Tipuri de simbolism

1. Tipuri de simbolism La baza construcţiei unui senzor de simbolic stă realizarea conversiei în simboluri a măsurărilor numerice ţinând cont de subiectivismul acesteia şi de contextul în care se desfăşoară. Ca urmare se pot distinge cel puţin trei tipuri de simbolism: • Simbolism numeric: C1 =<M, N, L1, RM, RN, F1> care face legătura între lumea reală a măsurandului M, şi exprimarea numerică a acesteia N. L1 depinde de parametrii de influenţă, care la rândul lor sunt variabili. De exemplu la măsurările proximetrice bazate pe evaluarea timpului de propagare a undelor electromagnetice, rezultatul măsurării depinde de viteza de propagare care la rându-i depinde de temperatură. • Simbolism simbolic: C =<N, S, L, RN, RS, F> care face legătura între exprimarea numerică a rezultatului măsurării N şi evaluarea sa simbolică S. L depinde de contextul măsurării specific unei anumite aplicaţii şi de operator. Astfel măsurarea x = 5 cm poate fi interpretată ca aproape în cazul sesizării unui obstacol de către un robot mobil sau ca destul­_de_aproapeîn cazul unui robot ce execută o operaţie de manipulare a unui obiect.

2. Simbolism uman: C’ =<M, S’, L’, RM, RS’, F’> care face legătura direct între lumea reală a măsurandului M şi exprimarea prin simboluri a acesteia S’. L’ ia în considerare impactul global al contextului măsurării. Eficienţa relaţiei L’ este adesea realizată prin cunoaşterea modului global de acţiune a perturbatorilor şi relaţia lor cu sarcina de efectuat de către robot. Daca notam cu  compunerea a două simbolisme: C2 = C1 C dacă M2 = M1 M şi F2 = F1 F unde  este operaţia uzuală de compunere a două relaţii. In figura de pe slide-ul urmator se prezintă cele două stadii de descriere a realităţii de către un senzor simbolic: • măsurarea numerică • conversia numeric-simbolică. Acestea au ca scop inducerea unei similitudini între senzorul simbolic cu care va fi dotat robotul şi percepţia umană. Din punct de vedere formal acest deziderat înseamnă alegerea unui simbolism C care să îndeplinească condiţia: C’= C1 C. Simbolismul C1 constitue în fapt operaţia de atribuire de numere proprietăţilor şi fenomenelor din lumea reală a măsurandului în aşa fel încât să le descrie.

3. Tipuri de simbolism La baza construcţiei unui senzor de simbolic stă realizarea conversiei în simboluri a măsurărilor numerice ţinând cont de subiectivismul acesteia şi de contextul în care se desfăşoară. Ca urmare se pot distinge cel puţin trei tipuri de simbolism: • Simbolism numeric: C1 =<M, N, L1, RM, RN, F1> care face legătura între lumea reală a măsurandului M, şi exprimarea numerică a acesteia N. L1 depinde de parametrii de influenţă, care la rândul lor sunt variabili. De exemplu la măsurările proximetrice bazate pe evaluarea timpului de propagare a undelor electromagnetice, rezultatul măsurării depinde de viteza de propagare care la rându-i depinde de temperatură. • Simbolism simbolic: C =<N, S, L, RN, RS, F> care face legătura între exprimarea numerică a rezultatului măsurării N şi evaluarea sa simbolică S. L depinde de contextul măsurării specific unei anumite aplicaţii şi de operator. Astfel măsurarea x = 5 cm poate fi interpretată ca aproape în cazul sesizării unui obstacol de către un robot mobil sau ca destul­_de_aproapeîn cazul unui robot ce execută o operaţie de manipulare a unui obiect.

4. Simbolism uman: C’ =<M, S’, L’, RM, RS’, F’> care face legătura direct între lumea reală a măsurandului M şi exprimarea prin simboluri a acesteia S’. L’ ia în considerare impactul global al contextului măsurării. Eficienţa relaţiei L’ este adesea realizată prin cunoaşterea modului global de acţiune a perturbatorilor şi relaţia lor cu sarcina de efectuat de către robot. Daca notam cu  compunerea a două simbolisme: C2 = C1 C dacă M2 = M1 M şi F2 = F1 F unde  este operaţia uzuală de compunere a două relaţii. In figura de pe slide-ul urmator se prezintă cele două stadii de descriere a realităţii de către un senzor simbolic: • măsurarea numerică • conversia numeric-simbolică. Acestea au ca scop inducerea unei similitudini între senzorul simbolic cu care va fi dotat robotul şi percepţia umană. Din punct de vedere formal acest deziderat înseamnă alegerea unui simbolism C care să îndeplinească condiţia: C’= C1 C. Simbolismul C1 constitue în fapt operaţia de atribuire de numere proprietăţilor şi fenomenelor din lumea reală a măsurandului în aşa fel încât să le descrie.

5. Formalismul L1 asociat măsurării numerice presupune deci stabilirea unei aplicaţii de la aceste entităţi la setul de numere N. Această funcţie este asigurată de către senzorul primar şi descrierea ei este cunoscută. • În cazul general L este o funcţie bijectivă definită pe setul măsurărilor numerice cu valori în setul simbolurilor asociate lor S.

