکل زیر یک سیستم متشکل از سه گاری صلب که بوسیله سیستمی از فنرهای ارتجاعی خطی به همدیگر اتصال یافته اند را نشان می دهد. تغییرمکان های گاری ها را به روش وردشی محاسبه نموده و نیروهای موجود در فنرها را برای بارگذاری نشان داده شده محاسبه کنید.

15. 3- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: همانند حالت تحلیل مدل های گسسته دو روش مختلف را می توان برای ایجاد معادلات دیفرانسیل حاکم بر سیستم دنبال نمود: روش مستقیم (فرمول بندی دیفرانسیلی) روش وردشی الف) روش مستقیم (فرمول بندی دیفرانسیلی) در فرمول بندی دیفرانسیلی، شرایط تعادل و روابط مشخصه عناصر دیفرانسیلی نمونه را بر حسب متغیرهای حالت ایجاد می کنیم. ملاحظات مذکور منجر به یک دستگاه معادلات دیفرانسیل بر حسب متغیرهای حالت می شوند. در حالت کلی این معادلات باید با معادلات دیفرانسیل کمکی تکمیل شوند. معادلات دیفرانسیل کمکی قیدهای مناسبی را بر متغیرهای حالت اعمال می کنند تا اینکه تمامی شرایط سازگاری ارضا شوند. سرانجام برای تکمیل فرمول بندی مساله، تمامی شرایط مرزی ( و در یک تحلیل دینامیکی، شرایط اولیه) نیز بیان می شوند.

16. 3- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: مثال: معادلات دیفرانسیل تعادل یک سازه تیری

17. 3- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: مثال: معادله دیفرانسیل حاکم بر میله یکبعدی تحت اثر بار گسترده f B(x)ویک بار متمرکز R در سمت راست را بدست آورید. شرط مرزی تغییرمکانی شرط مرزی نیرویی

18. 3- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: مثال: معادلات دیفرانسیل حاکم بر مساله میلهای را که در شکل زیر نشان داده شده است بدست آورید. میله در ابتدا در حالت سکون بوده و بار R(t)ناگهان بر انتهای آن وارد می شود. با استفاده از اصل دالامبرت داریم: (الف)

19. رابطه مشخصه (ب) با ترکیب (الف) و (ب) رابطه روبرو حاصل می گردد: تغییر مکانی شرایط مرزی (Boundary condition) نیرویی شرایط اولیه (Initial condition)

20. 3- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: در اینجا لازم است که به دو نوع مساله اشاره شود: • 1) مسائل مقدار مرزی (Boundary value problems) • در این گونه مسائل، متغیرهای حالت مجهول (یا مشتقات معمولی آنها) در مرز داده می شوند. • جواب در یک نقطه عمومی داخلی بستگی به اطلاعات موجود در تمامی نقاط مرزی دارد. • مسائل حالت پایا (Steady state) یا مسائل استاتیکی از این نوع هستند. • 2) مسائل مقدار اولیه (Initial value problems) • در این گونه مسائل، زمان به عنوان یک متغیر مستقل مطرح می شود. • جواب این مساله به شرایط اولیه بستگی دارد. • در این گونه مسائل، جواب در یک نقطه داخلی می تواند به شرایط مرزی بخشی از مرز و شرایط اولیه در بخشی از میدان داخلی بستگی داشته باشد. • مسائل حالت انتشار (Propagation) یا مسائل دینامیکی از این نوع مسائل هستند.

21. 3- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: ب) روش وردشی (یا فرمول بندی وردشی) همان گونه که عنوان شد، اساس روش فرمول بندی وردشی آن است که پتانسیل کلی سیستم محاسبه می شود و با استفاده از شرط مانا بودن (stationary) ، مشتق آن نسبت به متغیرهای حالت صفر قرار داده می شود و در نتیجه معادله دیفرانسیل و یا دستگاه معادلات دیفرانسیل بدست می آیند. روش وردشی مکانیزم موثر و نیرومندی را برای تحلیل سیستم های پیوسته فراهم می نماید. علت اصلی موثر و نیرومند بودن روش وردشی، در چگونگی ایجاد شرایط مرزی و نحوه در نظر گرفتن این شرایط در هنگام استفاده از روش وردشی نهفته است. به پتانسیل کلی تابعک مساله (Functional) اطلاق می شود. فرض کنید که در تابعک بالاترین مشتق یک متغیر حالت از مرتبه m است، در این صورت مساله مذکور را مساله وردشی Cm-1 می نامیم.

