Un extraño paseo de la mano de Möbius Mario Fioravanti

1. Un extraño paseo de lamano de MöbiusMario Fioravanti Klein Gauss Euler Möbius Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

2. Referencias Barr, Stephen, Experiments in Topology, Dover, New York, 1964. Blanco, Miguel; Ruiz, Andrés; Corchete, Abilio, Taller de Matemáticas, Junta de Extremadura, Consejería de Educación y Juventud, Mérida, 1998. Polthier, Konrad,Imaging maths - Inside the Klein bottle, Plus Magazine 26, 2003, http://plus.maths.org/issue26/features/mathart/index.html#kleinBottle_anim Weeks, Jeffrey, The shape of space, Marcel Dekker, New York, 1985. Rodríguez, J., Un paseo por la topología en la red, http://www.ual.es/~jlrodri/Topgen2/introduccion.html The MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/index.html Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

3. Temas de esta charla • Topología ~ Möbius – Listing • Experimentos con cintas y cruces de Möbius (trabajo del público) • Otras superficies curiosas ~ Klein • Geometría: curvatura ~ Gauss • Coloreando mapas • Los puentes de Königsberg (Grafos) ~ Euler • Libros para pasar un rato agradable Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

4. Un paseo por la Tierra Si partimos de un lugar de la Tierra y avanzamos sin desviarnos, al cabo de un tiempo volveremos al punto de partida. Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

5. Si dos personas parten en direcciones perpendicula-res y van dejando en su camino una marca de hilo, una de color azul y la otra de color rojo, comprueban que en algún momento sus caminos se han cruzado. Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

6. Si la Tierra no fuera una esfera, ¿podría ocurrir que las dos personas que parten en direcciones perpendiculares vuelven al punto de partida, pero sus caminos no se cruzan? ¿Podría ocurrir que una persona camina sin desviarse y retorna al punto de partida, pero cabeza abajo? Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

7. Topología La topología es una rama fundamental de las Matemáticas que estudia las propiedades de un objeto que se conservan por deformación o estiramiento. La redondez de una circunferencia no es una propiedad topológica. = Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

8. “geometría cualitativa” ¿tiene agujeros? ¿tiene borde? ¿está formada por varias componentes? no tiene borde tiene borde no tiene borde, tiene un agujero Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

9. tiene tres agujeros Topológicamente un cubo es equivalente a una esfera = = Y una taza es equivalente a un donut Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

10. ¿Podría ocurrir que una persona camina sin desviarse y retorna al punto de partida, pero cabeza abajo? August F. Möbius (1790-1868) Superficies de una sola cara (o no orientables) Astrónomo y matemático. Alumno de Gauss. Johann B. Listing (1808-1882) Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

11. La cinta de Möbius M. C. Escher (1898-1972) http://www.mcescher.com/ Una obra de teatro estrenada en París, en mayo de 2007 Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

12. Experimentos con bandas de Möbius 1. Con una tira de papel construimos un cilindro. ¿Cuántas caras tiene? ¿Cuántos bordes tiene? 2. Con una tira de papel construimos una cinta de Möbius. ¿Cuántas caras tiene? ¿Cuántos bordes tiene? 3. Cortamos el cilindro por la línea central. ¿Cuántas superficies se obtienen? ¿Con cuántas caras y bordes? Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

13. … más experimentos con bandas de Möbius 4. Cortamos la banda de Möbius por la línea central. ¿Cuántas superficies se obtienen? ¿Con cuántas caras y bordes? 5. Usamos una tira de papel con dos líneas de puntos y construimos una cinta de Möbius. Cortamos por las líneas. ¿Qué se obtiene? ¿Hemos obtenido alguna banda de Möbius? Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

14. Experimentos con cruces de Möbius 1. Con una cruz (con una línea en el medio) unimos las aspas opuestas formando dos cilindros. ¿Qué características topológicas tiene la nueva superficie? Si cortamos por la línea central, ¿qué se obtiene? 2. Con otra cruz similar, unimos los dos pares de aspas opuestas formando bandas de Möbius. ¿Qué características topológicas tiene la nueva superficie? Si cortamos por la línea central, ¿qué se obtiene? Compara el resultado con el de otros asistentes. Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

15. … más cruces 3. Usamos ahora la cruz que tiene un par de aspas divididas en tres partes. Unimos el par de aspas con una sola línea formando un cilindro y el par de aspas con dos líneas formando una banda de Möbius. Cortamos por las líneas, empezando por la banda de Möbius. ¿Qué se obtiene? Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

16. Lo imposible, posible El folio sorprendente Con un folio y tijeras (sin usar pegamento) construye de una sola pieza la superficie que se muestra en el dibujo El cilindro con asa Podrías ahora construir esta figura (esta vez tienes que pegar dos bordes). Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

17. Representaciones planas El cilindro A A B B La cinta de Möbius A B A B Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

18. Otras superficies El toro A A A A A A La botella de Klein A A Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

19. Felix Klein (1849-1925) La botella de Klein • Nació el 25-4-1849 (52 22 432) • Teoría de funciones • Geometrías no-euclideanas • Relación entre geometría y álgebra A A A A Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

20. Cortando una botella de Klein Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

21. Más sobre la topología del toro El toro no tiene borde, tiene dos caras y tiene un agujero. Si una superficie no tiene agujeros y dibujamos una circunferencia se divide en dos partes o componentes conexas. Si comenzamos a trazar otra circunferencia que cruza la primera tendremos que volver a cruzar la primera circunferencia. Si la superficie tiene un agujero, podemos dibujar una circunferencia que no la divide en dos componentes conexas. Podemos trazar otra circunferencia que corta a la primera solo en un punto. Si viviésemos sobre la superficie de un toro … Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

22. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) El príncipe de los matemáticos. Niño prodigio: Sumar los números del 1 al 100. 1 2 3 . . . 99 100 . MiSuma 100 99 98 . . . 2 1 . MiSuma = = = . . . = = = 101 101 101 . . . 101 101 . 2 x MiSuma 2 x MiSuma = 100 x 101 MiSuma = (100 x 101) / 2 = 10100 / 2 = 5050 1001000 2 = 500500 ¿Cuánto vale la suma de los números del 1 al 1000? Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

23. Gauss • Teoría de números • Astronomía • Física • Probabilidades y Estadística • Geometría • Geometría diferencial Construcción de polígonos regulares con regla y compás: el polígono regular de 17 lados(19 años) Teoría de curvas y superficies: la curvatura. Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

24. Curvatura curvatura cero mucha curvatura menos curvatura poca curvatura La curvatura varía de un punto a otro en la curva Una circunferencia de radio r tiene curvatura 1/r menos curvatura más curvatura Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

25. Curvatura de una superficie Curvatura de Gauss: Es el producto de la curvatura seccional más grande y la más pequeña. Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

26. Curvatura de Gauss Las curvaturas seccionales tienen distinto signo, según hacia donde se orientan. Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

27. Curvatura de Gauss Curvatura negativa Las curvaturas más grande y más pequeña son de distinto signo. Curvatura nula La curvatura más pequeña vale cero. Curvatura positiva Las curvaturas más grande y más pequeña son positivas. Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

28. Coloreando mapas Möbius propuso en 1840 este problema: Había una vez un rey que tenía cinco hijos. En su testamento pidió que a su muerte su reino se dividiera en cinco regiones, de modo tal que cada región tuviera frontera en común con las otras cuatro. ¿Se pueden satisfacer los términos del testamento? Un problema más difícil: ¿Cuántos colores hacen falta para colorear un mapa, de modo que dos regiones limítrofes tengan distinto color? Las regiones que se cortan en un punto no se consideran limítrofes. Para colorear un tablero de ajedrez bastan dos colores. Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

29. ¿Podría colorear este mapa con solo tres colores? Este mapa está coloreado con cuatro colores. Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

30. Teorema de los cuatro colores: Cualquier mapa dibujado sobre un plano o sobre una esfera se puede colorear con cuatro colores Planteado en 1853 por Francis Guthrie. Primera demostración en 1976 de Appel y Haken. Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

31. ¿Y si el mapa estuviera en una cinta de Möbius? Seis colores son suficientes para colorear un mapa en una cinta de Möbius. ¿Y en un toro? Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

32. Leonhard Euler (1707-1783) Geometría, cálculo, teoría de números, ecuaciones diferenciales, mecánica, hidrodinámica, electromagnetismo, astronomía ... El matemático más prolífico de todos los tiempos: 500 entre libros y artículos (800 páginas por año). Obras completas: ¿73 volúmenes? Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

33. Los puentes de Königsberg Capital de Prusia Oriental. En 1945 pasa a llamarse Kaliningrado Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

34. El problema de los puentes es equivalente al recorrido de un grafo. ¿Cuáles son los grafos que se pueden recorrer sin pasar dos veces por la misma arista? Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

35. ¿Se puede recorrer este grafo, sin pasar dos veces por la misma arista? Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

36. Un grafo se puede recorrer sin pasar dos veces por la misma arista si no tiene vértices impares (número de aristas en ese vértice) o solo tiene dos. Si todos los vértices son pares, al completar el reco-rrido se vuelve al mismo vértice de partida. Si tiene dos vértices impares, uno de ellos será el comienzo del recorrido y el otro el final. 3 3 4 3 2 4 3 3 4 3 Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

37. 3 3 5 3 No se pueden recorrer los siete puentes sin pasar dos veces por el mismo. Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

38. Lectura 1884 Un cuadrado describe la vida en un mundo de dos dimensiones, narra su dialogo con el Rey de Linealandia y su impresionante visita a Espaciolandia. Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

39. Planilandia Imaginad una vasta hoja de papel en la que líneas rectas, triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos y otras figuras, en vez de permanecer fijas en sus lugares, se moviesen libremente, en o sobre la superficie, pero sin la capacidad de elevarse por encima ni de hundirse por debajo de ella, de una forma muy parecida a las sombras (aunque unas sombras duras y de bordes luminosos) y tendríais entonces una noción bastante correcta de mi patria y de mis compatriotas. Mi visión de Linealandia Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

40. Lectura El teorema del loroDenis GuedjEditorial Anagrama, Barcelona. 537 páginas, 2000. Un librero parisino en silla de ruedas, recibe una carta de un amigo al que no ve desde hace años, que le anuncia el envío de su completa biblioteca de libros de matemáticas desde Manaos, Brasil. Por otro lado, uno de los hijos de su compañera lleva a casa un loro de una especie exótica muy apreciada que ha rescatado de manos de unos matones. Curiosamente ambos sucesos estarán íntimamente relacionados.... Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

41. Lectura Matemática... ¿estás ahí?Sobre números, personajes, problemas y curiosidades Adrián Paenza Siglo Veintiuno Editores Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias

42. ¿Cómo se construye una clave indescifrable? • ¿Cuántas pelotas de fútbol entran en la cancha de River? • ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar diez canciones en un CD? • ¿Qué opinan los matemáticos de las vacas? • Estas son algunas nuevas preguntas para • dar la bienvenida a nuevos lectores y • seguir entusiasmando a los miles que • ya descubrieron en el universo de la • matemática un fascinante medio • para aprender a pensar. Sábados de la ciencia - 2008 Facultad de Ciencias