6. Traducerea şi descrierea măsurărilor A defini o măsurare simbolică deci, înseamnă a asocia elementele unei mulţimi de simboluri S cu elementele unei mulţimi de numere ce reprezintă în fapt măsurarea, M sau cu exprimarea numerică a acestora N. Aceasta presupune definirea unei relaţii C între elementele celor două mulţimi. Vom defini prin urmare o aplicaţiet numită traducere de la domeniul simbolic S spre ansamblul parţilor mulţimii M, P(M), care face corespondenţa dintre fiecare simbol şi ansamblul măsurărilor în relaţie cu aceasta (figura de pe slide-ul urmator): t : S P(M) a S, t(a) = {x M / a R x} Pentru ca aceasta simbolizare să nu conţină simboluri sinonime, trebuie ca t să fie injectivă a,b S , t(a) = t(b) a = b În aceiaşi manieră vom defini o aplicaţie d numită descriere care face corespondenţa între universul măsurărilor M şi ansamblul părţilor domeniului simbolic S, P(S).

7. S M A=t(a) AP(M) B=d(y) BP(S) t *x *a *b *y d Această aplicaţie constitue prima etapă spre elaborarea de informaţii simbolice pentru că asociază fiecărei măsurări un ansamblu de simboluri ce o caracterizează: d : M P(S) xM , d(x) = {aS / a C x}

8. Este astfel posibil ca o măsurare să fie descrisă de mai multe simboluri sau de niciunul. Asociaţia dintre un simbol şi traducerile sale o vom defini concept simbolic de măsurare - (aproape, t(aproape)), (cald, t(cald)), de exemplu. În vederea ilustrării acestor definiţii vom considera ca exemplu o măsurare proximetrică. Dacă domeniul simbolic este caracterizat de mulţimea S = {foarte_aproape, aproape, destul_de_aproape}, iar ansamblul măsurărilor este M = (0, 10) cm, atunci traducerile posibile vor fi: t(foarte_aproape) = (0,4) cm t(aproape) = (2, 8) cm t(destul_de_aproape) = (7,10) cm, iar descrierile posibile ale câtorva măsurări ar fi: d(2) = {foarte_aproape} d(4) = {foarte_aproape, aproape} d(9) = [destul_de_aproape}

9. Relaţii simbolice Aceste definiţii sunt suficiente pentru crearea unui convertor numeric-simbolic, dar nu permit alegerea unui anumit concept. Din punct de vedere formal un simbol poate fi asociat oricărei parţi a mulţimii măsurărilor. Alegerea anumitor simboluri şi a traducerilor acestora (concepte), poate fi simplificată de introducerea unor relaţii simbolice care pentru uşurinţa exprimării vor fi exprimate prin cuvinte din limbajul curent uman. Exemplu: Dacă contextul de măsurare proximetrică este legat de sesizarea obstacolelor din arealul unui robot, o relaţie simbolică posibilă ar fi: pericolos este aproape sau foarte­_aproape. Relaţiile dintre simboluri au ele insele o semnificaţie, ceia ce înseamnă că sunt asociate relaţiilor dintre măsurări sau conform formalismului propus, universului măsurărilor. Anumite funcţii şi relaţii între simboluri pot fi definite ca şi echivalentele lor din subansamblul părţilor universului măsurărilor. Dacă RS este o relaţie din universul simbolic şi RP(S) relaţia echivalentă din subansamblul părţilor universului măsurărilor, atunci dacă două simboluri sunt în relaţie şi traducerile acestora beneficiază de aceiaşi proprietate:  (a1,a2,…,an)  S n RS(a1,a2,…,an) = RP(S) (t(a1),t(a2),…,t(an)) sau pentru cazul relaţiilor binare (figura de pe slide-ul urmator): a,b S 2 aRSbt(a) RP(S) t(b)

10. M S t a * t RS RP(S) b * Cum operatorii sunt cazuri particulare de relaţii este posibil de a defini echivalentul P(M) în mulţimea părţilor universului măsurărilor al unui operator S pe universul simbolic prin:  (a,b) S 2 aRSbt(aSb) = t(a) P(M) t(b) • Dacă universul măsurărilor este considerat fără o structură particulară părţile sale pot fi dotate cu anumite relaţii şi operatori particulari specifici teoriei mulţimilor. Mai general, mulţimea elementelor utilizate într-o clasificare este apriori dotată cu aceste proprietăţi. În aceste condiţii universul măsurărilor poate fi tratat identic, fie că acesta este mulţimea măsurărilor de proximitate (senzor de proximitate), fie că este mulţimea măsurărilor de presiune (senzor tactil).

11. Cele mai cunoscute relaţii din teoria măsurărilor care îşi găsesc corespondentul în definirea scărilor de măsurare simbolică sunt: • Egalitateape mulţimea părţilor universului de măsurare=P(M) căreia îi asociez egalitatea în universul simbolurilor =S :  (a,b) S 2 a=Sbt(a) = t(a) =P(M) t(b) Două simboluri ale căror traduceri sunt identice, sunt egale în sensul simbolic =S sau identice. • Incluziunea pe mulţimea părţilor universului de măsurare o asociez relaţiei simbolice S ce o voi denumi mai­_precis_ca: a mai­_precis_ca bt(a) t(b) De exemplu ştiind că t(aproape)  t(foarte_aproape_sau_aproape) se poate concluziona că aproapeeste mai­_precis_ca foarte_aproape_sau_aproape. • Reuniuneape mulţimea părţilor universului de măsurare o asociez relaţiei simbolice S ce o voi denumi sau: t(asau b) = t(a) t(b) • Intersecţia pe mulţimea părţilor universului de măsurare o asociez relaţiei simbolice S ce o voi denumi şi: • t(aşi b) = t(a) t(b) • Negaţia (complementaritatea) pe mulţimea părţilor universului de măsurare o asociez relaţiei simbolice cS ce o voi denumi nu: • t(nu a) = c (t(a) )