22. 3- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: شرایط مرزی بر دو نوع هستند: الف) شرایط مرزی اساسی (هندسی)Essential boundary condition)( تغییرمکان ها و دوران های مرزی از پیش تعیین شده (دارای مشتقات حداکثر با مرتبه m-1 ) ب) شرایط مرزی طبیعی (نیرویی) (Natural boundary conditions) نیروها و لنگرهای مرزی از پیش تعیین شده (دارای مشتقات از مرتبهm تا 2m-1 )

23. 3- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: مثال: معادله دیفرانسیل حاکم بر مساله میله ای را که در شکل زیر نشان داده شده است، با استفاده از روش وردشی بدست آورید.

24. 3- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: مثال) معادله دیفرانسیل حاکم و شرایط مرزی طبیعی حاکم بر کمانش ایستایی ستون شکل زیر را بدست آورید.

25. 3- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: تابعک انرژی پتانسیل کلی m=2 , C1 شرط مرزی اساسی یا هندسی دارای حداکثر مشتق از مرتبه 1=m-1 اکنون شرط مانا بودن را مورد استفاده قرار می دهیم:

26. 3- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: با استفاده از انتگرال گیری جزء به جزء در نهایت به روابط زیر می رسیم: نکته مهم این است که تغییرات در متغیرهای حالت و مشتقات آنها باید در شرایط مرزی اساسی صفر باشند، به عبارت دیگر ، بنابراین عبارات 3 و 5 صفر هستند. تغییرات در w و مشتقات آن در سایر نقاط اختیاری می باشند، بنابراین باید داشته باشیم: معادله دیفرانسیل حاکم (دارای حداکثر مشتق از مرتبه 4، (2m)) شرایط مرزی نیرویی شرط تعادل لنگر در x =L شرط تعادل برش در x =L (دارای حداکثر مشتق از مرتبه 3، (2m-1))

27. 3- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: در هر دو مثال یک نکته بارز به چشم می خورد: نکته مهم این است که شرایط مرزی طبیعی (نیرویی) به طور ضمنی در وارد می شوند، در حالی که شرایط مرزی اساسی (هندسی) به طور جداگانه بیان می گردند. در نهایت به نکات زیر در فرمول بندی وردشی می توان اشاره نمود: 1- روش وردشی می تواند روش نسبتا ساده ای را برای ایجاد معادلات حاکم بر سیستم فراهم نماید. سهولت مذکور در استفاده از یک اصل وردشی عمدتا در نتیجه این واقعیت است که در فرمول بندی وردشی به جای اینکه کمیت های برداری نظیر (نیروها، تغییر مکان ها و ...) استفاده شوند، کمیت های اسکالر (نظیر انرژی ها ، پتانسیل ها و ...) در نظر گرفته می شوند. 2- یک روش وردشی می تواند به طور مستقیم منجر به معادلات حاکم بر سیستم و شرایط مرزی شود. 3-روش وردشی در فهم عمیق مساله به طور موثری کمک می کند و نیز کنترل مستقلی را در فرمول بندی مساله فراهم می کند. 4-اگر تحلیلگر به جای فرمول بندی دیفرانسیلی مساله در روی فرمول بندی وردشی عمل کند، در این صورت برای راه حل های عددی تقریبی، در حالات زیادی می تواند رده های بیشتری از توابع آزمون را به کار گیرد، به عنوان مثال لازم نیست که توابع آزمون شرایط مرزی طبیعی را ارضا نماید، زیرا این شرایط مرزی به طور ضمنی درتابعک در نظر گرفته شده اند.

28. 4) روش Ritz در حل معادلات دیفرانسیل • روش Ritz یک روش عددی است که برای حل تقریبی معادلات دیفرانسیل بکار می رود. • روش Ritz روی تابعک انرژی پتانسیل کلی عمل می کند (نه روی معادله دیفرانسیل مساله). • گام اساسی در روش Ritz آن است که جواب مساله به صورت تابع آزمون زیر است (Trial function) : ai= ضرایب مجهول Ritz fi = توابع Ritz در این روش توابع آزمون را در جایگذاری می کنیم و با استفاده از شرط مانا بودن ، n معادله همزمان جبری را بر حسب پارامترهای مجهول ai به صورت زیر بدست می آوریم:

