CLASE SI TIPURI DE ELEMENTE FINITE

1. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice Solutia exacta CLASE SI TIPURI DE ELEMENTE FINITE Clase de continuitate C0 – functia necunoscuta u este continua la granita dintre elemente; prima derivata este continua pe element dar discontinua la granita dintre elemente; derivatele de ordin superior, daca exista, nu au neaparat o valoare finita. C1 - functia necunoscuta u si primele derivate sunt continui la granita dintre elemente; a doua derivata nu este continua dar este finita. Cn - functia necunoscuta u si derivatele sale pana la ordinul "n" sunt continue la granita dintre elemente.

2. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice elemente discontinuă dar finită elemente discontinuă elemente Graniţă elemente Exemplu: continuitatea asigurata de functii de interpolare (respectiv elemente finite) de clasa C0 la granita dintre elemente

3. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice Clasa de continuitate necesara depinde de ordinul derivatei functiei necunoscute u, din expresia generala a principiului variational: S-a demnonstrat ca, pentru un ordin de derivare dat n, solutia aproximativa converge catre solutia exacta prin reducerea dimensiunii elementuluidaca sunt indeplinite urmatoarele conditii: - conditia de compatibilitate – la granita dintre elemente este asigurata o clasa de continiitate Cn-1; - conditia de completitudine – in interiorul elementului este asigurata o clasa de continuitate Cn. Problemele eforturilor unitare si deformatiilor specifice, ale campului termic si infiltratiilor in regim permanent sunt probleme de clasa C0.

4. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice Numarul GDL pe nod depinde de semnificatia fizica a problemei. Functia necunoscuta u poate fi un scalar (temperatura, sarcina hidraulica) sau un vector cu mai multe componente (deplasare, viteza). Functiile de aproximare se aleg in mod obisnuit ca polinoame: lineare, patratice, cubice … Elemente finite lineare - pentru spatiul unidimensional (1D) - pentru spatiul bidimensional (2D) - pentru spatiul tridimensional (3D)

5. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice 3 3 2 a. 4 1 2 1 1 2 8 b. 4 6 7 4 3 5 4 3 5 6 3 1 1 1 2 2 2 • Elemente finite de uz general lineareutilizate in analizestructurale: • spatiu 2D (2 GDL/nod - deplasari) • spatiu 3D (3 GDL/nod) – deplasari) In cazul analizelor de camp (termic, infiltratii) necunoscuta principala este un scalar (temperatura, sarcina hidraulica), rezulta 1 GLD/nod indiferent de dimensiunea problemei (2D sau 3D).

6. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice 11 . . 15 4 14 2 12 20 7 3 4 10 13 16 8 17 7 8 3 19 6 9 1 18 3 1 2 1 6 5 5 2 Elemente finite patratice Concluzie: elementele finite pot fi clasificate in functie de clasa de continuitate si de ordinul polinomului functiei de interpolare. Primul aspect afecteaza numarul gradelor de libertate pe nod, in timp ce al doilea numarul nodurilor pe element.

7. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice Cerinte referitoare la completitudine Pentru a obtine o convergenta monotona cate solutia exacta prin cresterea numarului GLD, trebuie indeplinite doua conditii suplimentare : • Compatibilitatea elementelor in discretizare – elementele raman in contact in lungul laturilor acestora (fara suprapuneri sau desprinderi); pentru elemente de placa curba subtire, tangenta la suprafata deformata trebuie sa fie aceeasi pentru elementele adiacente (fiind necesara o clasa de continuitate C1); • 2. Functia de interpolare nu trebuie sa induca directii preferentiale de comportare a elementului. A doua conditie este echivalenta criteriului de completitudine.

8. THE FINITE ELEMENT METHOD – L6 Civil Engineering Department III METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice p A (x,y) (x1,y1) Daca pentru definirea functie de interpolare se utilizeaza un polinom de ordinul p, acesta trebuie sa fie un polinom complet (conform definitiei data de triunghiul lui Pascal)

9. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice Cerinte ale convergentei referitoare la functiile de interpolare Criteriul 1 – functiile de interpolare sa nu determine aparitia deformatiilor specifice atunci cand deplasarile nodale corespund miscarii de solid rigid. Criteriul 2 - functiile de interpolare sa determine un camp ale deformatiilor specifice constant in cazul in care incarcarile nodale sunt compatibile cu deformatii specifice constante. Criteriul 3 – functiile de interpolare sa determine valori finite ale deformatiilor specifice la granita dintre elemente.

10. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice 3 4 3 4 M (x,y) 1 2 1 2 FUNCTII DE INTERPOLARE IN COORDONATE GLOBALE Deplasarea unui punct interior elementului finit M de coordonate x si y, are expresia vectorul deplasarilor nodale

11. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice Functia de interpolare (aproximare) rezulta

12. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice ELEMENTE FINITE IN COORDONATE NATURALE Procedeul de definire a functiilor de interpolare in coordonate globale are unele dezavantaje importate. Uneori, inversa matricii [CM] nu exista, sau, pentru elemente distorsionate, devine foarte greu de evaluat. Proprietatile generale ale functiilor de interpolare utilizate in relatia de baza • indica doua caracteristici importante: • functiile de interpolare Ni au valoare unitara in nodul i si devin zero pentru toate celelalte noduri ale elementului (Ni = 0 pentru orice nod j ≠i); • criteruil de convergenta implica relatia

13. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice 4 3 b b a a 1 2 ELEMENTE FINITE IN COORDONATE NORMALIZATE (NATURALE) Coordonatele naturale sunt definite astfel incat elementul finit se extinde intre limitele (coordonatele) –1 si 1 si are muchii drepte, indiferent de forma si dimensiunile elementului in sistemul global de coordonate

14. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice 4 3 3 4 (-1,1) (1,1) 1 2 1 (-1,-1) (1,-1) 2 Relatiile de transformare intre sistemul de coordonate local (s, t) si sistemul de coordonate global (x, y) au urmatoarea forma

15. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice In forma condensata Elementul patrulater referentiat in coordonate naturale este intotdeauna un patrat de latura 2 (elementul de referinta) Daca se definesc functiile de interpolare (aproximare) in coordonate naturale, acestea pot fi transferate in sistemul global prin relatii de transformare. Diferite alte expresii la nivelul elementului finit pot fi si ele transformate in sistemul global.

16. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice (-1,-1,1) 7 7 8 6 8 6 3 (1,-1,1) 5 (-1,1,1) 5 3 4 2 4 (-1,1,-1) 2 (1,-1,-1) 1 (1,1,-1) 1 La definirea functiilor de aproximare in coordonate normalizate (naturale) proprietatile enuntate anterior, precum si cerintele referitoare la convergenta, trebuie indeplinite.

17. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice Familia functiilor de aproximare Setul de functii de aproximare in coordonate naturale este dat de expresiile: - Elemente lineare (4 noduri) … cu si, ti = 1 Se observa ca Ni = 1 and Nj = 0 pentru orice nod i, ij si

18. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice - Elemente patratice (8 noduri) colturi: cu si, ti = 1 mijloc latura: unde si = 0, ti = 1 unde si = 1, ti = 0 - Elemente cubice (12 noduri): colturi: cu si, ti = 1 pe latura: unde si = ±1/3; ti = ±1 unde ti = ±1/3; si = ±1

19. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice ELEMENTE IZOPARAMETRICE Elementele izoparametrice utilizeaza sistemul natural de coordonate pentru definirea functiilor de aproximare si integrarea numerica pentru evaluarea matricelor caracteristice. • Pentru aceste elemente finite avem: • - Doua ecuatii ce definesc geometria patrulaterului in coordonate normalizate (functiile de transformare); • Doua ecuatii ce definesc campul deplasarilor prin intermediul functiioor de aproximare, exprimate de asemenea in coordonate naturale. • Pentru elementul patrulater in coordonate normalizate, functiile de aproximare si functiile de transformare sunt aceleasi.

20. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice Elementele patrulatere de ordin superior, pentru care campul deplasarilor este detaliat (prin definirea lui utilizand functii de ordin superior), in timp ce geometria ramane aceeasi - elemente superparametrice Elementele patrulatere a caror geometrie este mai detaliata (prin expresii de ordin superior), in timp ce campul deplasarilor ramane linear - elemente subparametrice

21. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice Campul deplasarilor in raport cu valorile nodale ale acestuia se exprima prin Transformarea coordonatelor din sistemul global (x, y) in sistemul natural (s, t) este data de aceleasi expresii sau, in forma matriceala

22. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice Se poate verifica faptul ca nodul i din sistemul global de coordonate corespunde cu nodul i din sistemul natural de coordonate. Spre exemplu, pentru nodul 1, with s = 1, t = 1, functiile de aproximare sunt N1 = 1, N2 = N3 = N4 = 0, rezultand x(s1, t1) = x1

23. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice INTEGRAREA NUMERICA Pentru evaluarea campului deformatiilor specifice si a eforturilor unitare sunt necesare derivatele partiale ale functiilor de aproximare in coordonate globale (x, y). Pentru calculul matricelor si vectorilor caracteristici forma explicita a integralelor nu este disponibila (sau, uneori sunt dificil de explicitat). Din acest motiv se utilizeaza integrarea numerica. Practica standard este sa se utilizeze Integradrea Gauss, care necesita un numar redus de puncte de integrare,pentru acuratetea ceruta a rezultatelor.

24. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice Integrarea numerica unidimensionala Evaluarea numerica a integralei definite a unei functii de o singura variabila se face cu expresia generala unde si sunt n puncte selectate (puncte de integrare) in intervalul [ -1, 1] si Hi sunt coeficienti numerici care depind de numarul intreg n (numiti ponderi)

25. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice f(s) f(+1) f(-1) s -1 0 +1 • Cuadratura Newton - Cotes, in care punctele si sunt selectate la intervale egale. • Pentru n = 2 (regula trapezului) Pentru n = 3 (regula treimii medii)

26. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice • Cuadratura Gauss, in care punctele si si coeficientii de integrare Hi sunt alese astfel incat sa conduca la o aproximare cat mai buna. Primele trei relatii de integrare numerica unidimensionala sunt: - 1 punct de integrare - 2 puncte de integrare - 3 puncte de integrare

27. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice Exemplu: Considerand o expresie polinomiala pentru functia f(s), se observa ca pentru n puncte de integrare rezulta 2n necunoscute (Hi si si). Astfel, un polinom de gradul (2n - 1) poate fi definit si integrat analitic (exact). Considerand n = 2 puncte de integrare, gradul expresiei polinomiale va fi 3 (2n - 1 = 3). Integrand termen cu termen, rezulta

28. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice Prin rezolvarea sistemului algebric de ecuatii rezulta pozitia (coordonatele) punctelor de integrare si valoarea ponderilor:

29. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice

30. METODA ELEMENTELOR FINITE – L4Catedra de Constructii Hidrotehnice Integradea numerica bidimensionala