12. Cu operatorii relaţionali astfel definiţi se pot introduce noi concepte simbolice şi traducerile lor. Revenind la exemplul anterior: foarte_aproape_sau_aproape = foarte_aproape sau aproape t (foarte_aproape_sau_aproape) = t(foarte_aproape) t(aproape) Conversia numeric-fuzzy-simbolică Incovenientul principal al scărilor simbolice de măsurare este trecerea bruscă de la un simbol la altul, atunci când măsurarea numerică are o mică variaţie. O posibilitate de ameliorare a acestui incovenient ar pute fi asocierea scărilor simbolice cu teoria intervalelor fuzzy care permite trecerea graduală de la o clasă de evenimente la alta. Trecerea de la intervalele obişnuite la cele de tip fuzzy, necesită modificarea convertorului numeric-simbolic în aşa fel încât să fie capabil să furnizeze informaţii fuzzy atât la variaţia măsurandului cât şi a altor cunoştinţe relative la percepţia mărimii măsurate.

13. Intervale fuzzy • Teoria submulţimilor fuzzy dezvoltată de Zadeh, introduce noţiunea de apartenenţă nestrictă la un interval. Conform cu aceasta, un interval fuzzy este reprezentat de gradul de apartenenţă al elementelor unui univers al măsurărilor, la acest interval:  : M  [0,1] • F(M) reprezintă setul tuturor intervalelor conţinute în universul măsurărilor M. • Fiecare interval fuzzy poate fi descris astfel, dacă universul măsurărilor conţine un număr finit de elemente. Dacă numărul de elemente al lui M este mare sau provine dintr-o măsurare continuă , (m) poate fi reprezentat cu ajutorul unui parametru potrivit ce trebuie ajustat pentru fiecare problemă în parte. • În astfel de aplicaţii interpretarea măsurarilor prin intervale fuzzy depinde de semantica simbolului considerat.

14. Pentru simboluri de tipul departe, foarte_departe o interpretare posibilă este considerarea unor funcţii liniare monoton-nedescrescătoare (funcţii tip S), precum: unde a<b, sunt alese convenabil; sau: unde a>0 şi bR. Pentru simboluri de tipul aproape, destul_de_aproape interpretarea poate utiliza aşa numitele funcţii de tip  (triunghiulare, gaussiene, trapezoidale, etc.): unde d >0 şi m R;

15. unde a >0 şi m R; sau: • unde a <b <c <d şi a,b,c,d R. Conceptul de măsurare fuzzy-simbolică • Extensia noţiunilor definite în paragrafele anterioare, la domeniul fuzzy este imediată, traducerile fiind intervale ele devin intervale fuzzy F. Ca urmare acestea respectă condiţia: u,v, x [u,v], F(x)  min(F(u) , F(v))

16. Valoarea reală m M pentru care F(m) = 1 o voi numi valoare de referinţă. • Vom numi concept de măsurare fuzzy-simbolică asociaţia dintre un simbol s si traducerea sa C = t(s) care este de această dată un interval fuzzy. Descrierea măsurării x M poate fi extinsă la cazul fuzzy căutând simbolul a cărui traducere are cel mai mare grad de apartenenţă faţă de x: s = d(x) astfel încât s = maxs S (t(s)(x)) • Crearea conceptelor de măsurare fuzzy-simbolică revine deci la definirea unor intervale fuzzy.

17. foarte_aproape aproape destul_de_aproape t(s) t(s) 7 foarte_aproape aproape destul_de_aproape • În figura urmatoare este prezentată legătura dintre traducerea şi descrierea a trei concepte proximetrice fuzzy-simbolice, pornind de la un interval de măsurare de tip Gauss cu valoarea de referinţă x = 5cm.

18. Generarea reperelor scării de măsurare simbolică a).Scara nominală de măsurare • Daca se doreste apropierea dintre comportamentul uman şi cel al robotului şi dat fiind faptul că în cel dintâi calificarea simbolică a unei măsurări este unică, se poate extinde acest fapt şi în cazul măsurărilor simbolice aferente celor din urmă. • Vom considera deci că există numai o parte S a lui S pentru care interpretarea tuturor măsurărilor pe părţile lui S este unică. Traducerile elementelor din S constitue ca urmare o partiţie pe universul. Este deci posibilă definirea unei funcţii sn, definită pe universul măsurărilor cu valori în universul simbolic: sn :M S  x  M, sn(x) =a d(x) = {a} • În teoria măsurării, simbolismul <M, S, sn > este o scară nominală pe M dacă se poate defini pe aceasta o relaţie de echivalenţă reflexivă, simetrică şi tranzitivă, notată , astfel încât: x y  sn (x) = sn(y) • Pentru a adapta această relaţie la noţiunea de conversie numeric-simbolică, vom considera că imaginea lui S prin traducerile sale este o partiţie a universului măsurărilor M: t(a) = M  (a,b)S2, t(a) a t(b) = ;

19. adică două măsurări sunt echivalente dacă senzorul le va caracteriza prin acelaşi simbol: x y  d (x) = d (y) Notând cu nimic şi oarecare simbolurile ce au ca traduceri respectiv  şi M , t(nimic) = , t(oarecare) = M, relaţiile, echivalente pe domeniul simbolic sunt: t(a1 sau a2 sau …) = t(a) = M = t(oarecare)  (a,b)S2, t(a şi b) = t(a)  t(b) = t(nimic) de unde: a1 sau a2 sau …) = oarecare (a,b)S2, a şi b = nimic Această restrângere reduce considerabil modul de alegere al conceptelor de măsurare simbolică.