29. 4) روش Ritz در حل معادلات دیفرانسیل نکته مهم این است که توابع Ritz(fi ) باید به گونه ای انتخاب شوند که شرایط مرزی اساسی (و نه طبیعی) را ارضا نمایند. دلیل این شرط ساده در توابع آزمون این است که شرایط مرزی طبیعی به طور ضمنی در تابعک منظور شده اند. مثال) پاسخ کمانش ایستایی ستون اشاره شده در مثال قبل را با استفاده از روش Ritz به دست آورید. حل: فرض می کنیم که تابع آزمون زیر را برای متغیر حالت w در نظر می گیریم: مشخص است که تابع آزمون مذکور فقط شرایط مرزی اساسی (تغییر مکان و شیب صفر در انتهای گیردار ) را ارضا می نماید.

30. 4) روش Ritz در حل معادلات دیفرانسیل با جایگذاری w در تابعک انرژی پتانسیل کلی ، رابطه زیر حاصل می شود: یک دستگاه معادلات جبری (بر حسب a1 و a2) بدست می آید: حل این ویژه مساله دو مقدار برای P را نتیجه می دهد. کوچک ترین مقدار P جواب تقریبی کمترین بار کمانش سازه را بدست می دهد.

31. 4) روش Ritz در حل معادلات دیفرانسیل توجه شود که در روش عناصر محدود، توابع Ritz(fi )، در واقع همان توابع شکل (Shape functions) هستند که در ماتریس درون یابی تغییر مکان (Displacement interpolation matrix) جای می گیرند. H)، ماتریس تابع شکل (Shape function) یا ماتریس درون یابی تغییر مکان) توجه شود که در روش عناصر محدود، ضرایب مجهول Ritz(ai)، در واقع همان تغییرمکان های تعمیم یافته مجهول گرهی هستند، که در U جای می گیرند. توجه شود که در روش عناصر محدود تابع آزمون یا متغیرهای حالت، همان توابع تغییر مکان تعمیم یافته درون هر عنصر می باشند( (u(m).

32. 5) روش Galerkin در حل معادلات دیفرانسیل - روش Galerkin یک روش عددی است که برای حل تقریبی معادلات دیفرانسیل بکار می رود. این روش روی معادله دیفرانسیل عمل می کند نه روی تابعک انرژی پتانسیل کلی. - تحلیل یک مساله حالت پایا (Steady state) را با استفاده از فرمول بندی دیفرانسیلی زیر در نظر می گیریم: L2m = عملگر دیفرانسیلی (Differential operator) (بالاترین مرتبه مشتق در آن 2m است) = متغیر حالت (State variable) r= تابع نیرویی (Force function)

33. 5) روش Galerkin در حل معادلات دیفرانسیل مثلا معادله دیفرانسیل حاکم بر میله یک بعدی را تحت اثر بار گسترده f B(x)و یک بار متمرکز R در سمت راست آن را در نظر بگیرید: بنابراین عملگر دیفرانسیلی L2m این مساله عبارت است از:

34. 5) روش Galerkin در حل معادلات دیفرانسیل - روش Galerkin مستقیما روی معادله دیفرانسیل حاکم بر مساله عمل می کند( نه روی تابعک مساله). - دراین روش نیز جواب مساله را به صورت زیر فرض می کنیم: مشخص است که توابعfiباید به گونه ای انتخاب شوند که هم شرایط مرزی اساسی و هم شرایط مرزی طبیعی را تامین نمایند ( چون روش Galerkin مستقیما روی معادله دیفرانسیل حاکم بر مساله عمل می کند نه روی تابعک). باقیمانده(Residual) مساله مورد نظر را به صورت زیر تعیین می کنیم:

35. 5) روش Galerkin در حل معادلات دیفرانسیل • - به ازای جواب کامل (Exact Solution)، باقیمانده مذکور صفر است (R=0) • یک تقریب مطلوب به جواب کامل می تواند به طور ضمنی دلالت بر این نکته نماید که R در تمام نقاط میدان حل، باید مینیمم باشد. • هر یک از روش های متنوع باقیمانده وزن دار، الگوریتم های مختلفی را برای مینیمم سازی R ارائه می دهند. • تفاوت روش های متنوع باقیمانده وزن دار ( از جمله روش Galerkin، روش کمترین مربعات (Least square method)، روش زیرمیدان (Sub-domain)، روش هم مکان (Collocation)) در معیارهایی نهفته است که آن روش ها برای محاسبه ai به کار می برند به گونه ای که R مینیمم شود. در روش Galerkin با مینیمم سازی R ، پارامترهای ai از n معادله زیر تعیین می شوند: که در آن D میدان جواب است. بنابراین در روش Galerkin یک دستگاه معادلات خطی بر حسب پارامترهای ai ایجاد می شود.

