Fazna promena u k -GD-SAT problemu

1. Fazna promena u k-GD-SAT problemu Vesna Pavlović prof. Predrag Janičić

2. SAT problem i fazna promena • L – broj klauza, N – broj promenljivih, s(N,L) – funkcija zadovoljivosti • Eksperimenti sugerišu da postoji fazna promena izmedju zadovoljivosti i nezadovoljivosti kako količnik L/N raste • Tačka fazne promene c0:

3. k-SAT model • Na slučajan način generiše se L klauza dužine k • Svaka klauza se dobija slučajnim odabirom k različitih promenljivih iz skupa od N promenljivih, negiranjem svake sa verovatnoćom 0.5 • NP-kompletan problem za k >2

4. k-GD-SAT model • Dužina klauze ima geometrijsku raspodelu • Klauze se generišu na osnovu sledeće stohastičke kontekstno-slobodne gramatike sa parametrom 0<p≤1 • Verovatnoća generisanja klauze dužine l je p(1-p)l-k • Očekivanje dužine klauza u ovom modelu je k-1+1/p

5. Gornje granice za tačku fazne promene • Ako fiksiramo valuaciju (jednu od 2N mogućih), verovatnoća da je proizvoljna k-GD-SAT klauza njom zadovoljena je: • Stoga je očekivanje broja zadovoljivih valuacija za formulu sa L klauza i N promenljivih:

6. Gornje granice za tačku fazne promene • Postavljanjem uslova da je formula nezadovoljiva, tj. da je očekivani broj zadovoljivih valuacija o(1) dobijamo gornju granicu za tačku fazne promene: • Za k-SAT je pokazano da je gornja granica dobijena ovim metodom asimptotski bliska tački fazne promene, pa su naša očekivanja da tako nešto važi i za k-GD-SAT

7. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama • Pokazali smo da važi: • Cilj nam je da pokažemo da je rk asimptotski blisko rk* • X –slučajna promenljiva definisana za formulu Fk(n,rn)tako da X > 0 daje S   • Ako za dato r važi: tada je: rk≥r • X – broj zadovoljavajućih valuacija za F, gde je 0 <  < 1, H(,F) broj zadovoljenih literala u F valuacijom minus broj nezadovoljenih literala u F valuacijom, a S(F) je skup zadovoljavajućih valuacija za formulu F

8. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama

9. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama • Lema: Neka je  realna, pozitivna, dva puta diferencijabilna funkcija na intervalu [0,1] i neka važi: Definišemo g na [0,1] kao: Ako postoji max  (0,1) tako da je g(max)gmax>g()za svako  max i g’’(max)<0 onda postoje konstante B,C>0 tako da za dovoljno veliko n važi:

10. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama • Ako obeležimo sa: • Ono što je nama cilj jeste da nadjemo vrednost 0 za koju važi: • Nismo uspeli da nađemo vrednost za 0 kao funkciju parametra p za koju bi važila prethodna jednakost. • Za k-SAT ta vrednost je 0= ½ • Za k-GD-SAT vrednost za 0nije konstantna za različite vrednosti za r i takođe zavisi od p

11. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama • Vrednosti za 0 numerički aproksimirane za različite vrednosti p (za k = 10 i r = 10, r = 50)

12. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama • Vrednosti za 0 numerički aproksimirane za različite vrednosti r (za k = 10 i p = 0.2, p = 0.5, p = 0.8)

13. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – za NAE-k-GD-SAT • Formula F je NAE-zadovoljiva akko za valuaciju  važi da svaka klauza ima barem jedan literal koji je zadovoljen datom valuacijom i barem jedan literal koji nije zadovoljen datom valuacijom • Ovo zapisujemo kao   F • X – broj NAE-zadovoljivih valuacija za formulu F

14. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – za NAE-k-GD-SAT • Kod k-SAT problema imali smo da važi E[X]2 = N(1/2)n, ali • kod k-GD-SAT-a važi E[X]2 = N(1/2,p)n samo za p = 1 • Vrednost  za koju funkcija N(1/2,p)dostiže svoj pik zavisi od p • p/2, 1-p/2

15. Oštar prag za k-GD-SAT • Fk,p(n,l) – k-GD-SAT formula, sa parametrom p, sa l klauza nad n promenljivih • i-klauza – klauza dužine i • Verovatnoća generisanja i-klauze je p(1-p)i-k • gk,p(n,r) – verovatnoća da je formula Fk,p(n,l) zadovoljiva • Teorema (Friedgut): Za svako k ≥ 2 postoji niz rk(n) tako da za svako  > 0 važi: • Teorema: Za svaku vrednost p [0,1] i za svako k ≥ 2 postoji niz rk,p(n) tako da za svako  > 0 važi:

16. Oštar prag za k-GD-SAT • Dvostruka modifikacija modela: • Ograničiti dužinu klauza • Definisati odgovarajući prostor verovatnoće • km-GD-SAT model • Fmk,p(n,l) – za k  i  k+m i-klauza se bira sa verovatnoćom p(1-p)i-km+k+1-klauza se bira sa verovatnoćom (1-p)m+1 • gpm(n,r) – verovatnoća da je formula Fmk,p(n,rn) zadovoljiva • kḿ-GD-SAT model • Sve klauze se biraju sa jednakom verovatnoćom, pravimo kopije klauza • Tmk,p(n,l)– ukupan broj klauza • Hmk,p(n,l) – svaku od klauza biramo sa verovatnoćom l / Tmk,p(n,l) • Za k  i  k+m imaćemo q(p,i) kopija i-klauza, samo jedna kopija m+k+1-klauza, vrednosti q(p,i) biramo tako da je raspodela dužina klauza ista za formulu Fmk,p(n,l) i Hmk,p(n,l)

17. Oštar prag za k-GD-SAT • Treba da važi: • Dobijamo: • Naš cilj je dokazati da: • 1. kḿ-GD-SAT ima oštri prag • 2. km-GD-SAT ima oštri prag • 3. k-GD-SAT ima oštri prag

18. Oštar prag za k-GD-SAT • Lema1: kḿ-GD-SAT ima oštri prag, tj. za svako p(0,1] postoji niz rp(n) tako da za svako  > 0 važi: • Dokaz: Trebalo bi da ide slično dokazu za k-SAT.

19. Oštar prag za k-GD-SAT • Lema2: km-GD-SAT model ima oštri prag, tj. za svako p(0,1] postoji niz rp(n) tako da za svako  > 0 važi: Dodatno, postoji konstanta M tako da za svako k, n i m važi da je • Dokaz: Imamo da za svako  > 0 i za svako  > 0 postoji n0 tako da za n > n0 važi: Dokažimo da za svako  > 0 i za svako  > 0 postoji n0 tako daza n > n0 važi: hk,pm,l – verovatnoća da je formula Hk,pm,l zadovoljiva pod uslovom da ima l klauza Važi:

20. Oštar prag za k-GD-SAT • Označimo sa P(i) verovatnoću da formula Hk,pm(n,rn) ima i klauza; tada važi:Tada za za dovoljno veliko n važi :

21. Oštar prag za k-GD-SAT

22. Oštar prag za k-GD-SAT • Važi:Obzirom da važi da je rn-1 < T/2, važi i P < ½ i time je dokaz završen. • Ovim postupkom smo mogli da pokažemo i da važi: Greška?- moguće je da se nizovi r(n) ne poklapaju za ova dva modela • Drugi deo tvrdjenja sledi iz toga da je tačka fazne promene manja ili jednaka od

23. Oštar prag za k-GD-SAT • Lema3: k-GD-SAT model ima oštri prag, tj. za svako p(0,1] postoji niz rp(n) tako da za svako  > 0 važi: • Dokaz: - verovatnoća da je formula Fp(n,l) zadovoljiva ako su joj sve klauze dužine manje ili jednake k+m- verovatnoća da je formula Fp(n,l) zadovoljiva ako joj je barem jedna klauze dužine veće od k+m- verovatnoća da je formula Fpm(n,l) zadovoljiva ako su joj sve klauze dužine manje ili jednake k+m - verovatnoća da je formula Fpm(n,l) zadovoljiva ako joj je barem jedna klauze dužine veće od k+m

24. Oštar prag za k-GD-SAT • Klauze dužine i, k i k+m se biraju sa istim verovatnoćama i u formuli Fk,p(n,l) i u Fmk,p(n,l), stoga važi: Takodje važi: Biramo proizvoljno  > 0; n0 biramo tako da za n > n0važi sledeće: • Važi sledeći niz nejednakosti:

25. Oštar prag za k-GD-SAT

26. Oštar prag za k-GD-SAT • Neka je m dovoljno veliko tako da važi: • Ono što želimo da dokažemo je: • Imamo da važi: • Znači dovoljno je da pokažemo: ‚tj.

27. Oštar prag za k-GD-SAT • Važi:što smo i hteli da pokažemo. • Pokazali smo da za proizvoljno  > 0 postoji n0 tako da ako važi n > n0 onda je i: • Analogno se pokazuje i:

28. Literatura • Achlioptas, D., Peres, Y., The Threshold for Random k-SAT is 2klog2- O(k), Journal of the American Mathematical Society, Volume 17, Number 4, 947-973, 2004. • Friedgut, E., Bourgain, J., Sharp Thresholds of Graph Properties, and the k-SAT problem, Journal of the American Mathematical Society, Volume 12, Number 4, 1017-1054, 1999. • Achlioptas, D., Moore, C., Random k-SAT: Two Moments Suffice to Cross a Sharp Threshold, SIAM Journal of Computing, Volume 36, Number 3, 740-762, 2006. • Achlioptas, D., Kirousis, M., Kranakis, E., Krizanc, D., Rigorous results for random 2+p-SAT, Theoretical Computer Science, 265, 109-129, 2001.

29. Hvala na pažnji!