20. Extinderea scării nominale de măsurare • De cele mai multe ori însă, conceptele simbolice ce definesc scara nominală nu sunt suficiente pentru a satisface cerinţele definirii simbolice a reperelor unei scări proximetrice de măsurare. • O posibilitate de extindere a scării nominale ar fi crearea de noi simboluri prin asocierea conceptelor de măsurare corespunzătoare scării nominale cu operatorii simbolici sau, şi, nu, definiţi anterior. • Ansamblul tuturor acestor simboluri îl voi nota cu Se şi are o structură de latice parţial ordonată peste S. Simbolismul <M, Se, sn > este o extensie a scării nominale pe M.

21. În figura urmatoare sunt prezentate traducerile elementelor unei scări nominale S şi a extensiei sale Se prin intermediul simbolurilor sau, şi, nu, pentru exemplul de măsurare proximetrică prezentat anterior: foarte_aproape_sau_aproape = foarte_aproape sau aproape aproape_sau_destul_de_aproape = aproape sau destul_de_aproape nu_aproape = nu aproape = foarte_aproape sau destul_de_aproape

22. Se este cel mai mare ansamblu de elemente simbolice ce permite discriminarea măsurărilor în aceiaşi manieră ca şi S. Două măsurări ce au aceiaşi interpretare pe S, au aceiaşi interpretare şi pe Se şi reciproc. Ansamblul simbolic Se oferă prin urmare o caracterizare mai grosieră a rezultatelor măsurării. • Se remarcă faptul că interpretarea pe S corespunde celui mai mic element peste S al interpretării pe Se: • dSe(2) = { foarte_aproape_sau_aproape, foarte_aproape, nu_aproape, oarecare} • dS(2) = {foarte_aproape} • Prin urmare, nu este absolut necesară existenţa unei partiţii pentru a crea un ansamblu de simboluri. Este suficient de a construi extensia unui ansamblu oarecare, scara nominală rezultând apoi prin alegerea celor mai fine simboluri ale acesteia (practic simbolul cel mai fin este acela care îl are pe nimic ca element inferior). • Interpretarea unui ansamblu X de măsurări presupune deci selecţionarea unui set de simboluri ale căror interpretări conţin X (interpretarea lui X este echivalentă cu intersecţia interpretărilor elementelor din X): • dSe(X) = {aSe | X  t(a) } • dSe(X) =  { dSe(x) | x X}

23. În cazul exemplului de măsurare proximetrică, interpretarea măsurării (0,1.2,3,4,5,6) cm, este{foarte_aproape_sau_aproape, oarecare}. • Determinarea simbolului reprezentativ al măsurărilor necesită selecţionarea dintre interpretările obţinute a celui nai mic element în sensul S: • iSe(X) = inf {dSe(X)} • În exemplul precedent, i(0,1.2,3,4,5,6) = foarte_aproape_sau_aproape. Deci simbolul foarte_aproape_sau_aproape este cel care descrie cel mai fin ansamblul măsurărilor (0,1.2,3,4,5,6). • Cum măsurările din domeniul roboţilor sunt în general măsurări ale unor fenomene continui, interpretările acestora sunt intervale. Dacă vom considera subansamblul Ial elementelor din Se ale căror traduceri sunt intervale,  I,C  va descrie modelul calitativ al ordinelor de mărime ale măsurărilor. • Aceasta presupune îndeplinirea condiţiei de altfel fireşti ca istoricul unei măsurări pe un interval de timp, sa fie deasemenea un interval. • Conform cu diagrama Hasse, bazată pe acest principiu, simbolul nu­_aproape care oferă o interpretare mult mai fină decât simbolul oarecare nu poate fi obţinut.

24. oarecare aproape_sau_destul_de_aproape foarte_aproape_sau_aproape foarte_aproape destul_de_aproape aproape • Cum măsurările din domeniul roboţilor sunt în general măsurări ale unor fenomene continui, interpretările acestora sunt intervale. Dacă vom considera subansamblul Ial elementelor din Se ale căror traduceri sunt intervale,  I,C  va descrie modelul calitativ al ordinelor de mărime ale măsurărilor. • Aceasta presupune îndeplinirea condiţiei de altfel fireşti ca istoricul unei măsurări pe un interval de timp, sa fie deasemenea un interval (figura de mai jos). • Conform cu diagrama Hasse, bazată pe acest principiu, simbolul nu­_aproape care oferă o interpretare mult mai fină decât simbolul oarecare nu poate fi obţinut.

