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Hypothesenprüfung nach Bayes. Bedingte Wahrscheinlichkeiten. In einem Semester seien 60 Studierende, davon 50 Studentinnen. 20 Studentinnen und 5 Studenten sind Brillenträger. Wie groß ist. p ( ) p ( ) p ( ) p ( | ) p ( | ). 25/60 50/60 20/60 20/50 20/25.
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten • In einem Semester seien 60 Studierende, davon 50 Studentinnen. • 20 Studentinnen und 5 Studenten sind Brillenträger. • Wie groß ist • p () • p () • p ( ) • p ( | ) • p ( | ) 25/60 50/60 20/60 20/50 20/25 Def.: p (A | B) = p (A B) / p(B) • p (A B) = p (A) p (B | A) 20/60 = 25/60 20/25 = p (B) p (A | B) = 50/60 20/50 • Unabhängigkeit: p (A | B) = p (A). p (A B) = p (A) p (B)
Würfelspiel • Es gibt zwei Würfel: einen „guten“: p(1) = p(2) = ... = 1/6,und einen manipulierten: p(1) = ... = p(5) = 1/10, p(6) = 1/2. • Der Spielleiter greift in einen Beutel und zieht zufällig einen der beiden Würfel heraus. Man sieht es dem Würfel aber nicht an, ob er der gute oder der manipulierte ist. • Der Spielleiter würfelt n Würfe. Das Ergebnis R ist also ein n-Tupel, z. B. {2, 6, 4, 6}. • Wie wahrscheinlich ist die Hypothese Hm: manipulierter Würfel bei diesem R ?Wie groß ist p (Hm | R) ?
Bayes • gegeben: p (R | H) manipulierter Würfel: p(1) = ... = p(5) = 1/10, p(6) = 1/2. • gesucht: p (H | R) {2, 6, 4, 6}: manipulierter Würfel? • p (R H) = p (R) p (H | R) = p (H) p (R | H) • p (H | R) = p (H) p (R | H) / p (R) a prioriWahrscheinlichkeit
a priori / a posteriori • p (Hi | R) = p (Hi) p (R | Hi) / p (R) • gegeben ein vollständiger Satz unvereinbarer Hypothesen Himit a prioriWahrscheinlichkeiten p (Hi) • p (R) = p (R H1) + p (R H2) + ... = p (H1) p (R | H1) + p (H2) p (R | H2) + ... • so sind die a posterioriWahrscheinlichkeiten p (Hi | R) • p (Hi | R) = p (Hi) p (R | Hi) / j p (Hj) p (R | Hj)
Welcher Würfel war‘s? • p (Hi | R) = p (Hi) p (R | Hi) / j p (Hj) p (R | Hj) • a priori: p(Hm) = p(Hg ) = 0.5. • p (Ri | Hg): p(1) = p(2) = ... = p(6) = 1/6,p (Ri | Hm): p(1) = p(2) = ... = p(5) = 1/10, p(6) = 1/2. • p ({2, 6, 4, 6} | Hg) = 1/60 · 1/6 · 1/60 · 1/6 = 1/1296,p ({2, 6, 4, 6} | Hm) = 1/10 · 1/2 · 1/10 · 1/2 = 1/400,p ({2, 6, 4, 6}) = 0.5 · 1/1296 + 0.5 · 1/400 = 53/32400 = 0.0016..., • p (Hm | {2, 6, 4, 6}) = 0.5 · 1/400 / (0.5 · 1/400 + 0.5 · 1/1296) = 0.5 · 1/400 / (0.5 · 1/400 + 0.5 · 1/1296) • a posteriori: p (Hm | {2, 6, 4, 6}) = 1296/1696 = 81/106 = 0.76...
Bayes mit gleichförmigen a priori Wahrscheinlichkeiten (uniform priors) • man kann kürzen:p (Hi | R) = p (Hi) p (R | Hi) / j p (Hj) p (R | Hj) = p (R | Hi) / j p (R | Hj) • p (Hi | R) = p (R | Hi) p (Hi) / p (R) p (R | Hi)konstant, hängt nicht von i ab. • Will man nur die wahrscheinlichste Hypothese wissen, so reicht es, das maximale p (R | Hi) zu finden.
maximum likelihood • Eine Eigenschaft sei in der Population normalverteilt, µ0 und 0 seien bekannt. • Eine Intervention hat evtl. Einfluß auf den Mittelwert, nicht hingegen auf die Streuung. • Eine Messung an n Individuen mit Intervention ergab die Meßwerte {xi}. • Für jedes hypothetische µInt kann jetzt p ({xi} | µInt) errechnet werden: p ({xi} | µInt) = i=1...n N (µInt, 02, xi). • Gesucht wird das hypothetische µInt, wo p (xi | µInt) maximal ist. • In diesem einfachen Falle ist das maximal wahrscheinliche µ einfach gleich dem Mittelwert der xi.
Hausaufgabe • Es gibt zwei Würfel: einen „guten“: p(1) = p(2) = ... = 1/6,und einen manipulierten: p(1) = ... = p(5) = 1/10, p(6) = 1/2. • a priori: gleichförmig, p(Hm) = p(Hg ) = 0.5. • R: {2}. Wie groß ist a posteriori p (Hm | R) ? • neues a priori = a posteriori • R: {6}. Wie groß ist p (Hm | R) jetzt? • Wie groß wäre es nach R: {6} bei uniform priors? • Wie groß ist die a posteriori Wahrscheinlichkeit bei uniform priors, R = {2,6} ?
