FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE

1. FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu DVODIMENZIONALNA VALNA JEDNADŽBA Prof.: dr.sc. Ivica Gusić Andrea Gelemanović, Martina Hrkovac

2. 1. PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE (PDJ) • Daju vezu između zavisne funkcije dviju ili više promjenljivih i parcijalnih varijabli u odnosu na njene nezavisne promjenljive varijable • Zavisne varijable – ovise o procesu koji se modelira • Nezavisna varijabla – prostorne (x, y, z) - vremenske (x, y, z, t) • Rješenje : funkcija koja zadovoljava parcijalnu diferencijalnu jednadžbu u čitavoj domeni promatranja pri čemu moraju biti ispunjeni i početni / granični uvjeti

3. Linearna je ona PDJ koja je prvog reda i u zavisnoj varijabli i u njezinim parcijalnim derivacijama • Ako svaki član takve jednadžbe sadrži ili zavisnu varijablu ili jednu od njenih derivacija, za jednadžbu se kaže da je homogena, odnosno, u suprotnom nehomogena • Linearne parcijalne jednadžbe drugog reda:

4. Rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe je vrlo složeno • u nekim slučajevima rješenje problema je određeno vrijednostima na granici domene ("granični uvjeti"), dok je u drugim slučajevima , kad je vrijeme tjedna od nezavisnih varijabli, ono određeno vrijednostima u t = o ("početni uvjeti") • ako je obična diferencijalna jednadžba linearna i homogena, tada iz poznatog rješenja, daljnje rješenje može biti postignuto superpozicijom • isto vrijedi i za homogene parcijalne diferencijalne jednadžbe.

5. Osnovni teorem 1. • Ako su i u nekom području, rješenja linearne homogene parcijalne jednadžbe, tada je: • gdje su c1 i c2 proizvoljne konstante, također rješenje te jednadžbe u tom području.

6. 2. DVODIMENZIONALNE VALNE JEDNADŽBE • Kao jedan od važnijih problema na početku, promatramo titranje rastegnutih membrana uz određene početne prepostavke: • Masa membrane po jedinici površine je konstantna („homogena membrana“). Membrana je savršeno fleksibilna i tako tanka da ne pruža nikakav otpor savijanju. • Membrana je napeta i fiksirana duž cijele njene granice u ravnini xy. Napetost membrane po jedinici duljine T, uzrokovana rastezanjem membrane, jednaka je u svim točkama i u svim smjerovima te se ne mijenja tijekom vibriranja. • Otklon, u(x,y,z), membrane tijekom vibriranja je malen u usporedbi s veličinom membrane, a svi kutovi nagiba su maleni.

7. da bismo izveli diferencijalnu jednadžbu koja opisuje gibanje membrane, razmatramo sile koje djeluju na malim dijelovima membrane

8. kako su otklon membrane i nagibi kutova mali, stranice isječka membrane su jednake dx i dy • Napetost, T je sila po jedinici duljine, stoga su sile koje djeluju na rubovima isječka približno jednake i • budući da je membrana savršeno fleksibilna, ove sile su tangente na membranu

9. Razmatraju se horizontalne komponente sila • Dobivaju se množenjem sila s kosinusom kuta otklona • Kako su ti kutovi mali, njihovi kosinusi su približno ~ 1 pa su horizontalne komponente sila na suprotnim stranama približno jednake zbog čega se i zanemaruje gibanje u tom smjeru • Membrana se giba transverzalno 2) Vertikalne komponente sila • Kako su sinusi kutova mali možemo ih zamijeniti tangesima • Rezultanta tih dviju vertikalnih komponenti:

10. Rezultanta druge dvije nasuprotne strane isječka : • U skladu s 2. Newtonovim zakonom : • Ako su i približno jednaki 0 :

11. rezultat je : DVODIMENZIONALNA VALNA JEDNADŽBA može se izraziti i pomoću Laplaceove jednadžbe te napisati u obliku:

12. m=1 m=2 m=3 n=1 n=2 n=3

13. 3. PRAVOKUTNE MEMBRANE • Kako bi se riješio problem vibrirajuće membrane, mora se odrediti rješenje u (x, y, t) za dvodimenzionalnu valnu jednadžbu: • Koja zadovoljava rubne uvjete : • te početne uvjete :

14. Primjer: Pravokutne membrane

15. Prvi korak : • Primjenom metode razdvajanja (separacije) varijabli, prvo određujemo rješenje jednadžbe: koja zadovoljava rubni uvjet • Polazi se od : • supstitucijom : • dijeleći obje strane s :

16. zato što funkcija na lijevoj strani ovisi jedino o t, dok funkcije na desno ne ovise o t, izrazi na obje strane moraju biti jednaki konstanti: • Ovo povlači dvije diferencijalne jednadžbe: gdje je i • metodom razdvajanja (separacije) varijabli još jednom određujemo rješenja jednadžbe koja zadovoljava rubne uvjete

17. supstitucijom: • funkcije na lijevoj strani ovise jedino o x dok funkcija na desno ovisi jedino o y pa izrazi na obje strane moraju biti jednaki konstanti • a rezultira običnom diferencijalnom jednadžbom :

18. 2) Drugi korak • opća rješenja: • uvjeti: • moramo uzeti u obzir B0 jer je inače H0 i F0, • dakle sin ka=0 ili ka=m • isto tako C=0, a p mora biti sužen na vrijednosti p = n/b gdje je n integral • dolazimo do rješenja :

19. slijedi da su slijedeće funkcije rješenja prethodne jednadžbe koje zadovoljava rubne uvjete pravokutne membrane: • odnosno : • isto tako i za :

20. Slijedi da su funkcije : na duljini s rješenja valne jednadžbe koja zadovoljava rubne uvjete pravokutne membrane • Ove funkcije nazivaju se karakteristične funkcije, a karakteristične vrijednosti vibrirajuće membrane

21. 3) Treći korak • Da bismo postigli rješenje koje zadovoljava početne uvjete razmatramo dvostruke redove : • Ove dvostruki redovi nazivaju se dvostruki Fourieroviredovi • Fourierove koeficijente određujemo na slijedeći način:

22. za fiksni y, ove Fourierove sinusne redove f(x, y), razmatramo kao funkcije od x, pa slijedi da su koeficijenti ove ekspanzije: • ako je Fourierov sinusni red za Km (y) pa su koeficijenti : • dolazi se do generalizirane Eulerove formule za Fourierove koeficijente :

23. da bismo odredili Bmn* diferenciramo izraz za dvostruke redove po t • Da bi zadovoljili početne uvjete koeficijenti Bmn*, Bmn moraju biti računati prema gore navedenim izrazima

24. P R I M J E R

25. www.demonstrations.wolfram.com

26. Primjer: Kvadratne membrane

27. LITERATURA • A.E. Kreyszig, ˝Advanced Engineering Mathematics˝, John Wiley & Sons Inc., 1995. • www.demonstrations.wolfram.com • www.kettering.edu/~drussell/Demos/MembraneSquare/Square.html • www.falstad.com/membrane/