25. Generarea reperelor scării de măsurare prin interpolare • Cunoaşterea prealabilă a câtorva dintre traducerile universului simbolic, se prezintă sub forma definiţiilor traducerilor simbolurilor din S pe o submulţime V restrânsă a măsurărilor. Înainte de a defini traducerea unui nou simbol, este necesară cunoaşterea unei relaţii între măsurări. Această relaţie o vom considera ca fiind vecinătatea fiecărei măsurări. Descrierea metodei Punctul de plecare este o scară nominală <V, S, sn > unde V este o parte a universului de măsură M . Practic, cunoaşterea este limitată la restricţiile tV ale traducerilor măsurărilor caracteristice V ={v1,v2,…,vm}, iar imaginea prin tV a universului simbolic S este o partiţie a lui V. Obiectivul este definirea scării nominale <M, S, sn > în itegralitatea ei (pe întregul univers al măsurărilor). Prima etapă constă în utilizarea măsurărilor caracteristice pentru construirea unei partiţii a universului măsurărilor M. Aceasta se realizează prin determinarea pentru fiecare măsurare caracteristică vi a ansamblului măsurărilor situate mai aproape de vi decât de alte elemente ale lui V.  i {1,m}, F(vi) = {v  M. |  j  i, d (v,vi) = d (v,vj)} unde d :M x MR, este o distanţă pe M având cel puţin proprietăţile: • d (x,y) = d (y,x); • d (x,x) = 0; • d (x,y) + d (y,z)  d (x,z).

26. Traducerea fiecărui simbol este definită apoi ca reuniune a ansamblurilor create plecând de la puncte caracteristice asociate. t(a) =  { F(vi) | vi tV(a)} Măsurarea unidimensională Înainte de a construi o scară prin interpolare, este necesară: • definirea unei distanţe pe universul măsurărilor; • stabilirea unor reguli de afectare a punctelor ambigui. În cazul măsurării unidimensionale, universul măsurărilor posedă o relaţie de ordine. Pe un astfel de univers discret al măsurărilor, total ordonat, se pot defini două tipuri de distanţe: • bazată pe valorile măsurărilor: d (x,y) = | x – y | ; • bazată pe indici; Dacă se indică universul măsurărilor astfel încât ordinul indicilor urmăreşte pe cel al măsurărilor M = {x1, x2,…, xn}, atunci: d (xi,xj) = | i – j | ; Alegerea punctelor ambigui exploatează deasemenea relaţia de ordine specifică acestui tip de măsurare. Drept urmare fiecare punct ambiguu va fi afectat ansamblului imediat superior sau imediat inferior, după preferinţă.

27. puncte ambigui v1 v2 v3 v4 v5 tV(a) tV(b) tV(c) F( v1) F( v3) F( v5) F( v2) F( v4) t(a) t(c) t(b) • În figura de mai jos sunt arătate diferitele etape în generarea reperelor unei scări de măsurare unidimensionale prin interpolare. Punctele ambigui (reprezentate în gri) sunt asociate conceptului imediat superior.

28. Măsurarea multidimensională Metoda expusă mai sus, este aplicabilă şi pentru măsurări multidimensionale (caracteristice măsurărilor proximetrice din domeniul roboţilor). Singura condiţie ce trebuie impusă este existenţa pe universul măsurărilor a unei distanţe definite în sensul celor prezentate anterior si influenţa diverselor distanţe asupra generării scării simbolice. • distanţa euclidiană; Într-un spaţiu de dimensiune n distanţa euclidiană se defineşte astfel: • Construcţia ansamblurilor asociate măsurărilor caracteristice constă în decuparea universului măsurărilor în poliedre de tip Voronoi. În figura DE pe slide-ul urmator se prezintă un exemplu de construcţie a unei scări bidimensionale bazat pe acest principiu.

29. v10 v9 d v7 v6 v8 a b v1 v5 v1 a c v4 v2 v3 În generarea reperelor noii scări s-au luat în considerare următoarele cunoştinţe iniţiale: tV(a) = {v1}, tV(b) = {v2,v4,v7,v8}, tV(c) = {v3,v5,v6,v9}, tV(d) = {v10}, • distanţa Chessboard; Este în fapt o generalizare a distanţei euclidiene: • Se observă că d2 corespunde distanţei euclidiene.

30. d d v9 v7 v6 a b a b a v5 v1 c a c v4 • Distanţa Chessboard conţine două distante tipice d1 şi d (cea de-a doua poartă chiar numele Chessboard): În figura urmatoare se prezintă rezultatul utilizării distanţelor d1 şi dîn construcţia unor scări bidimensionale având aceleaşi cunoştinţe de bază utilizate în cazul utilizării distanţei euclidiene.

31. distanţa pretopologică este un formalism iniţial folosit în tratarea imaginilor ce permite dilatarea şi comprimarea părţilor unei mulţimi. Un spaţiu nevid M, este un spaţiu pretopologic dacă i se pot asocia două aplicaţii int şi adh definite pe P(M) care verifică relaţiile: int()= , adh()=   A P(M), int(A) A adh(A) Se remarcă imediat faptul că, M nu este neapărat un spaţiu topologic (nefiind impusă condiţia int(A B) = int(A)  int(B) şi cea de idempotenţă). Pentru a realiza o structură pretopologică pe M se defineşte o familie F(m) a părţilor lui M pentru fiecare element m  M, cu condiţia ca fiecare element al F(m) să-l conţină pe m. • În aceste condiţii, vom putea redefini în mod convenabil aplicaţiile int şi adh în scopul introducerii unor operatori de generare a noilor repere ale scării nominale, după cum urmează: • operatorul de dilatare numit aderenţă, notat adh şi definit astfel încât toate părţile lui M să fie incluse în aderenţa sa: adhF(A)={mM /B F(m),B  A } • operatorul de comprimare numit interior, notat int şi definit astfel încât toate părţile lui M conţin propriul interior: • intF(A)=c(adhF(c(A)))