36. 5) روش Galerkin در حل معادلات دیفرانسیل • مقایسه روش Ritz و روش Galerkin 1- در روش Ritz روی تابعک عمل می نماییم، در حالی که در روش Galerkin روی معادله دیفرانسیل حاکم بر مساله عمل می نماییم. 2- در روش Ritz توابع آزمون باید m بار مشتق پذیر باشند چون بالاترین مرتبه مشتق در برابر با m است، در حالی که در روش Galerkin توابع آزمون باید 2m بار مشتق پذیر باشند، زیرا بالاترین مرتبه مشتق در معادله دیفرانسیل از مرتبه 2m است (دلیل اول برتری روش Ritz ). 3- در روش Ritz توابع آزمون باید تنها شرایط مرزی اساسی را تامین نمایند، در حالی که در روش Galerkin توابع آزمون باید تمامی شرایط مرزی اساسی و طبیعی را ارضا نمایند (دلیل دوم برتری روش Ritz ).

37. 6)اصل تغییر مکان های مجازی (Principle of virtual Displacements) و رابطه آن با روش وردشی - یک جسم سه بعدی عمومی را در نظر بگیرید. جسم در یک دستگاه مختصات ثابت X, Y, Z قرار گرفته است. - اگر ناحیه سطحی جسم را در نظر بگیریم، جسم در سطح Su دارای تکیه گاه های با تغییر مکان های از پیش تعیین شدهمی باشد. در ناحیه سطحی Sf تحت اثر نیروهای سطحی (Surface Tractions) ، (نیروهای ناحیه سطحی) است. همچنین جسم تحت اثر نیروهای حجمی خارجی (Body forces)f B(نیروهای واحد حجم) و بارهای متمرکز Rciمی باشند. کرنش ها عبارتند از: تنش های متناظر با کرنش ها عبارتند از:

38. 6)اصل تغییر مکان های مجازی (Principle of virtual Displacements) و رابطه آن با روش وردشی تعریف اصل کار مجازی تعادل جسم ایجاب می کند که به ازای تغییر مکان های مجازی کوچک سازگار که به جسم در حال تعادل اعمال می شوند (به گونه ای که شرایط مرزی اساسی را تامین و ارضا نمایند)، کل کار مجازی داخلی مساوی با کل کار مجازی خارجی باشد.

39. 6)اصل تغییر مکان های مجازی (Principle of virtual Displacements) و رابطه آن با روش وردشی اصل وردشی اعمال شرط مانا بودن تابعک انرژی پتانسیل کلی با توجه به اينکه کرنش ها ی مجازی اختیاری می باشند، لذا می توان فرض کرد: نتیجه گیری مهم بنابر این اصل تغییر مکان های مجازی معادل مانا بودن تابعک انرژی پتانسیل کلی سیستم می باشد. نيرو های حقيقی تنش های حقيقی تغييرمکان های مجازی کرنش های مجازی

40. 6)اصل تغییر مکان های مجازی (Principle of virtual Displacements) و رابطه آن با روش وردشی مثال: با استفاده از اصل کار مجازی تابعک انرژی پتانسیل کلی سازه شکل زیر را بدست آورید. اصل کار مجازی

41. 6)اصل تغییر مکان های مجازی (Principle of virtual Displacements) و رابطه آن با روش وردشی نتیجه گیری مهم اصل تغییر مکان های مجازی و مانا بودن تابعک انرژی پتانسیل کلی سیستم کاملا معادل همدیگر هستند و تمامی نتایج حاصله در بحث مقایسه روش های Ritz ( که در روی تابعک عمل می کند) و روش Galerkin (که در روی معادله دیفرانسیل عمل می کند) در مورد اصل تغییر مکان های مجازی نیز صادق است. به عبارت دیگر با توجه به برتری نسبی روش Ritz بر روش Galerkin ، می توان پایه استخراج فرمول بندی عناصر محدود را اصل تغییر مکان های مجازی و استفاده از روش Ritz قرار داد.