32. A adhF(A) intF(A) adhF(adhF(A)) intF(intF(A)) adhF(intF(A)) • În figura urmatoare se exemplifică modul de acţiune a acestor operatori pe un spaţiu proximetric bidimensional (senzor proximetric tip matrice binară) având următorul model: M = Z2, m = (i, j), F(m) = {F1,F2}, F1 = {(i -1,j), (i,j), (i +1, j)} F2 = {(i,j -1), (i,j), (i, j +1)}

33. Utilizarea operatorului ”între” Dacă sunt cunoscute simbolurile a şi b ale scării şi se doreşte generarea unui nou simbol c definit prin “ c este intre a si b”, vom introduce operatorul între prin relaţia: c = intre (a,b) Aceasta presupune crearea unei funcţii i(x,y) : V x V  P(M) care generează ansamblul măsurărilor situate la semidistanţă faţă de două puncte caracteristice. Sunt de evidenţiat bineînţeles două situaţii: • submulţimile F(x) şi F(y) corespunzătoare punctelor caracteristice sunt în contact (există un element al lui F(x) astfel încât vecinătatea sa conţine un element al lui F(y)), situaţie în care i(x,y) cuprinde ansamblul măsurărilor situate la semidistanţă faţă de x şi y ; • submulţimile F(x) şi F(y) corespunzătoare punctelor caracteristice nu sunt în contact situaţie în cele două care i(x,y) = .

34. În aceste condiţii, funcţia i poate fi definită ca: i(x,y) = {z | d(z,x) = d(z,y) = d(x,y)/2 pentru un spaţiu continuu şi: i(x,y) = {z | max(d(z,x) , d(z,y)) = inf[max(d(w,x) , d(w,y)) | w  M ]} pentru un spaţiu discret . Dacă se doreşte o exprimare cât mai concisă a distanţei d funcţia i(x,y) poate fi scrisă sub forma: i(x,y) = {z | d(z,x) + d(z,y) = inf[d(w,x) + d(w,y) | w  M ]} În continuare se adaugă la mulţimea măsurărilor caracteristice, toate măsurările situate între conceptele simbolurilor a şi b. Aceste noi măsurări constitue restricţia funcţiei intre (a,b) la noua submulţime V’: V’ = V  {i(xa,xb) | xa  tV(a), xb  tV(b)} tV’(intre(a,b)) = {i(xa,xb) | xa  tV’(a), xb  tV’(b)} Traducerile pe universul măsurărilor sunt apoi recalculate utilizând tehnica normală expusă anterior.

35. d2 d1 d punctele x şi y; i(x,y) Cum se pot utiliza diverse distanţe pentru exprimarea operatorului intre şi rezultatele, depind mult de alegerea acestora. În figura urmatoare este evidenţiată această influenţă, remarcându-se necesitatea utilizării distanţei euclidiene în raport cu distanţele d1 şi d . Această tehnică de generare a reperelor scării de măsurare poate fi extinsă şi la conversia numeric-fuzzy-simbolică. De această dată metoda necesită cunoaşterea traducerilor câtorva elemente particulare ale domeniului numeric v1,v2,…,vn.. Fiecărui element particular vi i se asociază un interval fuzzy F(vi) având gradul de apartenenţă egal cu 1 în acest punct şi egal cu 0 în oricare alt punct particular vi vj.

36. Pentru determinarea intervalelor fuzzy corespunzătoare unui element v[ vi ,vj] se poate utiliza o interpolare liniară de forma: F(vi) (v) = d(vj ,v)/d(vi ,vj) F(vj) (v) = d(vi ,v)/d(vi ,vj) unde d este distanţa dintre două puncte oarecare (d(v,w) = | v-w |) ce satisface condiţia de partiţie fuzzy: F(vi) (v) +F(vj) (v) =1  d(vi ,v) +d(vj ,v) = d(vi ,vj) iar: F(vi) (vi) = 1, F(vi) (vj) = 0, F(vj) (vi) = 0, F(vj) (vj) = 1. În aceste condiţii, determinarea noilor repere ale scării fuzzy-simbolice de proximitate se poate realiza prin unificarea intervalelor fuzzy corespunzătoare elementelor particulare ce descriu acelaşi concept simbolic a:  t(a) =  {F(vi) |  t(a)(vi) =1} cu: AB(x) = min( A(x) +  B(x),1) Pentru a modifica forma intervalelor scării fuzzy-simbolice, conform cu o anume informaţie prealabilă relativă la măsurare, se poate recurge la o interpolare neliniară de forma: F(vi) (v) =f(d(vj ,v)/d(vi ,vj)) F(vj) (v) = f(d(vi ,v)/d(vi ,vj)) unde f trebuie să fie o funcţie crescătoare pe (0,1) şi să îndeplinească condiţiile: f(0) = 1, f(1) = 1, f(1-a) = 1 - f(a)

37. v1 v2 v3 v4 v5 v6 t(a) t(b) t(c) t(d) V F(v6) F(v2) F(v4) F(v5) F(v1) F(v3) t(s) d(m) t(s) t(a) t(c) t(b) t(d) d(m) Ex.

38. t(s) t(c) t(a) t(b) t(d) d(m) • În figura urmatoare sunt prezentate rezultatele unei modificări a precedentei scări utilizând o funcţie de interpolare neliniara:

39. Generarea reperelor scării utilizând operatorilor foarte si destul_de • Pe o structură a universului măsurărilor caracterizată printr-o distanţă sau o pretopologie, se pot defini operatorii foarte şi destul ce răspund următoarelor constrângeri: • b = foarteab mult_mai_precis_ca a şi ab • b = destul_de aa mult_mai_precis_ca b şi ab • Luând în considerare traducerile corespunzătoare, se remarcă faptul că: • t(foarte a)  t(a)  t(destul_de a) • Aceste condiţii amintesc de cele impuse operatorilor morfologici int şi adh Drept urmare formalismul pretopologic va putea servi ca bază pentru construirea acestor operatori: • t(destul_de a) = adhF(t(a)) • t(foartea) = intF(t(a)) • În anumite cazuri foartea poate fi egal cu nimic , t(foartea) = , chiar dacă simbolul a nu este egal cu simbolul nimic. Aceasta se datorează faptului că traducerea acestui simbol nu poate fi discriminată. Generarea reperelor scării cu ajutorul relaţiilor simbolice

40. central destul_de_central_şi_nu_central nu_destul_de_central Problema care se pune acum, este alegerea unei baze structurante pe universul măsurărilor. Într-o mulţime pe care se poate defini cel puţin o distanţă, această bază structurantă poate fi: F(x) = {x  M | d(x,y)  }  fiind un număr real de determinat. Pentru a o realiza o partiţie pe universul măsurărilor se vor parcurge următoarele etape: • se pleacă de la definiţia câtorva concepte generice S’; • se realizează extensia scării Se; • se extrage din aceasta scara nominală cu elementele ei cele mai fine S; • În figura urmaroare se prezintă rezultatul construcţiei unei scări nominale bidimensionale plecând de la conceptele generice central şi destul_de_central

41. S’ = {central, destul_de­_central} Se = {central, destul_de­_central, nu_central, nu_destul_de_central, destul_de central_şi_nu_central, central_sau_nu destul­_de_central, nimic, oarecare} S = {central, destul_de_central_şi_nu_central, nu_destul_de_central} Aceşti operatori pot fi utilizaţi cu uşurinţă şi pentru generarea reperelor fuzzy-simbolice. Ei permit generarea de noi repere simbolice de tip S plecând de la un reper generic • de tip S. Astfel, dacă C este un concept generic de tip S si C funcţia sa de apartenenţă se pot defini următorii operatori: • În figura de pe slide-ul urmator sunt reprezentate funcţiile de apartenenţă ale conceptelor foarte_departe = foarte (departe) , destul_de_departe = destul (departe) , aproape = nu (departe). Conceptul generic departeeste definit plecând de la un interval fuzzy de tip arctangentă centrat în valoarea de referinţă 5 m.

42. t(s) departe departe aproape destul_de_departe foarte_departe d(m) • 2 Generarea reperelor scării utilizând operatorii peste şi sub • Măsurările din domeniul roboţilor, sunt în general caracterizate de mulţimi total ordonate. Aceasta înseamnă că traducerile măsurărilor pot fi descompuse în mai multe intervale, ce se supun celor 13 relaţii ale algebrei intervalelor. • Pornind de la acestea vom putea crea noi relaţii pe mulţimi ce dispun de o partiţie compusă din intervale, relaţii care împreună cu operatori simbolici conduc la noi posibilităţi de generare a reperelor scării simbolice. • Această familie de relaţii cuprinde numai 5 simboluri: egal, înainte, precede, după, succede ce reunesc practic numai anumite elemente ale celor specifice algebrei intervalelor.

43. M t (a) t (pestea) t (suba) • Crearea reperelor unei scări simbolice de tip ordinal se poate realiza utilizând operatorii simbolici peste şi sub definiţi astfel încât să producă concepte simbolice a căror elemente să fie superioare respectiv inferioare conceptului generic original: b = peste a  a precede b şi t(peste a) = {x| x > Mt(a) ) t(sub a) = {x| x < mt(a) ) unde Mt(a) , mt(a) sunt, cel mai mare respectiv cel mai mic element ce caracterizează intervalul de măsură în discuţie (ca in figura urmatoare).

44. 3.Generarea reperelor scării utilizând operatorii mai_mare_ca şi mai_mic_ca Deoarece operatorii precedenti permit generarea a cel mult trei repere ale unei scări ordinale, se pot utiliza operatorii mai_mare_ca şi mai_mic_ca concepuţi astfel încât să genereze noi concepte simbolice fără a utiliza toate măsurările superioare sau inferioare conceptului sursă. Soluţia constă în crearea de concepte mereu decalate faţă de cel original în direcţia valorilor superioare sau inferioare ale universului măsurărilor. Construcţia acestor operatori se va realiza utilizând operatorii pretopologici. Pentru a facilita formularea bazelor structurante, vom indexa universul măsurărilor urmărind ordinul măsurărilor, M = {m1, m2,…, mn}. Astfel cele două baze structurante vor fi: Fsup(mi ) ={( mi-m,…, mi )} dacă mi-m există = {( m1,…, mi )} dacă mi-m nu există Finf(mi ) ={( mi…, mi+m )} dacă mi+m există = {( mi,…, mn )} dacă mi+m nu există

45. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 adhFsup({5,6}) = {5,6,7} intFsup({5,6}) = {6} adhFinf({5,6}) = {4,5,6} adhFsupadh(Fsup({5,6})) = {5,6,7,8} adhFsup() = {} intFsup({0.1}) = {0,1} • În figura urmatoare este prezentat modul de utilizare a operatorilor pretopologici pe cele două baze structurante cu m = 1, plecând de la universul de măsurare M = {0,…,9}: Utilizând aceste baze structurante, vom defini operatorii mai_mare_ca şi mai_mic_ca în modul următor: t(mai_mare_ca a) = adhFsup(t(a))  c(t(a)) t(mai_mic_ca a) = adhFinf(t(a))  c(t(a)) • Valoarea parametrului m va fi aleasă în funcţie de proporţiile între conceptul sursă şi conceptele ce vor fi generate. Pentru ca reperele simbolice generate să fie de aceiaşi mărime cu cel sursă este necesară bineînţeles alegerea m = Card(t(a))

46. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 M aproape destul_de_aproapeaproape mai_aproape departe foarte_aproape • Pentru ca scara simbolică să fie de tip ordinală sau cel puţin nominală, celelalte repere ale scării simbolice se vor crea în mod asemănător utilizând fie conceptul generic fie reperele definite cu operatorii mai_mic_ca şi mai_mare_ca în faza precedentă. • De ex. daca universul măsurărilor este ansamblul măsurărilor cuprinse între 0 şi 25 cm, cu un pas de 1 cm,pornind de la conceptul generic t(aproape) = {10,11,12,13}cm se definesc celelalte repere ale scării în modul următor: t(mai_aproape) = mai_mic_caaproape t(foarte_aproape) = sub mai_aproape t(destul_de_aproape) = mai_mare_ca aproape t(departe) = peste destul_de_aproape

47. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 M aproape M foarte_aproape destul_de_aproape mai_aproape departe • Dacă se doreşte modificarea măsurării proximetrice prezentată în exemplul de mai sus, punându-se accent de exemplu pe funcţia de prehensiune se poate utiliza aceiaşi scară nominală şi acelaşi sistem de reguli. • Este suficientă modificarea conceptului generic sursă t(aproape) = {6,7,8,9}cm şi reconstrucţia noii scări nominale: • Generarea reperelor fuzzy-simbolice urmăreşte practic acelaşi mecanim. Particularitatea metodei constă în alegerea unor operatori cu ajutorul cărora să se poată genera repere fuzzy-simbolice de aceiaşi formă dar translatate cu valoarea . Aceasta înseamnă în fapt convoluţia funcţiei de apartenenţă a conceptului iniţial cu distribuţia Dirac retardată cu .

48. t(s) aproape aproape destul_de__aproape foarte_aproape d(m) Noii operatori se definesc astfel: mai_mult_ca si mai_puţin_ca: mai­_mult_ca(C) (x) =C(x) *  (x- ) mai_putin_ca(C ) (x) = C(x) * (x +  ) unde  reprezintă distribuţia Dirac, iar * operatorul de convoluţie. În figura urmatoare sunt reprezentate funcţiile de apartenenţă ale conceptelor foarte_aproape = mai_mult_ca (aproape), şi destul_de_aproape = mai_puţin_ca(aproape). Conceptul generic iniţial aproape a fost definit prin intermediul unei funcţii de tipGauss centrată în valoarea dereferinţă 5 cm.

49. Dilatarea şi comprimarea scărilor simbolice • Dilatarea şi comprimarea scării utilizând operatorii creşte şi scade • Dilatarea, respectiv comprimarea scării simbolice, se realizează în jurul unui anumit reper al acesteia pe care îl vom numi reper de focalizare a scării, rf. Acţiunea operatorilor de dilatare şi comprimare a scării se transferă deci în jurul acestui reper după următoarea regulă: • Există cel puţin o măsurare cuprinsă în traducerea lui rf astfel încât, aplicarea operatorului creşte asupra ei, are ca rezultat trecerea la reperul succesiv acestuia; simbolurile prec(a) şi succ(a) desemnează simbolurile ce preced sau succed simbolului a în sensul S. • Există cel puţin o măsurare cuprinsă în traducerea lui rfastfel încât, aplicarea operatorului scade asupra ei, are ca rezultat trecerea la reperul precedent acestuia; simbolurile prec(a) şi succ(a) desemnează simbolurile ce preced sau succed simbolului a în sensul S.

50. Dacă C1 şi C2 descriu relaţia între S şi S respectiv înainte şi după aplicarea operatorilor creşte şi scade, efectul aplicării acestora este descris de relaţiile: C2 = creşte (C1,rf)  Dacă intFinf(t(rf)) = , atunci : C2 = creşte (C1,prec(rf)) t2(rf) = intFinf (t’(rf)) t2(succ(rf)) = adhFinf (t’(succ(rf))) Dacă intFinf(t(rf)) , atunci : t2(rf) = intFinf (t1(rf)) t2(succ(rf)) = adhFinf (t1(succ(rf))) C2 = scade (C1,rf)  Dacă intFsup(t(rf)) = , atunci : C2 = scade(C1,succ(rf)) t2(rf) = intFsup (t’(rf)) t2(succ(rf)) = adhFsup(t’(succ(rf))) Dacă intFsup(t(rf)) , atunci : t2(rf) = intFsup (t1(rf)) t2(succ(rf)) = adhFsup(t1(succ(rf))) unde: t’(rf) = .